Appunti matematica e statistica, Sintesi del corso di Statistica

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Matematica e statistica

Prof.ssa Eva Sinchich – A.A. 2017/

Cecchia Irene

• Teoria intuitiva degli insiemi Sommario
  • Proprietà delle operazioni:
  • Leggi di De Morgan:
  • Cardinalità:
• Probabilità
  • Distribuzione Di Probabilita’........................................................................................................................................................
  • Impostazione assiomatica della probabilità:
  • Legge probabilità totali:
  • Probabilità evento complementare:
  • Eventi indipendenti:
  • Probabilita’ condizionata
  • Teorema di Bayes:
  • Partizione e legge delle alterazioni
  • Frequenze.........................................................................................................................................................................................
  • Valori predittivi – test diagnostici:
  • Equilibrio di Hardy-Weinberg
  • Esperimenti binomiali o di Bernoulli
• Calcolo combinatorio
  • Disposizioni
  • Esperimenti binomiali o di Bernoulli
• Elementi di statistica.........................................................................................................................................................................
  • La media
  • La Mediana
  • Quartili............................................................................................................................................................................................
  • La moda:.........................................................................................................................................................................................
  • Indici di dispersione dei dati:
  • Retta di regressione
• Le funzioni
  • Proprietà delle funzioni:
  • Funzioni lineari:
  • Funzioni allometriche:
  • Funzione valore assoluto:............................................................................................................................................................
  • Funzioni composte:
  • Grafici di funzioni:
• Esponenziali e logaritmi...................................................................................................................................................................
  • La base naturale:
  • Proprietà dell’esponenziale:
  • Proprietà del logaritmo:
• I limiti
  • Limiti e funzioni continue
  • Limiti per eccesso e per difetto
  • Limite destro e limite sinistro
  • Definizione di limite = ∞
  • Definizione di limite tendente a ∞
  • Definizione di limite tendente a ∞ = ∞
  • Teorema del confronto (o dei carabinieri):
  • Algebra dei limiti – operazioni
  • Limiti notevoli
• Derivate
  • Derivata seconda:
  • Derivata n-esima:
  • Continuità e derivabilità...............................................................................................................................................................
  • Derivate fondamentali
  • Teoremi sul calcolo delle derivate:
  • Teorema di De L’Hopital:
  • Funzioni crescenti e decrescenti:
  • Punti critici, massimi e minimi:
  • Concavità, convessità e flessi:
  • Concavità e derivata seconda:.....................................................................................................................................................

Teoria intuitiva degli insiemi

Def: un insieme è una collezione di oggetti avente un criterio oggettivo che permette di stabilire univocamente se un

oggetto vi appartenga o no.

A = {1,2,3,4,5….} oppure B={numeri dispari}

Def: Dati due elementi A,B, diremo che B è sottoinsieme di A e scriveremo BA, se per ogni elemento xB si ha che

xA.

Inoltre, se B è effettivamente diverso da A, ossia che A contiene elementi che non appartengono a B, allora diremo che

B è sottoinsieme proprio di A e scriveremo BA, oppure BA

Postulato insieme vuoto:

 Esiste uno, ed un solo, insieme vuoto , indicato con , tale che per ogni elemento x si ha x

Teoremi sull’insieme vuoto:

 L’insieme vuoto è unico

 L’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme

L’ insieme universo , indicato con , è l’insieme contente il maggior numero di elementi che ci interessa considerare.

In generale, lo si può definire come l’insieme che contiene ogni altro insieme.

Operazioni elementari tra due insiemi A,B:

 UNIONE - > AB

AB è l’insieme che contiene sia gli elementi appartenenti ad A che gli elementi appartenenti a B

 INTERSEZIONE - > AB

AB è l’insieme che contiene gli elementi che appartengono ad A ma non a B

 DIFFERENZA - > A\B

A\B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B

 PRODOTTO CARTESIANO - > AXB

AxB è l’insieme di tutte le coppie ordinate del tipo: AxB={(a;b)| aA, bB}

Il prodotto cartesiano di un insieme per sé stesso, AxA è indicato con A

2

e, in generale, l’insieme delle n-uple

ordinate di elementi di A è indicato con A

n

 DIFFERENZA SIMMETRICA - > AB

AB=(AB)(AB) = (A\B)  (B\A)

Proprietà delle operazioni:

 Proprietà ASSOCIATIVA

A(BC) = (AB)C

A(BC)=(AB)C

 Proprietà COMMUTATIVA

AB = BA

AB = BA

 Proprietà DISTRIBUTIVA

A(BC) = (AB)  (AC)

A(BC) = (AB)  (AC)

Probabilità

Def: si definisce spazio degli eventi , l’insieme universo contenente tutti gli eventi e si indica con 

Def: si definisce prova un esperimento caratterizzato da due o più possibili risultati, per il quale esiste incertezza circa il

risultato che si realizzerà

Def: Un evento è un avvenimento, descritto da una preposizione, che può accadere o non accadere.

Chiameremo:

 Eventi certi , gli eventi che accadono con certezza e li indicheremo con  (poiché lo spazio degli eventi

, contiene tutto ciò che deve accadere e quindi è l’evento certo).

 Eventi impossibili , gli eventi che non possono mai verificarsi e si indicano con 

 Eventi aleatori , gli eventi il cui verificarsi dipende dal caso, ossia possono accadere ma senza certezza.

 Eventi semplici , i singoli eventi E i

, risultati della prova

 Eventi composti , gli eventi costituiti da operazioni tra eventi semplici

 Eventi incompatibili , due eventi A e B tali che il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro e,

dunque, si ha AB=

 Eventi esaustivi o compatibili , due eventi A e B tali che il verificarsi di uno non esclude il verificarsi

dell’altro e si ha AB=

Distribuzione Di Probabilita’........................................................................................................................................................

Ci sono due metodi per attribuire una probabilità ad eventi semplici:

 A PRIORI, in funzione di ipotesi teoriche sulla natura degli eventi semplici

 A POSTERIORI, in funzione di misurazioni effettuate sul fenomeno che si sta studiando

Impostazione assiomatica della probabilità:

Def: Dato uno spazio degli eventi , allora la probabilità è una funzione p:  - > [0;1], se verifica i tre

assiomi seguenti:

1. POSITIVITA’

Per ogni E risulta P(E)≥ 0

2. CERTEZZA

Sia I un evento certo, allora P(I)=P()=

3. UNIONE

Siano A,B due eventi incompatibili, allora P(AB)= P(A) + P(B)

Legge probabilità totali:

 Siano A,B eventi incompatibili, allora p(AB)= p(A) + p(B)

Sia E

𝑎𝑟𝑒𝑎 Ω

𝑎𝑟𝑒𝑎 Ω

= 1 per l’assioma 1 𝑝(∅) =

𝑎𝑟𝑒𝑎 ∅

𝑎𝑟𝑒𝑎 Ω

= 0 per l’assioma 2

𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐸

𝑎𝑟𝑒𝑎 Ω

≥ 0 rapporto tra due aree 𝑝(𝐸) =

𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐸

𝑎𝑟𝑒𝑎 Ω

≤ 1 area E ≤ area 

Se A, B sono eventi incompatibili allora AB=:

 Siano A,B eventi qualsiasi, allora p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)

 Siano A,B e C tre eventi qualsiasi, allora p(ABC) = p(A) + p(B) + p(C) – p(AB) – p(BC) – p(CA)

Probabilità evento complementare:

p(E

C

) = 1 – p(E)

Eventi indipendenti:

Def: Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno NON influisce sul verificarsi dell’altro.

Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se p(AB) = p(A)*p(B)

Probabilita’ condizionata

Vogliamo trovare un modo per calcolare la probabilità di un evento B sapendo che è avvenuto un altro evento A. Questa

informazione cambia lo spazio degli eventi; sapere che, per calcolare la probabilità richiesta l’evento A è accaduto,

significa considerare solo il sottoinsieme A nell’intero spazio degli eventi => consideriamo il sottoinsieme A come il

nuovo spazio degli eventi A=. In questa casistica l’evento B è rappresentato dall’insieme BA. Avremo:

𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐸

𝑎𝑟𝑒𝑎 Ω

𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐵∩𝐴

𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐴

Teorema di Bayes:

Siano due eventi A e B qualsiasi:

Partizione e legge delle alterazioni

Siano A 1

, A

2

, …. , A

n

partizioni dell’insieme , ossia A 1

A

2

 …. A

n

Teorema: 𝑝

𝐶

𝐶

Frequenze

Def: si definisce frequenza assoluta il numero di volte in cui un certo evento E accade

Def: si definisce frequenza relativa la quantità 𝑓 𝑟

𝑛° 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖

𝑛° 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖

La frequenza relativa è considerata probabilità se il numero di prove indipendenti condotte è abbastanza alto. Perché le

frequenze relative misurino davvero la distribuzione di probabilità devono essere verificate tre ipotesi importanti:

1. Dev’essere possibile ripetere la prova un gran numero di volte e in condizioni pressochè costanti
2. I tentativi effettuati devono essere davvero casuali e non dipendere da fattori estranei.
3. Ciascuna misura o esperimento deve essere indipendente dalle precedenti.

 Generazione 1

Voglio ricavare le frequenze dei genotipi della G1 in funzione delle frequenze dei genotipi della G

Definiamo: P 1

= p(AA), frequenza genotipo omozigote dominante nella G

Q

1

= p(Aa), frequenza genotipo eterozigote nella G

R

1

= p(aa), frequenza genotipo omozigote recessivo nella G

p(AA) = p(A)*p(A) = p o

• p o

= p o

2

=> P 1

= p o

2

p(Aa) = p(A)* p(a) = p o

• q o

=> Q

1

= 2* p o

q o

p(aa) = p(a)*p(a) = q o

• q o

= q o

2

=> R

1

= q o

2

Ragionando come prima, le frequenze della G1 saranno:

p 1

= P

1

+ ½ Q

1

= p o

2

• ½*2 p o

q o

= p o

2

• p o

q o

= p o

(p o

+q o

) = p o

q 1

= R

1

+ ½ Q

1

= q o

2

• ½*2 p o

q o

= q o

2

• p o

q o

= q o

(q o

+p o

) = q o

 Generazione 2

Tramite p 1

, q 1

calcolo P 2

, Q

2

, R

2

p(AA) = p(A)*p(A) = p 1

• p 1

= p 1

2

=> P

2

= p 1

2

= p o

2

p(Aa) = p(A)* p(a) = p 1

• q 1

=> Q

2

= 2* p 1

q 1

= 2*p o

q o

p(aa) = p(a)*p(a) = q 1

• q 1

= q 1

2

=> R 2

= q 1

2

= q o

2

Le frequenze alleliche e genotipiche si sono conservate nelle generazioni, questa conservazione di dati prende il nome

di equilibrio di Hardy-Weinberg e si può applicare solamente in popolazioni ideali => no selezione naturale o

migrazioni di individui.

Esperimenti binomiali o di Bernoulli

Denomino esperimento binomiale o di bernoulli , un esperimento che abbia solamente 2 possibili esiti:

 Successo p

 Insuccesso 1-p

Avremo che la probabilità di avere k successi in n prove effettuate è:

Calcolo combinatorio

Principio base: se devi compiere k scelte, e per la scelta i-esima hai n i

alternative possibili, allora il numero totale di

alternative possibili per la k scelte è n 1

*n 2

…n k

Disposizioni

Def: una disposizione di n elementi di classe k (1≤k≤n) è una qualunque disposizione ordinata di essi

𝑛,𝑘

Def: una disposizione con ripetizione di n elementi con classe k è una disposizione ordinata in cui considero anche

i

raggruppamenti aventi elementi ripetuti

𝑛,𝑘

𝑘

Def: una disposizione di classe n di n elementi viene chiamata permutazione di n elementi

𝑛

𝑛,𝑛

Combinazioni

Def: una combinazione di n elementi di classe k è un sottoinsieme di k elementi presi dagli n

𝑛,𝑘

𝑛,𝑘

𝑘

Esperimenti binomiali o di Bernoulli

Considero un esperimento con due soli esiti che classifico in:

 P - > successo

 Q=1-P - > insuccesso

E ripeto l’esperimento n volte. La probabilità di avere esattamente k successi in n prove è data da: 𝐵

𝑛,𝑘

𝑛

𝑘

𝑘

𝑛−𝑘

Quartili

I quantili si riferiscono ad una suddivisione in 4 parti uguali (dette anche classi).

Def: Dati dei valori x 1 ,…,xn, e suddiviso l’insieme di tali valori in 4 parti distinte, si dicono quartili i 3 valori agenti da

Limiti notevoli

per i 4 sottoinsiemi prima citati.

Primo quartile: unità di osservazione che ha la proprietà di avere sotto di sé un quarto dei dati della distribuzione

[

𝑛

4

]+ 1

𝑛

4

è 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

𝑥𝑛

4

• 𝑥𝑛

4

• 1

2

𝑛

4

𝑛𝑜𝑛 è 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

Secondo quartile= mediana

Terzo quartile:

[

3 𝑛

4

]+ 1

3 𝑛

4

è 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

𝑥 3 𝑛

4

• 𝑥 3 𝑛

4

• 1

2

3 𝑛

4

𝑛𝑜𝑛 è 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

La moda:.........................................................................................................................................................................................

Def: dato un insieme di dati x1, … , xn la moda è il valore più frequente nell’insieme.

Indici di dispersione dei dati:

La misura della media non dà indizi sulla reale dispersione dei dati, cioè quanti sia effettivamente ampio l’insieme dei

dati considerato.

Esempio:

Range dati 1:

Media = 0

Range dati 2:

Media = 0

La media è uguale ma il range considerato è notevolmente diverso.

Introduciamo degli indici per dare un’idea sull’ampiezza dell’insieme dati considerato:

Siano x 1

, … , x n

dati ordinati, si definisce:

 Intervallo di variabilità come l’indice di dispersione dei dati δ= x max

• x min

 Varianza è la media degli scarti della media elevati al quadrato

2

𝑖

2

𝑛

𝑖= 1

𝑖

𝑖

2

𝑘

𝑖= 1

 Deviazione standard è la radice della varianza

2

 Coefficiente di variazione è il rapporto tra la deviazione standard e la media ed è adimensionale

Proprietà della varianza:

Dati x 1

, … , x n

2

𝑖

2

) − [𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎(𝑥

𝑖

)]

2

Retta di regressione

L’analisi di regressione bivariata parte dall’ipotesi che vi sia una relazione asimmetrica (casuale) tra una coppia di variabili

x e y.

L’idea di fondo è di descrivere la relazione tra le due variabili in modo tale da rendere possibile l’utilizzo dei valori di

una variabile (indipendente) per prevedere i valori dell’altra (dipendente). Il tipo di relazione ricercata è quella lineare,

ossia una retta di equazione generale y=mx+q.

I parametri m e q si dicono anche coefficienti di regressione ed hanno un preciso significato.

 Il parametro m è una stima dei valori di y nel caso in cui x=

 Il parametro q indica quanto varia y in corrispondenza di una variazione unitaria di x; in altre parole, indica

cosa succede a y al variare di x (varia di una unità)

Come si calcolano i coefficienti di regressione:

𝑥𝑦

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑖

2

𝑛

𝑖= 1

𝑥𝑦

𝑖

𝑖

𝑛

𝑖= 1

Dove 𝑦̅ = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 (𝑦

𝑖

) e 𝑥̅ = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 (𝑥

𝑖

Funzioni allometriche:

Def: Si definiscono, più in generale, funzioni potenza o allometriche , le funzioni del tipo y=kx

n

con n numero intero.

Distinguiamo 4 casi generali:

1. N positivo e pari

Dove i grafici sono relativamente simili alla parabola

Caratteristiche:

 Dominio: ℝ

 Codominio: [0, +∞ [

 f(x)=0 se e solo se x=0; f(x)>0 per ogni x  ℝ

 f(x) = f(-x) per ogni x  ℝ

Si dicono funzioni quadratiche le funzioni del tipo y=mx

2

+q

1. N positivo e dispari

Dove i grafici sono del tipo:

Caratteristiche:

 Dominio: ℝ

 Codominio: ℝ

1. N negativo e pari

Dove i grafici sono del tipo:

Caratteristiche:

 Dominio: ℝ-{0}

 Codominio: ]0, +∞ [

 f(x) = f(-x) per ogni x  ℝ, x ≠ 0

1. N negativo e dispari

Dove i grafici sono relativamente simili all'iperbole equilatera

Caratteristiche:

 Dominio: ℝ- {0}

 Codominio: : ℝ- {0}

 f(x) = - f(-x) per ogni x  ℝ, x ≠ 0

Una funzione avente equazione y =

k

x

• q è una funzione rappresentante una proporzionalità inversa tra le

due variabili.

Funzione valore assoluto:............................................................................................................................................................

Funzione avente equazione contenente un valore assoluto. Consideriamo, ad esempio y=|x|, si ha che per x<0 il grafico

della funzione coincide con quello della semiretta di equazione y=-x e per x≥0 con quello della semiretta y=x

Caratteristiche:

 Dominio: ℝ

 Codominio: [0, +∞ [

 f(x)≥0 per ogni x  ℝ; f(x)=0 se e solo se x=

 f(x) = f(-x) per ogni x  ℝ

Funzioni composte:

La funzione composta è una funzione che si ottiene mediante l'operazione di composizione di due funzioni. In sintesi

la funzione composta si definisce applicando la seconda funzione alle immagini della prima.

Def: Date due funzioni f: A→B e g: B→C, definiamo funzione composta la funzione h: A→C.

Per costruirla partiamo dall’elemento xA e applichiamo la funzione f: otterremo l’immagine f(x)B. Ora applichiamo

ad f(x) la funzione g: otterremo l’immagine di f(x) in C, ossia l’elemento g(f(x)).

Date y=f(x) e z=g(x) la funzione composta fog=g(f(x))

Esponenziali e logaritmi

Def: Una funzione f(x) della forma y=a

x

avente a>0 è detta funzione esponenziale.

Si distinguono tre casi per tracciarne il grafico:

1. a>
2. 0< a <
3. a=

Def: Una funzione f(x) della forma 𝑦 = log 𝑎

𝑥 avente x≥0, a>0 è detta funzione logaritmica

Si distinguono tre casi per tracciarne il grafico:

1. a>
2. 0< a <

La base naturale:

Tra le funzioni esponenziali e logaritmiche, si incontrano con particolare frequenza quelle la cui base è il numero di

Nepero: e=2.7. Avremo quindi per esponenziale e

x

e per logaritmo log

𝑒

𝑥 = ln 𝑥.

Proprietà dell’esponenziale:

Derivano dalle proprietà delle potenze:

Proprietà del logaritmo:

1. Logaritmo di un prodotto

Def: Dato aR, a≠1, il logaritmo in base a del prodotto di due numeri reali positivi è uguale alla somma dei

logaritmi in base a dei singoli fattori.

log

𝑎

(𝑏 ∗ 𝑐) = log

𝑎

𝑏 + log

𝑎

1. Logaritmo di un quoziente

Def: Dato aR, a≠1, il logaritmo in base a del quoziente di due numeri reali positivi è uguale alla differenza

dei logaritmi in base a del dividendo e del divisore.

log

𝑎

) = log

𝑎

𝑏 − log

𝑎

1. Logaritmo di una potenza

Def: Dato aR,a>0, a≠1, il logaritmo in base a della potenza ad esponente reale di un numero positivo è uguale

al prodotto dell’esponente per il logaritmo in base a del numero assegnato.

log

𝑎

𝑛

) = 𝑛 ∗ log

𝑎

1. Cambiamento di base

log

𝑎

log

𝑐

log

𝑐

Con a>0, b>0, c>0 e a≠1, c≠ 1