Analisi Matematica: Funzioni, Limiti e Integrali, Appunti di Matematica Generale

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Matemati a Generale

Mar ellino Gaudenzi

23 ottobre 2006

ii

Pag. 1 Capitolo 1. Insiemi, ordinamenti, funzioni

Pag. 89 Capitolo 2. Funzioni esp onenziali e trigonometri he

Pag. 139 Capitolo 3. Cal olo ombinatorio

Pag. 161 Capitolo 4. Lo spazio Rn.

Pag. 183 Capitolo 5. Numeri omplessi

Pag. 201 Capitolo 6. Limiti e ontinuità

Pag. 259 Capitolo 7. Cal olo dierenziale

Pag. 323 Capitolo 8. Teoria dell'integrazione

Pag. 377 Capitolo 9. Funzioni di due variabili

Pag. 419 Bibliograa

2 CAPITOLO 1. INSIEMI, ORDINAMENTI E FUNZIONI

Al uni insiemi he si presentano molto frequentemente verranno indi ati on simb oli parti olari, ome N l'insieme dei numeri naturali, io è { 1 , 2 , 3 , ...} Z l'insieme dei numeri interi, io è {..., − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ...} Q l'insieme dei numeri razionali R l'insieme dei numeri reali. Un'altro mo do p er indi are gli insiemi (in genere piú pre iso) si ha pre isando una proprietà he veri ano tutti e soli gli elementi dell'insieme. Ad esempio nel aso degli insiemi E, F, G onsiderati in pre edenza p ossiamo usare le notazioni

E = {x : x ∈ N e x ≤ 4 } oppure E = {x ∈ N : x ≤ 4 }

F = {x : x è una vo ale } G = {x : x ∈ N ed x è pari} oppure E = {x ∈ N : è pari.} Supp orremo l'esistenza di un uni o insieme privo di elementi. Esso verrà detto l'insieme vuoto e useremo il simb olo

∅.

Due insiemi A e B si di ono uguali se hanno gli stessi elementi, se io è ogni elemento he appartiene ad A appartiene an he a B e ogni elemento he appartiene a B appartiene an he ad A. Se A e B sono uguali s riveremo

A = B

(altrimenti s riveremo A 6 = B).

Esempio 1.1 Si onsideri A = { 3 , 2 , 1 , 4 } B = { 1 , 2 , 3 , 4 }, C = { 2 , 1 , 4 }, D = {x ∈ N : x^2 = 3}. Si ha: A = B, A 6 = C, B 6 = C, D = ∅.

♣ Denizione 1.1 Se ogni elemento del l'insieme A è an he un elemento del lo insieme B diremo he A è un sottoinsieme di B (oppure he A è in luso in B, oppure he B in lude A) e s riveremo

A ⊂ B oppure B ⊃ A.

Nota 1.1 Dal la denizione data si ha he A ⊂ A qualsiasi sia l'insieme A.

Nota 1.2 Si assume he ∅ ⊂ A per ogni insieme A ( ioè he ∅ è sottoinsieme di ogni insieme).

1.1. ELEMENTI DI INSIEMISTICA 3

♣ Denizione 1.2 Se A ⊂ B e A 6 = B diremo he A è un sottoinsieme proprio di B e s riveremo A $ B.

Esempio 1.2 Si onsiderino gli insiemi:

A = {x ∈ N : x è pari}, B = { 2 , 4 , 8 , 12 }, C = { 1 , 2 , 4 , 8 , 12 }. Si ha B ⊂ A e an he B $ A, B ⊂ C e an he B $ C, mentre C 6 ⊂ B. Nel aso di: D = {x : x è la apitale di uno stato europeo }, E = {P arigi, Roma, V ienna}, F = {P arigi, Roma, F irenze, V ienna}, si ha: E ⊂ D e an he E $ F , mentre F 6 ⊂ D.

Nota 1.3 Dati due insiemi A e B, se B ⊂ A e A ⊂ B al lora ogni elemento di A è an he un elemento di B e vi eversa, quindi A = B.

Possiamo onsiderare an he insiemi i ui elementi sia a loro volta insiemi ome ad esempio: A = {N, Z, R}, B = {∅}, C = {{ 1 , 2 }, { 2 , 6 , 7 }, { 1 }}. Osserviamo he B 6 = ∅, infatti B p ossiede un elemento (l'insieme vuoto) dunque non è vuoto. Si osservi an ora he 2 6 ∈ C e he D = { 1 , 2 } 6 ⊂ C, infatti 1 ∈ D ma 1 6 ∈ C.

♣ Denizione 1.3 Sia A un insieme. Con P (A) indi hiamo l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A.

Esempio 1. I 1 = { 1 }, P (I 1 ) = {∅, { 1 }} I 2 = { 1 , 2 }, P (I 2 ) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 1 , 2 }}, I 3 = { 1 , 2 , 3 } P (I 3 ) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 1 , 2 }, { 3 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 }, { 1 , 2 , 3 }}. Si può veri are he se A possiede n elementi, P (A) possiede 2 n^ elementi.

1.1. ELEMENTI DI INSIEMISTICA 5

Figura 1.2: Intersezione di due insiemi

Figura 1.3: Dierenza tra due insiemi

♣ Denizione 1.7 Dato un sottoinsieme A di U si di e omplementare di A (ri- spetto ad U ) l'insieme U \ A. Il omplementare verrà denotato on il simbolo cA (oppure C(A)).

Quindi cA = {x : x ∈ U e x 6 ∈ A}. Si osservi he mentre l'unione, l'intersezione e la dierenza non dip endono dall'insieme di partenza U , il omplementare dip ende strettamente da U.

Esempio 1.7 Sia U = N, A = { 1 , 3 , 5 , ...} ( ioè l'insieme dei numeri dispari). cA = { 2 , 4 , 6 , ...} ( ioè l'insieme dei numeri pari). Nel aso inve e U = Z si ha cA = {..., − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 2 , 4 , 6 , ...}.

Esempio 1.8 Sia U = R ed A = {x ∈ R : 2 < x < 3 }. Si ha: cA = {x ∈ R : x ≤ 2 oppure x ≥ 3 }.

Esempio 1.9 Veri are he A \ B = A ∩c^ B. Per veri are questa uguaglianza insiemisti a possiamo provare la doppia in lusione, ioè he ogni elemento di A \ B é an he un elemento di A ∩c^ B e

6 CAPITOLO 1. INSIEMI, ORDINAMENTI E FUNZIONI

vi eversa. Avremo osí provato he A \ B ⊂ A ∩c^ B e he A ∩c^ B ⊂ A \ B, dunque per la Nota 1.3 si avrà he i due insiemi oin idono. Veri hiamo he A\B ⊂ A∩cB. A tal ne si onsideri un qualsiasi elemento x ∈ A \ B. Per denizione si ha he x ∈ A e x 6 ∈ B. Dunque x ∈ A e x ∈c^ B, e osí x ∈ A ∩c^ B. Veri hiamo ora he A ∩c^ B ⊂ A \ B. A tal ne prendiamo un qualsiasi elemento x ∈ A ∩c^ B. Per denizione si ha he x ∈ A e x ∈c^ B. Dunque x ∈ A e x 6 ∈ B, pertanto x ∈ A \ B. Prop osizione 1.1 (Leggi di De Morgan) Dati due insiemi A e B sottoinsiemi del l'insieme universo U si ha: c(A ∪ B) =c (^) A ∩ cB c(A ∩ B) =c (^) A ∪ cB

Dimostrazione. Proveremo solo la prima relazione c(A∪ B) =c^ A∩ cB, las iamo al lettore la veri a della se onda. Come nell'esempio pre edente proviamo la doppia in lusione. Sia x ∈c^ (A ∪ B), dunque x 6 ∈ A ∪ B. Ció signi a he x non appartiene né ad A né a B, dunque x 6 ∈ A e x 6 ∈ B. Si ha ontemp oraneamente x ∈c^ A e x ∈c^ B dunque x ∈c^ A ∩ cB. Vi eversa sia x ∈c^ A ∩ cB. Si ha p er la denizione d'intersezione: x ∈c^ A e x ∈c^ B, dunque x 6 ∈ A e ontemp oraneamente x 6 ∈ B. Possiamo on ludere he x 6 ∈ A ∪ B dunque x ∈c^ (A ∪ B). ♦

♣ Denizione 1.8 Chiamiamo pro dotto artesiano di due dati insiemi A e B l'insieme ostituito da tutte le oppie ordinate (x, y), essendo x ∈ A e y ∈ B. Il prodotto artesiano verrà indi ato on il simbolo A × B. Esempio 1.10 Siano A = { 1 , 2 , 4 , 7 }, B = {a, b, c}. Si ha A × B = {{ 1 , a}, { 1 , b}, { 1 , c}, { 2 , a}, { 2 , b}, { 2 , c}, { 4 , a}, { 4 , b}, { 4 , c}, { 7 , a}, { 7 , b}, { 7 , c}}.

8 CAPITOLO 1. INSIEMI, ORDINAMENTI E FUNZIONI

Eser izi

1. Siano U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d}, B = {b, d, e}. Cal olare: A ∪ B, B ∩ A, cB, B \ A, cA ∩ B, A ∪c^ B, cB \c^ A, c(B ∩ A).
2. Disegnare in ogni diagramma di Venn l'insieme sottoindi ato:
3. Sia U = R. Posto A = {x ∈ R : − 2 < x ≤ 0 }, B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 6 }, C = {x ∈ R : − 1 < x < 6 }, determinare: A ∪ B, A ∩ B, C ∪ B, A ∩ C, A \ B, A \ C, cA, cB. Cal olare p oi (A ∪ B) ∩ C e veri are la validità della proprietà distributiva, io è (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
4. Siano A e B due insiemi. 4a. Provare he: cA \c^ B = B \ A 4b. Provare he B ⊃ A impli a A ∪ (B \ A) = B.
5. In un grupp o di ragazzi tutti prati ano almeno uno sp ort tra al io e basket. 10 di essi gio ano a al io, 14 gio ano a basket, inoltre 7 gio ano sia a basket he a al io. Quanti sono i ragazzi?
6. In un grupp o di 29 ragazzi tutti prati ano almeno uno sp ort tra al io, basket e pallavolo. 19 di essi gio ano a al io, 16 a basket, 11 a pallavolo. Inoltre 10 gio ano sia a basket he a al io, 5 gio ano sia a al io he a pallavolo e solo 3 prati ano tutti e tre gli sp orts. Quanti sono i ragazzi he gio ano sia a basket he a pallavolo?

1.1. ELEMENTI DI INSIEMISTICA 9

Risp oste

1. A ∪ B = {a, b, d, e}. B ∩ A = {b, d}. cB = {a, c}. B \ A = {e}. cA ∩ B = {e}. A ∪c^ B = {a, b, c, d}. cB \c^ A = {a}. c(B ∩ A) = {a, c, e}.

3. A∪B = (− 2 , 6]. A∩B = { 0 }. C∪B = (− 1 , 6]. A∩C = (− 1 , 0], A\B = (− 2 , 0).

A \ C = (− 2 , −1]. cA = (−∞, −2] ∪ (0, +∞). cB = (−∞, 0) ∪ (6, +∞). (A ∪ B) ∩ C = C. A ∩ C = (− 1 , 0]. B ∩ C = [0, 6). (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = (− 1 , 6).

4a. Se x ∈c^ A \c^ B allora x ∈c^ A e x 6 ∈c^ B, dunque x ∈c^ A e x ∈ B, osì x ∈ B \ A, io è cA \c^ B ⊂ B \ A. Vi eversa se x ∈ B \ A allora x ∈ B e x 6 ∈ A, quindi x 6 ∈c^ B e x ∈c^ A e osì x ∈c^ A \c^ B. Si ha osì B \ A ⊂c^ A \c^ B. Le due relazioni: cA \c^ B ⊂ B \ A, B \ A ⊂c^ A \c^ B impli ano cA \c^ B = B \ A.

4b. Se x ∈ A∪ (B \A) allora o x ∈ A oppure x ∈ B. Poi hé A ⊂ B in entrambi i asi x ∈ B, quindi A ∪ (B \ A) ⊂ B. Vi eversa supp oniamo he x ∈ B. Se x ∈ A allora x ∈ A ∪ (B \ A), se inve e x 6 ∈ A allora x ∈ B \ A, dunque x ∈ A ∪ (B \ A). Quindi B ⊂ A ∪ (B \ A).

5. 17
   6. Appli ando la formula (1.2) si ha he vi sono 5 ragazzi he gio ano sia a basket he a pallavolo.

1.2. IMPLICAZIONI 11

Esempio 1.15 Stabilire in ias uno dei asi he seguono se valgono: r =⇒ s, s ⇐= r, r ⇐⇒ s. Nel aso in ui l'impli azione non sia valida se ne determini un ontroesempio. (a) X = N; r: x è un numero pari, s: 5 x è numero pari. (b) X = N; r: x è un numero pari, s: 6 x è numero pari. ( ) X = R; r: x > 5 , s: x + 2 > 5. (d) X = N; r: x è un numero primo, s: x è dispari. (e) X = R × R; r: x > y, s: x^2 > y^2. (f ) X = R+^ × R+; r: x > y, s: x^2 > y^2. (Nota: R+^ = (0, +∞)) Risp oste: (a) L'impli azione r =⇒ s è valida. Infatti un numero è pari se esso è un multiplo di 2, e se un numero è un multiplo di 2 al lora moltipli ato per un qualsiasi altro numero rimane an ora un multiplo di 2. L'impli azione s =⇒ r è valida, infatti se 5 x è pari 2 è un suo divisore, ma 2 non è un divisore di 5, quindi deve essere un divisore di x, di onseguenza x è pari. Poi hé valgono entrambe le impli azioni si ha: r ⇐⇒ s. (b) L'impli azione r =⇒ s è valida (vedi il aso pre edente). L'impli azione s =⇒ r non è valida, x = 5 è un ontroesempio, infatti 6 x = 30 è pari ma x non è pari. L'impli azione r ⇐⇒ s non è valida. ( ) L'impli azione r =⇒ s è valida. L'impli azione s =⇒ r non è valida, x = 4 è un ontroesempio. (d) Un numero primo è un numero he ha ome uni i divisori 1 e se stesso. Quindi 2 è primo ma esso non è dispari, pertanto l'impli azione r =⇒ s non è valida (in questo aso abbiamo un uni o ontroesempio ma iò basta per in- validare l'impli azione). L'impli azione s =⇒ r non è valida, x = 15 è un ontroesempio. L' impli azione r ⇐⇒ s non è valida. (e) L'impli azione r =⇒ s non è valida, la oppia x = 2, y = − 3 è un ontro- esempio. L'impli azione s =⇒ r non è valida, la oppia x = − 3 , y = 2 è un ontroesempio. L' impli azione r ⇐⇒ s non è valida. (f ) Una del le proprietà dei numeri reali stabilis e he se a > b e c > 0 al lora ac > bc (se in una disequazione moltipli hiamo entrambi i membri per uno stesso numero positivo la disequazione si onserva). Pertanto se x, y sono numeri positivi si ha: x > y =⇒ xx > xy e xy > yy (moltipli hiamo prima per x e poi per y), pertanto x > y =⇒ x^2 > xy > y^2 dunque l'impli azione r =⇒ s è valida. Sia ora x^2 > y^2. Si avrà x = y oppure x < y oppure x > y, mostriamo he solo l'ultima relazione è possibile. Infatti se x = y al lora x^2 = y^2 dunque non possiamo avere x^2 > y^2. Se inve e x < y, poi hé x ed y sono positivi dal la validità del la impli azione r =⇒ s (già veri a in pre edenza) si ha x^2 < y^2 he

12 CAPITOLO 1. INSIEMI, ORDINAMENTI E FUNZIONI

non può essere vero. Dunque si deve avere x > y e l'impli azione s =⇒ r è valida. Poi hé valgono entrambe le impli azioni si ha: r ⇐⇒ s.

Molti dei risultati he vedremo durante il orso onsisteranno proprio nello stabilire he una erta impli azione logi a: r =⇒ s è valida. r si hiama l'ipotesi , s si hiama la tesi , il pro edimento logi o he i p er- mette di veri are la validità dell'impli azione si di e la dimostrazione. Ip otesi, tesi e dimostrazione ostituis ono il teorema.

r =⇒ s si legge an he  r è ondizione su iente p er la validità di s, oppure  s è ondizione ne essaria p er la validità di r. r ⇐⇒ s si legge:  r è ondizione ne essaria e su iente p er la validità di s Una ondizione su iente r è quindi una ondizione il ui veri arsi omp or- ta automati amente il veri arsi della proprietà s. Ad esempio:  x è tos ano è una ondizione su iente an hé valga la ondizione  x è italiano. Una ondizione ne essaria s è inve e una ondizione he è onseguenza del veri arsi di r. Ad esempio:  x è europ eo è una ondizione ne essaria an hé si veri hi la ondizione  x è italiano.

Esempio 1.16 Condizione ne essaria (ma non su iente) an he un numero

2 sia primo è he esso sia dispari. Condizione su iente (ma non ne essaria) an he un numero x sia primo è he x ∈ { 11 , 13 , 17 , 19 , 23 }. Condizione ne essaria (ma non su iente) an he un numero x sia positivo è he il suo quadrato sia positivo. Condizione ne essaria e su iente an he un numero sia positivo è he il suo ubo sia positivo.

14 CAPITOLO 1. INSIEMI, ORDINAMENTI E FUNZIONI

Esempio 1.17 Sia A = { 1 , 7 , 8 , 9 , 12 , 13 }. L'enun iato  ∀x ∈ A, x è dispari è falso, x = 8 è un ontroesempio. L'enun iato  ∀x ∈ A, x è minore di 100  è vero. L'enun iato  ∃x ∈ A, x è multiplo di 3  è vero, infatti 9 è multiplo di 3. L'enun iato  ∃x ∈ A, x è multiplo di 5  è falso, infatti ogni elemento di A non è multiplo di 5.

Esempio 1.18 Sia A = R. L'enun iato  ∀x ∈ A, x^2 ≥ 0  è vero. L'enun iato  ∀x ∈ A, x^2 > 0  è falso x = 0 è un ontroesempio.

Esempio 1.19 Ogni gio atore del l'Udinese è italiano. L'enun iato è falso, Sensini è un ontroesempio.

Esempio 1.20 C'e almeno una persona is ritto al primo anno di E onomia he è olandese. Falso, tutte le persone is ritte non sono olandesi.

1.2. IMPLICAZIONI 15

Eser izi

Stabilire quali delle seguenti impli azioni ed equivalenze ( onsiderate sull'insie- me X) sono valide:

1. X = R, x^2 > 0 =⇒ x > 0 ;
2. X = R+, x^2 > 0 ⇐⇒ x > 0 ;
3. X = R, x^2 > 0 ⇐⇒ x 6 = 0;
4. X = R, x^3 > x^2 ⇐⇒ x > 1 ;
5. X = R, x^4 > x^3 ⇐⇒ x > 1 ;
6. X = R^2 , x > y =⇒ x^4 > y^4 ;
7. X = R^2 , x > y ⇐⇒ x^3 > y^3 ;
8. X = R^2 , xy > 0 =⇒ x + y > 0 ;
9. X = N, x è dispari ⇐⇒ 5 x é dispari; Risp oste
10. L'impli azione non é valida, x = − 2 è un p ossibile ontro esempio.
11. L'equivalenza é valida.
12. L'equivalenza é valida.
13. L'equivalenza é valida.
14. L'equivalenza non é valida in quanto non é valida l'impli azione x^4 > x^3 =⇒ x > 1 , infatti x = − 1 é un p ossibile ontro esempio. Si osservi he p er ottenere un'equivalenza orretta si deve risolvere la disequazione x^4 > x^3 sull'insieme R. La soluzione di tale disequazione è data da x < 0 unito a x > 1 , p ertanto x^4 > x^3 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞).
15. L'impli azione non é valida, x = 2, y = − 3 é un p ossibile ontro esempio.
16. L'equivalenza é valida.
17. L'impli azione non é valida, x = − 2 , y = − 1 è un p ossibile ontro esempio.
18. L'equivalenza é valida.

1.3. ORDINAMENTI 17

p er quanto grande sia il negozio, il numero di gia he a vento è nito e quindi i sarà una gia a he avrà un prezzo più alto di tutte le altre, e. Ma noi avremo a he fare soprattutto on insiemi inniti e qui le ose ambiano ompletamen- te, il massimo p otrebb e non esistere. Intro durremo an he i on etti di estremo sup eriore ed inferiore an h'essi imp ortanti quando si trattano insiemi inniti.

♣ Denizione 1.10 Sia X un insieme. Un sottoinsieme ℜ del prodotto artesiano X × X si di e una relazione in X.

Vi sono diverse relazioni he si p ossono onsiderano su un insieme, noi siamo interessati prin ipalmente alle relazioni d'ordine. A tal ne onsideriamo le seguenti proprietà di una relazione:

1. (x, x) ∈ ℜ, ∀x ∈ X; (proprietà riessiva)
2. (x, y) ∈ ℜ ed (y, z) ∈ ℜ ⇒ (x, z) ∈ ℜ, ∀x, y, z ∈ X; (proprietà transitiva)
3. (x, y) ∈ ℜ ed (y, x) ∈ ℜ ⇒ x = y, ∀x, y ∈ X; (proprietà antisimmetri a)
4. ∀x, y ∈ X si ha (x, y) ∈ ℜ oppure (y, x) ∈ ℜ. (proprietà di ompletezza)

♣ Denizione 1.11 Sia X un insieme ed ℜ una relazione in X. Diremo he ℜ è un preordinamento se essa possiede le proprietà 1 e 2.

♣ Denizione 1.12 Sia X un insieme ed ℜ una relazione in X. Diremo he ℜ è una relazione di preferenza se essa possiede le proprietà 1 , 2 , 4.

♣ Denizione 1.13 Sia X un insieme ed ℜ una relazione in X. Diremo he ℜ è un ordinamento totale se essa possiede le proprietà 1 , 2 , 3 , 4.

Nota 1.5 Poi hé tratteremo solo relazioni d'ordine, possiamo sostituire la no- tazione (x, y) ∈ ℜ on la notazione x  y più sinteti a ed espressiva.

Nota 1.6 x ≺ y signi a x  y ma x 6 = y. Useremo tale ulteriore nota- zione solo nel aso di ordinamenti totali. Nel aso di relazioni he sono solo di preferenza, tale notazione puó generare onfusione in quanto puó su edere ontemporaneamente he x ≺ y e y ≺ x.

18 CAPITOLO 1. INSIEMI, ORDINAMENTI E FUNZIONI

Esempio 1.21 (Ordinamento naturale) Sia X = R e si onsideri la seguente relazione denita su X: x  y se x ≤ y.

(Si fa ia attenzione al signi ato: abbiamo un insieme e su esso introdu iamo una relazione he indi hiamo on , la relazione è data dal minore o uguale solito ioè x  y se x è minore oppure uguale ad y). Veri hiamo la validità del le proprietà introdotte:

1. La relazione introdotta è riessiva, infatti ogni elemento x è uguale a se stesso quindi è minore o uguale a se stesso ioè x  x, ∀x ∈ X.
2. La relazione introdotta è transitiva, infatti se x  y e y  z si ha x ≤ y e y ≤ z di onseguenza x ≤ z ioè x  z.
3. Se x  y ed y  x si ha: x ≤ y e y ≤ x da ui possiamo on ludere he x = y dunque vale an he l'antisimmetria.
4. Dati x, y in R si ha: o x < y o x = y oppure x > y. Nel primo e nel se ondo aso si ha x  y nel terzo y  x quindi an he la ompletezza è veri ata.

In on lusione la relazione data è un ordinamento totale su R. (Si deve osservare he nel veri are le varie proprietà del la relazione i siamo basati sul le proprietà usuali dei numeri reali, una più orretta dimostrazione dovrebbe basarsi sugli assiomi dei numeri reali he verranno introdotti su essivamente.

Esempio 1.22 Sia X = R e si onsideri la seguente relazione denita su X:

x  y se |x| ≤ |y|.

Per questa relazione avremo ad esempio: 1  − 2 , − 3  − 6 : Veri hiamo la validità del le varie proprietà:

1. La relazione introdotta è riessiva, infatti per ogni elemento x si ha |x| ≤ |x| quindi x  x, ∀x ∈ X.
2. La relazione introdotta è transitiva, infatti se x  y e y  z si ha |x| ≤ |y| e |y| ≤ |z| di onseguenza |x| ≤ |z| ioè x  z.
3. Se x  y ed y  x si ha: |x| ≤ |y| e |x| ≤ |y|, quindi |x| = |y|. Ma se |x| = |y| non è detto he x = y, presi infatti x = 2, y = − 2 si ha |x| = |y| ma x 6 = y. Quindi la proprietà di antisimmetria non è valida e x = 2, y = − 2 è un ontroesempio.