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Calcolo Differenziale: Esercizi e Applicazioni, Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Politecnico di Milano (POLIMI)Algebra Lineare e Geometria Analitica

Una serie di esercizi di calcolo differenziale, illustrando concetti chiave come la derivata di una funzione, la regola della catena, il teorema di fermat e il teorema di lagrange. Gli esercizi sono accompagnati da spiegazioni dettagliate e esempi pratici, rendendo il documento un utile strumento di apprendimento per studenti universitari e di scuola superiore.

Tipologia: Appunti

2023/2024

Caricato il 17/01/2025

benedettareale
benedettareale 🇮🇹

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CALCOLODIFFERENZIALE
94SIA
toth sit distanzadalpuntodi
partenza
all'istante t
sito lavelocitàmediaèsfoggio 5m15
Eh si
5
Ingenerale la velocitàmedia tra to etoth secondi sarà
altoth alto sito ht_alto rapporto
Ito hi to hINCREMENTALE
la retta
che
passaper lto sito etoth sitothll ha equazione
ysito Sloth sito It to
Qualèla velocitàistantanea dell'automobileall'istanteto
Intuitivamentedovrebbe
esserelavelocitàmediasu unintervallo molto
piccolo
n n
hDOp
ÈLoth fototh i
Sia fabsir esia Xo Ela b
fsidicederivabile in to seesiste
finito fino flxothl
flx.in
Ilvalore finito dellimiteseesiste sidice derivata
prima di finto esi
denotacon fCX
Ixeno Detto Ino
definiremola retta
tangente algraficodi fin Xo così
yfXo fXo xXo el'Aol fXII Xd
set èderivabile frolla ballora restadefinitalaDI SIR
epossiamo
chiederci sefsiaderivabile into Ela bi
se sì abbiamola derivata
SECONDA fXo
da
dxaoInd D'fini sderivatanesima fXi
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13

Anteprima parziale del testo

Scarica Calcolo Differenziale: Esercizi e Applicazioni e più Appunti in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity!

CALCOLODIFFERENZIALE

SIA

toth sit distanza dal punto

dipartenza

all'istante t

sito

la

velocità mediaè

sfoggio

5m

Eh si

5

Ingenerale la

velocità media tra

to e toth

secondi

sarà

alto

th

alto sito ht_alto rapporto

Ito hi

to

h

INCREMENTALE

la retta

che

passaper

lto sito

e

toth

sitothll ha equazione

y

sito

Sloth sito

It

to

Qual è la

velocitàistantanea

dell'automobile

all'istanteto

Intuitivamentedovrebbe essere la

velocità

media

su un

intervallo molto

piccolo

n n

h DO

p

È

Loth fototh

i

Sia f a

b

sir e sia Xo

E la

b

f

si dice derivabile

in to seesistefinito

fino

flxothl

flx.in

Il

valore

finito del

limite se esiste

sidice derivataprima di

finto e

si

denota

con

f

CX

I

xeno

Detto

Ino

definiremola rettatangente algrafico

di

f

in Xo così

y

f

Xo

f

Xo

x Xo

e

l'Aol

f

XII

Xd

set

èderivabile

frolla

b

allora restadefinita

l

a

DI

SIR

epossiamo

chiederci

se

f siaderivabile

into

Ela

bi

se sì abbiamo la derivata

SECONDA

f

Xo

da

dx

a

o

Ind D'fini s

derivatan esima f Xi

Se

f

è

derivabilein

Xo allora

se

l'ix

170 vale che

fut f Xo l'Aol

IX

Xo

per

sto

Infatti

finto

f

f

l

Xo

DERIVATE

DI

FUNZIONI

ELEMENTARI

FIX

X

NEINNas

l'Atene

xothhn

x.my

nkx.n

jni

YIIII

BINOMIO

DI

NEWTON

elio

non

this

non

i

fai_SINX

l'ixl

lgsinkothh

sinxo

lgsinxo.coshtsinncos.to

sino

figo

sino

cash

1

a

costo

sigh

a costo

o

Hai

fixle

ex

l'ixt

lgex.tn

e

leone

età

e

fix a la

01

che

ho

anta

elio

a

anni

a

enegistena.at

fix X LE

IR

X O

se

L O 1

è costante

e laderivataè zero

sia

270 sia

roso

l'Ix

Gino

lxothpt

xi.ly xolsthI

Xot

lniugxoy1attgt

a

Ke I

thè

s ax.at

a

TEOREMA Continuità

funzioniderivabili

sia

f

a b

IR e

sia Xo

E

la

b set

è derivabile in

to allora 7 ècontinua in

Xo

DIMOSTRAZIONE

Dimostrare che

Ergo

f

X

f Xo

Im

ta foto

Enzo

f

o

A

Xo O

l'ho

er

O

PUNTI DI

NON

DERIVABILITÀ

se una

funzionenon è continua

in xo alloranon

ènemmenoderivabileinXo

Assumiamo

che

f siacontinuainXo

Amo flxothh

flx.lt finito f

è

derivabile

in

Xo

consideriamo il

limite

destro

gg

f

Noth

end

e il

limsinistrolling

Può

succedere che

il

Cim destro

e

quello

sinistro esistanofiniti

ma siano

diversi fraloro

es

9

Gia

nato

lib

E

1

LI io lib

1

Si

dice

che

o

è un

PUNTO

angoloso

anchequandoil in

destro

è finito

e

quello

sinistroè col

seil lim

destroè

to

e

quello

sinistro

pure

il

punto

Xoè unPunto di

flesso a

TANGENTE

VERTICALE

b

IN IF

X

limo

toth

O

G

ti

_LA

siro

O

tangente

verticale

seillimdestrovalet

co

e

quello

sinistrovale

o

sidicechef ha

Una cuspide

into

es

INI

IN

LA

II

n co

Hbo

come

prima

attenzione

Set

è

definitasolo

per

lato

elim

flxothh

flhol.to

si

dicecheXo

è

un

punto

a

tangente

verticale

es

n

Giro

I_

PUNTO

A

0

TANGENTE

FA

GIA

VERTICALE

PUNTO

angoloso

finto

la

ftp

la

CUSPIDE

GIA

Io

fino

to

FA

l 19

fallito

e

leggo

fatemi_fholghltfhoighi

fn.laNoi

X

Xo

FA

Sull

f

fuo

SI

jfhd

f'lxol9ixoltflxolg'cxol

Per

quanto riguarda

il

quoziente

per

la

regola

della

catena

f

Hot

afa

Noi ovvero

f

99

penso

a

f

come l

g

l

f

f

e

l'agg't

i

tg

che

tan

fig

quindi

ton Xo_Sin'ho

cos Xo

sincro Cos

Xd

cosahai

COS'Holtsinzixo

cosa Xo

COSÌ

Xo

SENO

ECOSENO

IPERBOLICI

Sinha

e

e

cash x

ex e

x

i

legame

con la catenaria

Sinn al cash

Xi cash

the

sinner

TEOREMA

Derivata

dell'inversa

sia f ta

b

IRderivabile

e sia

g

f la sua inversa

Supponiamo inoltre

che l'ha to

dove tocca bil

allora

èderivabilein

yo

fax

9

401

fifa

DIMOSTRAZIONE

si

puòprovare

che

g

è derivabile in

yo

Allora Xo

l

flat

gol

Xo

Derivando

ha

che 1

9

Ifito

l'Hot

9

yo

l'Aol

e

quindi

9 yo

figo

es

n'che

IEEE

gigheny

Ch

yo

Ex

Io

arcsin'Al text

sinxglyl arcsincylyo

sincxolxo

arcsincy.at

arcsin'Che

sinful

cos'ha_costaffinis

Asinio

Iggy

analogamente

arccos no

11g

arcton

yd

sino

A B

AB 10km

12.00.

È

12.04.

Y

12g king

1947

150kmh

a

Multa

esisteun punto

in la B

dovelavelocità istantanea

è 150km h

BI

A_

II00.

TEOREMA

di Lagrange

lodel

valormedio

sia

f a

b

IR

continuasu ta b

ederivabile su la

b

Alloraesiste cela b

taleche

fig

f b

fla

b a

DIMOSTRAZIONE

consideriamo la

funzione

g

a

b

IRdefinita così

qui

fix fca

Albi flat

Kal

b a

Allora

è

continuasu la

b ederivabile

su la

bi perché

f lo è

gia

flat flat 0

albi

o

Atf X

figliflol

quindi glielo

l

c

f b flat

b a

per

ilTdiWeierstrass

deve avere un

minimo me un

massimo Mlalobale

se m m

la funzione

g

è

costantee

quindi

gli

ci O tee la

b V

se mi M allora a

e b nonpossonoessere

contemporaneamente

punti

di MinediMax

per

la

funzione

gia

bi

allora

deveesistere ce la

b

taleche

gli

f

alal

e

c sia

un

punto

di estremolocale per g

allora

per

il

t di

Fermat si hache

gl'ci

0 e quindi

f le

Abl

flat

b a

TEOREMA

Testdi

monotonia

Sia f la

b

SIR

derivabile

Allora

f ècrescente

decrescente

su ta bi l'Alto tre la b

ATTENZIONE

Non

èveroche

f

strettamente crescente e l'insouxelab

controesempio

fai

3

DIMOSTRAZIONE

Si

dimostrain modo

simile al t diFermat

e

supponiamo

che l

X

AXEla b

prendiamo XiXaElo

b

taliche

ti Xa

vogliamo

dimostrare

che fai Efika

per

il

t di Lagrange

Ice

xi.xalt.c.fi

ff1l

f c

tè

Allora flat

f Xi

figl

Xz

il

e

quindi

fixilefixal

Il

test di

monotoniaci aiuta a

determinare

gli

intervallidicrescenzadecrescenza e i

punti

di

estremo locale

E

t

0

f 0

f

vos

xe

rots

f

ro s

xo

rots

Maxtocale Mintocale

se

vediamo tot o

o sicuramentenonabbiamo un punto

diestremo

locale

es

fix

Xè su

continua

l

01 0 712 ze

a

2g

so

È

f o

o 2 fà sè

dato che

xè 20 su

0,23 o

è un

puntodi

MinGlobale

f

XI

E

I xè 1 2

1

è

2

2

fa

è

è

E fa

MassimoGlobale

punto

di Min Locale Non Globale

Applicazione limitederivata

GIA

Italo

derivata

destra

GIA t'I

de

lega

l'IX 7 allora

le

due

quantità

sono

uguali

de

l'Hopital

es EHI MI

HO

PUNTO

ANGOLOSO

fate

I If

l'Ntfs ftp.eo

ENON

èderivabile

in 0

10

A

derivata destra

e sinistra

diverse 7

FA

l'Ale 1

Quindi

sella

l X

e

ftp.flxl

esistono esono

diversi enonè

derivabile

in a

se almeno uno

trafigge

l'Ixlefigal

x

vale cosa nonè

derivabile

in a

se

Gma

l'ex

fine

l'hi

tè

derivabile in

e

l

al

fine

l

a

ATTENZIONE

Se

ma

l'Niella

l'hi

nonesistono nonabbiamoinformazioni

sulla

derivabilità ina

fitte

G'sind

Itg

continua

per

to

l'In

2XSINITXY.LI

COSI

2XSINE

COSI

GB

l'Ald

Emo

l'Ihf

nonabbiamoinformazionisuderivabilità

usando

la

definizione

figo

nasinin

O

ha

Isinfeinfata

tè

derivabile

in

IR ma f non

è

continua in

o

se

non

è

di

classe e

FUNZIONI

CONCAVE

E

CONVESSE

sia

I un intervallo Xi Xi E

IR

i i

y

IMI

o

a

μ

i

f è

CONVESSA

in I

se

ta Xa

E I

conti che

si hacheil

grafico

di f tra ri Xa

stainternamentesotto

la retta

passante

per

Mi

fixille

Ha farli

G

FAI

FILIKI

IX XII

AIX

E

FAI

IIII

il IX

XII OXI

X2EI

CON KAZ

AXEHI

XD

Se

invece di

NO

C

f è

STRETTAMENTE CONVESSA

1

è

concava

in

ISTRETCON

caval

de vales

s

f

è

concava

f

è convessa

Se

f

èderivabile

ilcomportamentodelladerivataci

dà informazioni

sulla

convessit

es EHI X

2

I

l'hi 2X

f

x 2

2

2

s e

TEOREMA

Convessitàederivabilità

Sia f

a b DIR

1 se f

è derivabile in la

b allora

è convessa su la

b

e

l'ècrescente

in

la b

CONCAVA

DECRESCENTE

f

è strettamente

Goonies

sula

b

e

t'è

strettamentecrescente in la

b

decrescente

3 se f è

derivabile

a

volteinto bi

7 è

convessa 1

20 su la b

CONCAVA

EO

APPROSSIMARE

LE

FUNZIONI

i

polinomi

di

Taylor

Maclaurin

NOTAZIONE O

PICCOLO

fixheggell

vuoidire

che

fine

ftp.o

per

oggi

soprattutto

Oval

per

X

D O

PROPRIETÀ

per

X

no

si

ha che

01km

Onu

olxminsm.nl

OHM

OHM

OHM

LIO

XM

OH OAuth

OXml 01

4 0

Xmm

O

Xml

O

Xmm

conoscere

i valori di fili

e l'hi in un punto

to si

può

scrivere

latangenteinto

y

Alto l'ho

X

Xo

miglior

approssimazione

linearedi fai

per

X

D

Xo

DEA

AIX f

XD E XD

X Xo OH

Xo X

D

Xo

infatti

fimo

flxt

flxof

ffxollx

Xol.fi

Xol f'lXol

O

se aumentiamo il

grado

del

polinomio

approssimativamente

es

EHI

COSMI

per

X

D

O fiol 1

l'HI Sint

Illo

O

la

tangente

è

y

stolti

PIXIECO CAT Cat

Chiediamoche flot

Pio

co In generale

PHI cotcsix Xoltczh.to

chiediamo che

le

rette

tangenti

siano

uguali

POLINOMI

di

TAYLOR

f 101

PYO

PINI

Cs 2CX

O

P

O PUOI Ca Ca

O

andiamoavanti

conle altre

derivate

f

XI Cost

of col 1

f

PUOI 2

C2 Ca 32

la

miglioreparabola

cheapprossima cosx

per

o

è

g

12

2

POLIPI

fi

MICLAURIEnix NU.fcxl

f X

Per

I

4

1

1

2

POLINOMIO

di

MACLAURIN

POLINOMIO

DI

MACLAURIN

derivando

più

volte X

Dan

n i

a

nina

n

a

an

derivatan esimadi

Il

polinomio

di

Maclaurin di f diordinené fioltf O

X

l

49

2

f

ftp

È

l

YO

Tnf

X

DERIVATA di

Tnf XI

The X

filo f lol

f

p

ftp

XI

fhYY

In

1,

Inoltre

D

Tn 1101 f 101

K

n

unico

polinomio con

questa

proprietà

TEOREMA

Formula

diMaclaurin conresto

secondo

Peano

Sia fla

b DIR

derivabile nvolte

in

0 Ela

b

allora flXI

Tn

f X O 1

per

o

Dimostrazione

procediamo

per

induzione

su n

D 1 fix Te

flXI 01

1 vero

per

quanto

visto in

precedenza retta

tangente

flottf 101

n 1

in

IPOTESI

INDUTTIVA

se

g

èderivabile

n a

voltein 0 Elab allora

gly Ig

9

1 X

TESI

fix

tn.fi

ti torni per

0 cioè

flxl

th.fi

i

0 X

per

0 cioè

fill

In

È

applichiamode

l'Hopital

EL 4Th

fanaquindi

EI

t.IE

l

EIfhhIhfn

0

IL

A X X

X Xht X

OGNI

TEOREMA Sviluppo di

Taylor

conrestodi

Lagrange

sia

f

a

b DIR derivabile

nta

volte in la

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X

Ela

b conXo X

Allora esiste

e compreso tra Xo

e

x tale

che

fai

Tn

t.xolxltfIIIGGIA

X.int

POLINOMIO

DI

TAYLOR

Non

tuttele funzioni

sono

uguali

alla loro serie

di

Taylor

o

funzionianalitiche

es

axe

E Il