Compito Svolto Algebra e Geometria , Prove d'esame di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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Università degli Studi di Napoli Federico IT Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione ed in Ingegneria Informatica Esame di “Geometria e Algebra” — Prova d’esame del 13 Luglio 2017 (Traccia A) NOn: Matricola... Fornire risposte chiare, essenziali ed esaustive. Non verranno valutati esercizi di cui sono presenti solo i risultati (cioè privi del procedimento risolutivo). Esercizio 1 (i) Si dimostri che, fissata una matrice A € Mm,n(R), l'insieme S= {X e R": AX = 0} è un sottospazio di R" di dimensione n — p(A) (ii) Considerate le seguenti matrici a valori reali ds 3000 a a=-|3. topa BE quos SS 11005 a. Si scriva le matrice C = AB, se ne calcoli il determinante e se possibile se ne determini l’inversa. b. Si scriva la matrice D = BA e se ne calcoli il rango. (iii) Nello spazio vettoriale M,(IR) delle matrici reali 4 x 4, si stabilisca se l'insieme D delle matrici diagonali è o meno un sottospazio e in caso affermativo se ne determini una base. Esercizio 2 Si consideri l’endomorfismo f : (1,42) € R3 + (e+y, # +y, 3r +3) e R3 (i) Stabilire se l'insieme {(,-;0);(0,0,6)} è o meno una base per ker f (giustificare opportuna» mente la risposta), e determinare f7!({(7,7,7)}). (ii) Si determinino il polinomio caratteristico e gli autovalori di f con le relative molteplicità algebriche e geometriche. Si determinino inoltre gli autospazi relativi a f e, se esiste, una base spettrale. Esercizio 3 Fissato nello spazio un riferimento affine ortogonale e monometrico: (i) Qual è la definzione di piani paralleli? Partendo dalla definizione dimostrare la condizione di parallelismo tra piani. Se due piani sono non paralleli, qual è la loro posizione reciproca? (giustificare la risposta). (ii) Sia F(r) il fascio: proprio di piani di asse la retta r: 3 T_Vt+3=0