Infiniti a cura di Enzo De Pasquale Pagina 1 di 3 Easy matematica di Adolfo Scimone
Infiniti
Un infinito è una variabile che diverge.
Siano )(x
α
e )(x
β
2 infiniti per , cioè sia
0
xx →
∞=
→)(lim
0
x
xx
α
∞
=
→)(lim
0
x
xx
β
e supponiamo che esista il limite del loro rapporto.
Si possono allora presentare i tre casi seguenti:
≠
∞=
→
0
0
lim
0k
xx
β
α
Nel primo caso: 0lim
0
=
→
β
α
xx si dice che
α
è un infinito di ordine inferiore rispetto a β,
nel secondo caso : ∞=
→
β
α
0
lim
xx α è un infinito di ordine superiore rispetto a β;
nel terzo caso 0lim
0
≠=
→k
xx
β
α
si dice che α e β sono due infiniti dello stesso ordine.
Se il limite del rapporto non esiste, si dice che gli infiniti α e β non sono fra loro
confrontabili.
Si dice che α è un infinito di ordine n, con n >0, rispetto all’infinito β quando risulta
0lim
0
≠=
→k
n
xx
β
α
Es. 1 – Confrontare i due infiniti xln
=
α
, xctg
=
β
per .
+
→0x
Si ha:
0lim
1
1
lim
ln
lim
0
2
00
=
−−=
−
=+++ →→→ xsin
x
xsin
xsin
x
xctg
x
xxx
Pertanto l’infinito è di ordine inferiore rispetto a xln
x
ct
g
.
Es.2 – Confrontare i due infiniti , per 24
3+−= xx
α
1
2−+= xx
β
∞→
x
.
Si ha
∞==
+
−
=
−+
+−
∞→∞→∞→ 2
6
lim
12
43
lim
1
24
lim
2
2
3x
x
x
xx
xx
xxx
e quindi α è un infinito di ordine superiore rispetto a β
Es. 3 – Confrontiamo l’infinito
()
2
cos
1
xsinx −
=
β
per 4
π
→x con
4
1
π
α
−
=
x
Si ha
