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Studio generale di una conica
Manlio De Domenico
19 Giugno 2003
Definizione 1 Si definisce conica C un’equazione algebrica F (x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice simmetrica dei coefficienti, e x il vettore delle coordinate omogenee, C ha equazione xtAx = 0.
Una conica pu`o essere riducibile o non riducibile, secondo che sia det(A) = 0 o no. Una conica riducibile si spezza in due rette nel campo complesso se rg(A) = 2, o in due rette coincidenti in tale campo se rg(A) = 1.
1 Classificazione
Una conica `e classificabile a partire dalle sue intersezioni con la retta impro- pria.
{ xtAx = 0 x 3 = 0
La soluzione di tale sistema riconduce alle tre relazioni
a^212 − a 11 a 12 > 0 (1) a^212 − a 11 a 12 = 0 (2) a^212 − a 11 a 12 < 0 (3)
- La 1 specifica che la retta impropria ha intersezioni reali con la conica, per cui essa sar`a un’iperbole;
- La 2 specifica che la retta impropria ha intersezioni reali coincidenti con la conica (cio
ee tangente), per cui essa sar`a una parabola; - La 3 specifica che la retta impropria non ha intersezioni reali con la conica, per cui essa sar`a un’ellisse.
2 Tangenti a una conica
La retta generica passante per due punti P (x 1 , x 2 , x 3 ) e P ′(x′ 1 , x′ 2 , x′ 3 ) `e r : λx + μx, con λ, μ ∈ R. I punti di r che appartengono a C sono dati dal sistema { xtAx = 0 λx + μx′
che conduce all’equazione di 2◦^ grado
λ^2 xtAx + 2λμxtAx′^ + μ^2 x′tAx′^ = 0
il cui discriminante `e
∆ 4
= (xtAx′)^2 − (xtAx)(x′tAx′)
Si presentano i 3 casi:
- ∆ 4 > 0: r `e secante a C;
- ∆ 4 = 0: r `e tangente a C;
- ∆ 4 < 0: r `e esterna a C.
Se P ′^ ∈ C, allora xtAx′^ = 0, e l’equazione della tangente a C per P ′^ ha equazione
t : (a 11 x′ 1 + a 12 x′ 2 + a 13 x′ 3 )x 1 + (a 12 x′ 1 + a 22 x′ 2 + a 23 x′ 3 )x 2 + (a 13 x′ 1 + a 23 x′ 2 + a 33 x′ 3 )x 3 = 0 (4)
che in forma matriciale pu`o essere scritta x′tAx = 0.
3 Polarit`a
La (4) `e l’equazione di una speciale retta, detta polare.
Definizione 2 Dato un punto P ′^3 C, si definisce polare π(P ′) la retta x′tAx = 0 di polo P ′.
Ad ogni punto del piano corrisponde una e una sola polare rispetto ad una conica , il cui significato geometrico e quello di unire i due punti di tangenza di C con le rette passanti per P ′. Ovviamente, se P ′^ ∈ C, la polaree la tangente in P ′; possiamo dunque dire che quello di polare e una generalizzazione del concetto di tangente. La polarita rispetto a C `e:
Da queste definizioni, λλ′^ + μμ′^ = 0, per cui per λ = μ′^ e λ′^ = −μ nella (6), la condizione affinche π(P∞) sia un assee che
a 12 λ^2 + (a 22 − a 11 )λμ − a 12 μ^2 = 0 (7)
che risolta rispetto a (^) μλ (per λ, μ 6 = 0) e supposto a 12 6 = 0, per non ridurre a lineare l’equazione quadratica, porta a
λ μ
(a 11 − a 22 ) ±
(a 11 − a 22 )^2 + 4a^212 2 a 12 che sostituita nella (5), porta all’equazione dell’asse generico di una con- ica:
a : [
a 11 2 a 12
((a 11 − a 22 ) ±
(a 11 − a 22 )^2 + 4a^212 ) + a 12 ]x 1 +
+[
(a 11 − a 22 ) ±
(a 11 − a 22 )^2 + 4a^212 2
) + a 22 ]x 2 +
+[
a 13 2 a 12
((a 11 − a 22 ) ±
(a 11 − a 22 )^2 + 4a^212 ) + a 23 ]x 3 = 0 (8)
i cui vertici sono dati C ∩ a. E’ stato supposto λ, μ 6 = 0 e a 12 6 = 0. Se invece μ = 0, o λ = 0, avremo di conseguenza a 12 = 0, e il punto improprio sara necessariamente P∞(1, 0 , 0) o P∞(0, 1 , 0) rispettivamente, le cui polari sono rispettivamente a 11 x 1 +a 13 x 3 = 0 e a 22 x 2 + a 23 x 3 = 0. Al contrario, se a 12 = 0, si avra necessariamente P∞(0, 1 , 0), e dunque come prima. Analogamente per la ricerca dei vertici.
Definizione 9 Si definisce centro di una conica, l’intersezione tra due dei suoi diametri.
Poiche non importa quali diametri vengono intersecati, scegliamo quelli di forma piu semplice, le polari per i punti (1, 0 , 0) e 0, 1 , 0 (infatti il centro della conica `e centro del fascio dei suoi diametri), ottenendo: { a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = 0 a 12 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = 0
Risolvendo, otteniamo le coordinate del centro della conica:
C(
a 12 a 23 − a 13 a 22 a 11 a 22 − a^212
a 12 a 13 − a 11 a 23 a 11 a 22 − a^212
Solo nel caso della parabola, il centro `e invece
C(−a 12 , a 11 , 0) (10)
Definizione 10 Si definisce asintoto di una conica, un diametro autoconi- ugato, cio`e che coincide col suo coniugato.
La condizione espressa dalla definizione data `e, dalla (6):
a 11 λ^2 + 2a 12 λμ + a 22 μ^2 = 0 (11)
Osservando questa espressione, si nota che equivale a porre a sistema l’equazione della conica generica con la retta impropria (che serviva a trovare i punti impropri). Risolvendo, e sostituendo nella (5), si ottiene l’equazione generale degli asintoti di una conica, per λ, μ 6 = 0 e a 11 6 = 0:
[±
a^212 − a 11 a 22 ]x 1 + [
a 12 a 11
(−a 12 ±
a^212 − a 11 a 22 ) + a 22 ]x 2 +
+[
a 13 a 11
(−a 12 ±
a^212 − a 11 a 22 ) + a 23 ]x 3 = 0 (12)
Nei casi in cui, λ, μ = 0, si hanno rispettivamente a 22 , a 11 = 0, e di conseguenza gli asintoti a 12 x 1 + a 23 x 3 = 0 e a 12 x 2 + a 13 x 3 = 0. Se a 11 = 0 e a 12 6 = 0, l’equazione dell’asintoto sar`a
a 12 x 1 +
a 22 x 2 + (a 23 −
a 13 a 22 a 12
)x 3 = 0 =⇒
2 a^212 x 1 + a 12 a 22 x 2 + (2a 12 a 23 − a 13 a 22 )x 3 = 0 (13)
4 Equazioni ridotte
Si assume come origine del sistema di riferimento il punto O(0, 0 , 1) e come assi coordinati x 1 = 0 e x 2 = 0 due diametri coniugati della conica. I 3 punti x 1 ∞, x 2 ∞, O sono i vertici di un triangolo autopolare, dove la conica assume la forma ridotta
a 11 x^21 + a 22 x^22 + a 33 x^23 = 0 (14)
Assumendo invece come origine O un punto proprio della conica, come asse x 1 = 0 la tangente a C in O, e come asse x 2 = 0 il diametro di c passante per O, l’equazione generale della conica si riduce a un’altra forma ridotta:
a 11 x^21 + a 22 x^22 + 2a 13 x 1 x 3 = 0 (15)
- Coniche bitangenti: (A = B, C = D, A 6 = C): le coniche spezzate sono 3, ma due di esse coincidono. Le coniche generatrici sono quella spezzata nelle tangenti in A e in C, e quella spezzata nella retta AC contata due volte;
- Coniche osculatrici: (A = B = C, A 6 = D): le coniche spezzate sono ancora 3, ma coincidono tutte nella spezzata nella tangente in A e nella retta AD;
- Coniche iperosculatrici: (A = B = C = D): le coniche spezzate sono 3, ma coincidono tutte nella spezzata nella tangente in A contata 2 volte.
Negli ultimi due casi, la seconda conica necessaria a costruire il fascio deve essere una non spezzata. Altra proprieta del fascio di conichee che se due generatrici hanno un punto di contatto di un certo ordine, tutte le coniche del loro fascio distinte da esse ha con esse stesse un contatto dello stesso ordine.
