Scarica Complementi di matematica (esercizi) e più Guide, Progetti e Ricerche in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity!
COMPLEMENTI di MATEMATICA (Docente: Luca Guerrini)
Alcuni esercizi assegnati in appelli precedenti, comprendenti anche quesiti a risposta multipla ed esercizi nei quali veriÖcare se lía§ermazione fatta Ë vera o falsa.
- Sia f (x; y) = x^3 + y^3 3 axy; con a 2 R. (a) Determinare fx(x; y) e fy (x; y). (b) Determinare fxx(x; y), fyy (x; y) e fxy (x; y): (c) Determinare i punti critici al variare del parametro a 2 R: (d) Determinare la natura dei punti critici trovati.
- Si consideri la funzione reale di due variabili reali deÖnita da f (x; y) = x^4 + y^4 2(x^2 + y^2 ) + 4xy: (a) Determinare i punti critici di f (x; y):
- Si possiede un capitale di 700 euro e lo si vuole impiegare per 5 anni. Supponendo che even- tuali ricavi intermedi non vengano reinvestiti, calcolare il montante in regime di interesse composto al tasso díinteresse e§ettivo dellí10% annuo.
- Si consideri un prestito di 1000 euro rimborsabile in 4 anni con rata costante annuale e posticipata. Si determini la rata in modo che il rendimento e§ettivo del prestito risulti del 10%:
- Sia f (x; y) = xye ^ x (^2) + 2 y 2 . (a) Determinare fx(x; y) e fy (x; y). (b) Determinare i punti critici. (c) Determinare fxy (x; y) e fyy (x; y). (d) Determinare la natura del punto (0; 0):
- Si consideri la funzione reale di due variabili reali deÖnita da f (x; y) =
p x^2 + y^2 jyj ; y^6 = 0: (a) Determinare (^) (x;ylim)!(0;0)f (x; y).
- Per ottenere dopo 3 anni un capitale di 1000 euro si pensa di versare tra un anno 600 euro e tra due anni 300 euro. Determinare il tasso annuo di interesse necessario per rendere possibile tale costituzione di capitale.
- Si possiede un capitale di 700 euro e lo si vuole impiegare per 5 anni. Determinare il montante in regime di interesse composto al tasso díinteresse e§ettivo dellí8% annuo.
- Sia f (x; y) = 2(x^3 + y^3 ) 3(x^2 + 2y). (a) Determinare fx(x; y) e fy (x; y). (b) Determinare i punti critici. (c) Determinare la matrice Hessiana calcolata in un punto (x; y). (d) Determinare la natura dei punti critici:
- Si consideri la funzione reale di due variabili reali deÖnita da f (x; y) = y x^2 y^2 :
(a) Discutere la derivabilt‡ di f (x; y) nel suo dominio.
- Determinare il tempo necessario a¢ nchË in regime di interesse semplice un capitale di 2000 euro produca un montante di 2050 euro al tasso del 2 ; 5% annuo.
- Tizio riceve a prestito la somma di 40000 euro da restituire in n rate annue costanti, pagate in via posticipata, di importo 9495 ; 86 euro ciascuna e calcolate in base al tasso del 6%. Si determini il numero di rate necessarie per estinguere il debito.
- Sia f (x; y) = ln(1 x^2 y^2 ): Allora fx(1; 1) =
- Sia f (x; y) = x ^3 y + xy ^2 : Allora fyx(0; 1) =
- non esiste 2) 5 3) 0
- 2 5) 2 6) 1
- Sia f (x; y) = (ln 2) log 2 (xy): Allora fyyy (0; 1) =
- 1 2) 2 3) ln(2)
- 3 5) 1 6) 2
- Sia f (x; y) = xy
2 4 x^2 + y^4 :^ Determinare se esiste^ (x;ylim)!(0;0)f^ (x; y).
- Sia f (x; y) = 2xy + e (x+y)^2 : Determinare se esistono punti critici della funzione diversi da (0; 0).
- Sia f (x; y) = (x^2 y^2 )e y^ : Allora fy (1; 0) =
- 0 2) 2 3) 1
- 3 5) 2 6) 1
- Sia f (x; y) = x^3 y + xy^2 : Allora fxy (1; 1) =
- 5 2) 5 3) 0
- 2 5) 2 6) 1
- Sia f (x; y) = ln(exy^ + 1): Allora fyy (1; 0) =
- 1= 2 2) 3= 4 3) 1= 4
- 3 = 4 5) 0 6) 1 = 4
- Sia f (x; y) = x^2 +
p x^2 + 2y: Allora fxy (1; 0) =
- 1 2) 2 3) 3
- 3 5) 2 6) 1
- Sia f (x; y) = jxj ln(1 + y): Allora fy ( 1 ; 0) =
- 1 2) 1 3) 1
- 3 5) 2 6) 2
- Una persona ha contratto un prestito per la durata di 10 anni al tasso del 7%. Per líestinzione di tale prestito paga annualmente alla Öne di ciascun anno rate di 600 euro per i primi 6 anni e di 900 euro per i successivi 4 anni. Determinare líimporto del capitale mutuato.
- circa 4100 ; 13 2) circa 6000 ; 2
- circa 4891 ; 26 4) circa 3000 ; 1
- circa 1002 ; 32 6) circa 1835 ; 75
- Si determini il tasso annuo nominale convertibile trimestralmente corrispondente al tasso annuo e§ettivo del 16 ; 5% (in regime composto).
- nessuna risposta Ë giusta 2) circa 0 ; 8213
- circa 0 ; 1119 4) circa 0 ; 1823
- circa 0 ; 9321 6) circa 0 ; 1556
- Sia f (x; y) = jxj ln(1 + y): Determinare se la funzione Ë derivabile in (0; 0):
- Sia f (x; y) = pjxj^ +^ jyj x^2 + y^2 ; (x; y) 6 = (0; 0): Calcolare (^) (x;ylim)!(0;0) f (x; y):
- Sia f (x; y) = (x^2 3 x + 2) ln(1 + y^2 ):
(a) Determinare il gradiente di f (x; y). (b) Determinare i punti critici di f (x; y). (c) Determinarela matrice Hessiana di f in (x; y): (d) Determinare se tra i punti critici di f (x; y) esistono due punti che sono punti di sella
- Il gradiente della funzione f (x; y) = ex^ + ln(x + y) nel punto (0; 1) Ë (1; 1):
- La funzione f (x; y) = x^2 + y^2 + 2x + 2y ha un massimo nel punto ( 1 ; 1):
- Il dominio della funzione f (x; y) = x + y Ë R.
- Líequazione del piano tangente in (1; 0) al graÖco di f (x; y) = x^2 y Ë z = 2x + y:
- Il tasso unitario di interesse i corrispondente al tasso unitario di sconto d = 0; 25 Ë pari a 33 ; 33%:
- Un capitale di 5000 euro viene impiegato ad un regime di interesse semplice per 18 mesi. Allora il tasso annuo di interesse per cui il montante prodotto e uguale a due volte il capitale impiegato Ë pari a circa 66 ; 66%:
- Il tasso nominale annuo di interesse convertibile 3 volte allíanno associato al tasso annuo di interesse del 3 ; 7% Ë circa 3 ; 65%:
- La funzione f (x; y) =
xy; se x > 0 e y > 0 0 ; altrove
non Ë derivabile nellíorigine.
- La funzione f (x; y) = ln(1 + x^2 y^2 ) non ammette minimo.
- Determinare il tempo necessario a¢ nchË, in regime di interesse semplice, un capitale di 2000 euro produca un montante di 2050 euro, al tasso del 2 ; 5% annuo.
- 1 anno 2) 1 mese
- circa 1 anno 4) 2 anni
- circa 2 ; 32 anni 6) 2 mesi
- Tizio versa presso un Istituto di Credito 1500 euro allíanno, anticipati, per 5 anni, al tasso del 3% annuo. Calcolare il montante di cui si dispone, in regime composto, alla Öne del quinto anno.
- circa 82026 ; 15 2) circa 62026 ; 15
- circa 91000 4) circa 8026 ; 15
- circa 92026 ; 15 6) circa 72026 ; 15
- Un individuo riceve a prestito la somma di 40000 euro che deve restituire in n rate annue costanti, pagate in via posticipata, di importo 9495 ; 86 euro ciascuna e calcolate in base al tasso annuo del 6%. Si determini il numero di rate necessarie per estinguere il debito.
- Sia f (x; y) = p jxj x^2 + y^2
; (x; y) 6 = (0; 0): Calcolare (^) (x;ylim)!(0;0) f (x; y):
- Sia f (x; y) = xye (x
(^2) + y (^2) ) (^2) : (a) Determinare il gradiente di f (x; y). (b) Determinare i punti critici di f (x; y). (c) Determinare se líorigine Ë massimo, minimo o sella per la funzione.
- Il dominio della funzione f (x; y) = (^) pxy Ë dato dallíinsieme R (0; + 1 ):
- Il gradiente della funzione f (x; y) = (x^2 y^2 )exy^ nel punto (1; 1) Ë (2e; 2 e):
- La funzione f (x; y) = x^2 y x^4 y^3 ha un massimo nel punto
(^) p 63 ;^16
- (^) @z@
xyz^2 + z + 5xy
= xy + 1:
- Il tasso unitario di interesse i corrispondente al tasso unitario di sconto d = 0; 25 Ë pari a 33 ; 33%:
- La funzione f (x; y) =
x^2 y^3 + y^5 x^4 + y^4 ;^ se^ (x; y)^6 = (0;^ 0) 0 ; altrove
Ë derivabile nellíorigine.
- La funzione f (x; y) = x^2 y x^4 y^3 ha un minimo nellíorigine.
- Il valore attuale di una rendita perpetua posticipata pari a 270 euro al tasso di interesse annuo del 5% Ë pari a 5400 euro.
- Il valore attuale di una rendita annua immediata posticipata Ë di 2000 euro. Noto che si versano 12 rate annue costanti in capitalizzazione composta ai tassi semestrali del 2% per i primi 8 anni e del 5% per i successivi, allora il valore della rata Ë di circa 100 ; 32 euro.
- Sia f (x; y) = x^2 + y^2 e^2 y^ : Allora fy (0; 1) =
- 4e^2 2) 2 e^2 3) 1
- 4 e^2 5) 2e^2 6) 0
- Sia f (x; y) = y
p x^3 + xy^2 : Allora fxy (0; 1) =
- Sia f (x; y) = ln(exy^ ): Allora fxx(1; 1) =
- 1 2) 0 3) 2e
- e 5) 1 6) 2
- Sia f (x; y) = x^2 y : Allora fy (0; 0) =
- 1 2) 0 3) non esiste
- 1 5) 2 6) 1
- La funzione f (x; y) = x^2 y x^4 y^3 ha un massimo nel punto
p 3 6 ;^16
- Il tasso unitario di interesse i corrispondente al tasso unitario di sconto d = 0; 25 Ë pari a 33 ; 33%:
- La funzione f (x; y) = p jyj (4 x^2 y^2 ) Ë derivabile nel punto (1; 0):
- Líequazione del piano tangente in (0; 1) al graÖco di f (x; y) = p jyj (4 x^2 y^2 ) Ë 6 z = 5 p 3 + p 3 y:
- Circa 7 ; 33% Ë il tasso di interesse composto annuo equivalente al tasso di interesse semplice dellí8% relativamente ad un impiego la cui durata Ë 3 anni e 5 mesi.
- Il valore attuale di una rendita annua immediata posticipata Ë di 2000 euro. Noto che si versano 12 rate annue costanti in capitalizzazione composta ai tassi semestrali del 2% per i primi 8 anni e del 5% per i successivi, allora il valore della rata Ë di circa 550 ; 87 euro.
- Sia f (x; y) = p jyj(4 x^2 y^2 ). Nel punto (1; 0) (a) f non Ë derivabile. (b) esiste fx ma non fy. (c) fx(1; 0) = 0, fy (1; 0) = 0. (d) fx(1; 0) = 0, fy (1; 0) non esiste. (e) esiste fy ma non fx.
- Líinsieme f(x; y) 2 R^2 : jxj 1 ; jyj 2 g Ë
(a) un quadrato. (b) un rettangolo. (c) un triangolo. (d) un cerchio. (e) una retta.
- Sia f (x; y; z) = (98x^6 + ex)(y + 5)^3 + z^2. Allora
(a) fxxz (x; y; z) = 30x^2 12 xy^2. (b) fxyz (x; y; z) = 18x^2 y^2. (c) fzz (x; y; z) = 2z. (d) fzz (x; y; z) = 2. (e) fzzz (x; y; z) = 1
- Sia f (x; y) =
p jx^2 xyj: (a) fx, fy esistono sempre.
(b) fx(0; 0), fy (0; 0) esistono. (c) fx(0; 0) non esiste, fy (0; 0) esiste. (d) fx(0; 0) = 0, fy (0; 0) = 0. (e) il gradiente in (0; 0) non esiste.
- Determinare il dominio di f (x; y) = 2.
(a) R: (b) R^2 : (c) 8 (x; y) 6 = (0; 0). (d) cerchio con centro nellíorigine e raggio 1. (e) f(x; y) 2 R^2 : x 6 = 0g:
- Trovare tutti i punti critici di f (x; y) = 1 + x^3 y^4.
(a) R: (b) R^2 : (c) asse x e asse y. (d) origine. (e) asse x e y = 1.
- Sia f (x; y) = 1 + x^3 y^4. Allora
(a) tutti i punti del semiasse x positivo sono punti di minimo. (b) tutti i punti del semiasse x negativo sono punti di massimo. (c) tutti i punti dellíasse y sono punti di sella. (d) (1; 1) Ë un punto di massimo. (e) (0; 1) Ë un punto di minimo.
- Sia f (x; y) = x^2 xy^2 + 2y^2.
(a) (0; 0) Ë un punto di minimo. (b) (0; 0) Ë un punto di sella. (c) (2; 2) Ë un punto di sella. (d) (2; 2) Ë un punto di massimo. (e) (1; 1) Ë un punto di sella.
- Calcolare il montante che si ottiene impiegando la somma di 10000 euro per 15 mesi in regime di interessi semplici al tasso annuo del 10%. (a) 11250 (b) 1125
(a) la prima rata Ë di 4560 euro. (b) la quota capitale relativa al primo anno risulta di 3494 ; 89 euro. (c) la seconda rata Ë di circa 5244 ; 89 euro. (d) il debito estinto relativo al primo anno Ë di 2456 euro. (e) il debito residuo relativo al secondo anno risulta di 1454 euro.
- Siano f (x; y) = log 2 (ax + by), con a e b parametri reali positivi.
(a) fxy (x; y) < 0 ; fyx(x; y) < 0 : (b) fxy (x; y) < 0 ; fyx(x; y) > 0 : (c) fxy (x; y) > 0 ; fyx(x; y) < 0 : (d) fxy (x; y) > 0 ; fyx(x; y) > 0 : (e) non esistono fxy (x; y); fyx(x; y).
- Calcolare rf (0; 0) di f (x; y) = e x^ + 2y.
(a) R: (b) (3; 2): (c) ( 1 ; 2): (d) (1; 2): (e) non esiste.
- Quale delle seguenti funzioni veriÖca fxx + fyy = 0 per ogni (x; y) del dominio?
(a) f (x; y) = x^2 + y^2 : (b) f (x; y) = x^2 y^2 : (c) f (x; y) = y^3 3 x^2 y + ex: (d) f (x; y) = x + y + 5: (e) f (x; y) = xy (x^2 + y^2 )^2
- In quali punti esistono tutte le derivate parziali prime della funzione f (x; y; z) = x + y + z?
(a) R. (b) R^2 : (c) R^3 : (d) nessun punto. (e) soltanto in (1; 1 ; 1):
- Sia f (x; y) = 3x^2 2 xy + y^2 8 y: Allora
(a) (2; 6) minimo relativo.
(b) (2; 6) massimo relativo. (c) (2; 6) punto di sella. (d) (1; 6) minimo relativo. (e) (0; 0) punto di sella.
- Trovare e classiÖcare i punti critici della funzione f (x; y) = (^) 1 + xxy (^2) + y 2 su R^2 :
(a) (0; 0) Ë punto di minimo. (b) (0; 0) Ë punto di massimo. (c) non esistono punti critici. (d) (0; 0) Ë punto di sella. (e) (1; 0) Ë punto di sella.
- Dato il tasso annuo dellí8% si trovi in regime di interesse composto líequivalente tasso mensile. (a) circa 0 ; 643% (b) circa 1 ; 234% (c) circa 13 ; 781% (d) circa 3% (e) circa 0 ; 999%
- Determinare il montante di un capitale di 700 ; 45 euro, sapendo che líinteresse semplice maturato per cinque anni Ë di 2000 euro. (a) circa 5 ; 71% (b) circa 5 (c) circa 6 ; 01% (d) circa 5 ; 91% (e) circa 1%
- Calcolare il valore attuale di una rendita perpetua che prevede il pagamento di rate annue posticipate di 300 euro in regime di interessi composti con tasso annuo del 5%. (a) 7000 (b) circa 2374 ; 15 (c) 8000 (d) 6000 (e) 7000
- Dato il tasso annuo dellí8% si trovi in regime di interesse composto líequivalente tasso mensile.
(a) fx(x; y) = 1=(xy), fy (x; y) = 1=(xy). (b) fx(x; y) = 1=x, fy (x; y) = 1=y. (c) fx(x; y) = 1=y, fy (x; y) = 1=x. (d) fx(x; y) = e, fy (x; y) = e. (e) fx(x; y) e fy (x; y) non esistono.
- Il di§erenziale totale di f (x; y) = x^2 y^3 Ë
(a) fx(x; y) = 2xy^3 , fy (x; y) = 3x^2 y^2. (b) non esiste. (c) 2 xy^3 dx + 3x^2 y^2 dy. (d) coincide con il gradiente essendo la funzione di§erenziabile. (e) 2 dx + 3dy.
- Determinare il dominio di f (x; y) = p x^2 + y^2. (a) R: (b) R^2 : (c) 8 (x; y) 6 = (0; 0). (d) cerchio con centro nellíorigine e raggio 1. (e) insieme dei punti del primo e terzo quadrante.
- I punti stazionari di f (x; y) = x^3 + y^2 + 4xy sono
(a) (0; 0), (8= 3 ; 16 =3). (b) (0; 0), (7= 3 ; 16 =3). (c) (0; 0), (8= 3 ; 16 =3). (d) (0; 0), (8= 3 ; 8 =3).non esistono.
- Sia f (x; y) = 4x^3 y^3 x^2 + 27y. Allora
(a) (0; 3); (0; 3); (1= 6 ; 3); (1= 6 ; 3) sono punti critici. (b) (0; 0); (1= 6 ; 3); (1= 6 ; 3) sono punti critici. (c) (0; 0) Ë un punto critico. (d) (0; 3); (0; 3); ( 1 = 6 ; 3); (1= 6 ; 3) sono punti critici. (e) (0; 3); (0; 3); ( 1 = 6 ; 3); ( 1 = 6 ; 3) sono punti critici.
- Sia f (x; y) = 4x^3 y^3 x^2 + 27y. Allora
(a) (0; 3) Ë un punto di massimo relativo. (b) (0; 3) Ë un punto di sella. (c) (0; 3) Ë un punto di minimo relativo.
(d) (0; 3) Ë un punto di massimo relativo. (e) (1= 6 ; 3) Ë un punto di sella.
- Calcolare a quale tasso annuo Ë stato impiegato un capitale di 7000 euro sapendo che líinteresse semplice maturato per cinque anni Ë di 2000 euro. (a) circa 5 ; 7% (b) circa 5% (c) circa 6 ; 1% (d) circa 4 ; 91% (e) circa 1%
- Calcolare il montante ad interesse composto annuo del capitale di 1400 euro al tasso annuo del 6% per 2 anni e 3 mesi. (a) circa 1596 ; 12 (b) circa 1700 ; 17 (c) circa 1000 (d) circa 13212 ; 13 (e) circa 1530 ; 71
- Calcolare dopo quanti anni un capitale di 1640 euro impiegato al 3% semestrale produce un montante di 2640 ; 80 euro. (a) circa 8 anni. (b) circa 10 anni. (c) circa 1 anno e 7 mesi. (d) circa 7 anni. (e) circa 4 anni ed 11 mesi.
- Si trovi in regime di interesse composto líequivalente tasso mensile del tasso annuo dellí8%.
(a) circa 0 ; 643% (b) circa 1 ; 234% (c) circa 13 ; 781% (d) circa 3% (e) circa 0 ; 999%
- Calcolare il valore tra 2 anni di due versamenti, il primo di 1500 euro e§ettuato subito ed il secondo di 1000 euro e§ettuato tra 3 anni in regime di interessi composti con tasso annuo del 6%. (a) circa 1433 ; 12
