Matematica finanziaria, Dispense di Matematica Finanziaria

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Matematica finanziaria

Complementi di Matematica

Luca Guerrini

Operazioni finanziarie

La Matematica Finanziaria ha per oggetto di studio le operazioni finanziarie, ossia lo scambio di somme di denaro disponibili in tempi diversi.

Per esempio, sono operazioni finanziarie l’accensione di un mutuo, il paga- mento di un debito, la concessione di un prestito.

Prenderemo in esame le due seguenti operazioni finanziarie:

operazione di capitalizzazione (operazione di investimento) Problema: ”se presto 1000 euro oggi, quanti euro riscuoterò tra due anni?”

operazione di attualizzazione (o anticipazione o sconto) (operazione di finanziamento) Problema: ”se ricevo 1000 euro oggi, quanti euro restituirò tra due anni?”

Si noti che l’essere di capitalizzazione o di attualizzazione per un’operazione finanziaria dipende dal punto di vista da cui ci si pone.

Simbologia dell’operazione di capitalizzazione

C = capitale investito (somma impiegata)

M = montante di C (somma riscossa)

Interesse: I = M − C (è la differenza tra il montante prodotto M ed il capitale impiegato C)

Tasso di interesse (o tasso di rendimento): i =

I

C

(è il rapporto tra l’interesse generato I ed il capitale impiegato C)

Fattore di capitalizzazione: r =

M

C

(è il rapporto tra il montante M ed il capitale iniziale C)

Osservazione

Conveniamo che sia C > 0 ed M > 0 (il caso M = 0 corrisponde a perdita completa del capitale investito, mentre M < 0 alla creazione di debiti a carico di chi ha intrapreso l’operazione).

L’ipotesi precedente implica che i > −1 (segue dalla i = I/C = M/C − 1).

Si osservi che i > 0 se M > C, ossia se la somma riscossa è maggiore del capitale investito.

È uso comune nella pratica esprimere il tasso di interesse come misura percentuale. Nelle formule di calcolo va naturalmente inserito il numero reale corrispondente.

Per esempio, avere un tasso di interesse del 6% significa lavorare con i = 6 / 100 = 0 , 06.

Operazione di attualizzazione (o anticipazione o sconto)

Attualizzare significa stimare il valore odierno di una somma disponibile in futuro (”il denaro è portato indietro nel tempo”). Si rinuncia ad una parte di capitale che è dovuto in futuro pur di entrarne anticipatamente in possesso.

Per esempio, una persona deve riscuotere tra due anni una somma pari a 8000 euro e cerca qualcuno che gli anticipi oggi tale valore. Trovare quanto può essere l’equivalente oggi di 8000 euro a scadenza tra due anni è un tipico problema di attualizzazione.

Un problema di attualizzazione può essere raffigurato geometricamente sull’asse dei tempi come segue:

V

t 1

K

t 2

• t = tempo

 attualizzazione

All’istante t 1 si vuole valutare V, l’equivalente di una somma K che è disponibile ad un istante successivo t 2.

Simbologia dell’operazione di attualizzazione

K = valore nominale (capitale disponibile a scadenza; somma futura)

V = valore attuale (o anticipato o scontato) di K (somma immediata)

Sconto: D = K − V

(è la differenza tra il capitale a scadenza K ed il valore attuale V di K)

Tasso di sconto: d =

D

K

(è il rapporto tra lo sconto D ed il capitale a scadenza K)

Fattore di attualizzazione: v =

V

K

(è il rapporto tra il valore attuale V ed il capitale a scadenza K)

Osservazione

Nel linguaggio comune la parola ”sconto” è utilizzata come sinonimo di ”ribasso”. Nella matematica finanziaria essa viene usata per indicare un pagamento anticipato.

Conveniamo che sia K > 0. Il caso normale è quando K > V > 0.

In tal caso risulta

K > V > 0 ⇒ 1 >

V

K

= v > 0 , ossia 0 < v < 1

Poichè v = 1 − d si ha

0 < v < 1 ⇒ 0 < 1 − d < 1 ⇒ − 1 < −d < 0 , ossia 0 < d < 1

Ricapitoliamo il significato delle lettere

CAPITALIZZAZIONE

Capitale: C Montante: M Interesse: I = M − C

Tasso di interesse: i =

I

C

Fattore di capitalizzazione: r =

M

C

ATTUALIZZAZIONE

Valore nominale: K Valore attuale: V Sconto: D = K − V

Tasso di sconto: d =

D

K

Fattore di attualizzazione: v =

V

K

Relazione fondamentale

Lemma

Sia r il fattore di capitalizzazione e v il fattore di attualizzazione. Risulta: rv = 1.

Questa relazione si enuncia dicendo che i fattori finanziari r, v sono coniugati.

Dimostrazione

Se M è il montante di C per un determinato investimento, potremo non solo dire che C è il valore attuale di M, ma anche considerare accanto al fattore di capitalizzazione, ossia r = M/C, quello di anticipazione, ossia v = C/M. Da cui segue v = 1 /r.

Viceversa, se V è il valor attuale di K secondo una data operazione di sconto, potremo riguardare K come il montante di V e considerare accanto al fattore di attualizzazione, ossia v = V/K, quello di capitalizzazione, ossia r = K/V. Da cui segue r = 1 /v.

Osservazione

In definitiva si hanno le seguenti importanti relazioni:

r = 1 + i v = 1 − d rv = 1

Le quattro grandezze finanziarie fondamentali i, r, d, v definite da una mede- sima operazione si dicono ”finanziariamente equivalenti”.

Nel prossimo lucido sono raccolte in una tabella le relazioni tra le quattro grandezze finanziarie fondamentali, ricavate dalle formule sopra trovate.

La lettura della tabella è immediata.

Tutte le grandezze indicate nella prima colonna sono espresse in funzione delle corrispondenti grandezze indicate nella prima riga

Osservazione

Nella tabella precedente conviene evidenziare in particolare la relazione

d =

i 1 + i

la quale implica che per ogni operazione finanziaria

il tasso di interesse i è sempre maggiore del tasso di sconto d corrispon- dente (questo per ogni i > −1 con l’eccezione di i = 0 cui corrisponde d = 0). In formule: i > d

d è una funzione crescente di i, ossia all’aumentare di i aumenta anche d.

Regimi finanziari

Nella pratica i fattori di capitalizzazione (montante) e di attualizzazione (sconto), che ricordo denotarsi rispettivamente con r e v , dipendono dal tempo e dal tasso di interesse i oppure da quello di sconto d.

Una volta specificata la funzione matematica del fattore di capitalizzazione, espressa in funzione del tempo e del tasso di interesse, ossia r = r ( t , i ), si dice che si è dato un regime finanziario (di capitalizzazione). Simile definizione si ha anche per il regime di attualizzazione, v = v ( t , i ).

Se si fissa il valore del tasso di interesse i , le funzioni che esprimono il fattore di capitalizzazione, espresse in funzione del tempo, ossia r = r ( t ), si dicono leggi finanziarie del regime considerato.

Due regimi r ( t , i ) e v ( t , i ), rispettivamente di capitalizzazione e di attualiz- zazione, si dicono coniugati se risulta r ( t , i ) v ( t , i ) = 1.

Regime dell’interesse semplice

In questo regime l’interesse I ( t ) prodotto da un’operazione di investimento è proporzionale al capitale impiegato C ed alla durata t dell’impiego. In formule, questo significa

I ( t ) = iCt (1)

con i costante di proporzionalità. Si noti che risulta I (1) = i , ossia i è l’interesse generato dal capitale unitario ( C = 1) nell’intervallo unitario di tempo ( t = 1).

Dalla formula (1) segue:

tasso di interesse: i ( t ) =

I ( t ) C = it

montante: M ( t ) = C + I ( t ) = C (1 + it )

fattore di capitalizzazione: r ( t ) = 1 + i ( t ) = 1 + it

Esercizio (determinazione dell’interesse e del montante)

Calcolare l’interesse I ed il montante M generati da un capitale di 10000 euro impiegato per 15 mesi, in regime di interesse semplice, al tasso annuo del 10%.

Nel regime dell’interesse semplice risulta I ( t ) = iCt , M ( t ) = C (1 + it ).

Sono noti C = 10000, i = 10% = 10 / 100 = 0 , 10 ed anche la durata t = 15 mesi.

Essendo il tasso i espresso in anni anche il tempo t deve essere espresso in anni. Risulta t = 15 mesi = 15 /12 anno (poichè 1 mese = 1 /12 anno).

Sostituendo i dati precedenti nelle nostre formule si ha

I (15/12) = (0, 10) · (10000) ·

M (15/12) = 10000 ·

In conclusione I = 1250 euro M = 11250 euro