Lezioni di "Matematica 2"
Le coniche
C.d.L. in Architettura
A.A. 2020/2021
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Le coniche e le loro tipologie, Schemi e mappe concettuali di Matematica Generale
In questo documento si tratteranno varie tipologie di coniche
Tipologia: Schemi e mappe concettuali
2019/2020
Caricato il 06/01/2024
Utente sconosciuto 🇮🇹
1 documento
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Lezioni di "Matematica 2"
Le coniche C.d.L. in Architettura
A.A. 2020/
Definizioni preliminari
Definizione
Si definisce cono circolare retto la superficie generata dalla rotazione di una retta r intorno ad un’altra retta a (denominata asse di rotazione) incidente ad r. Il punto V di intersezione tra r ed a è detto vertice del cono; l’angolo α π formato da r con a (minore di un angolo retto) è detto apertura del cono.
Definizione
Se r è parallela ad a, la superficie ottenuta si chiama cilindro circolare retto, che può intendersi come particolare cono (si dice che il vertice è all’infinito).
Caso 1 - Piano NON passante per il vertice
- α < β ≤ π: ellisse reale non degenere
Caso 1 - Piano NON passante per il vertice
- α = β: parabola reale non degenere
Caso 2 - Piano passante per il vertice
- β > α: conica degenere in un punto (detta di tipo ellittico)
Caso 2 - Piano passante per il vertice
- β = α: conica degenere in due rette coincidenti (detta di tipo parabolico)
Caso 3 - Il cono ha il vertice all’infinito (cilindro)
- Il piano taglia il cilindro e NON è parallelo all’asse di rotazione: ellisse reale non degenere
Caso 3 - Il cono ha il vertice all’infinito (cilindro)
- Il piano taglia il cilindro ed è parallelo all’asse di rotazione: conica degenere in due rette distinte parallele
Caso 3 - Il cono ha il vertice all’infinito (cilindro)
- Il piano non taglia il cilindro: conica immaginaria o insieme vuoto
In definitiva...
Ellisse e Circonferenza
Definizione
L’ellisse è il luogo dei punti P del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi F 1 ed F 2 detti fuochi.
PF 1 + PF 2 = costante
Definizione
La retta passante per i fuochi e la retta ad essa perpendicolare passante per il punto medio tra i due fuochi sono gli assi di simmetria. Il punto medio tra i due fuochi è detto centro dell’ellisse. La retta passante per i fuochi è detta l’asse maggiore, mentre la retta perpendicolare all’asse maggiore e passante per il centro dell’ellisse è detta asse minore. L’asse maggiore e l’asse minore sono chiamati assi principali dell’ellisse. I punti di intersezione tra gli assi principali e l’ellisse stessa sono chiamati vertici.
Ellisse e Circonferenza
Osservazione
Se F 1 ≡ F 2 , l’ellisse è una circonferenza di centro F 1 ≡ F 2.
Ellisse e Circonferenza - Equazioni canoniche
PF 1 + PF 2 = 2 a
con
PF 1 =
(x + c)^2 + y^2 PF 2 =
(x − c)^2 + y^2
allora (^) √
(x − c)^2 + y^2 +
(x + c)^2 + y^2 = 2 a √ (x − c)^2 + y^2 = 2 a −
(x + c)^2 + y^2 (√ (x − c)^2 + y^2
2 a −
(x + c)^2 + y^2
(x − c)^2 + y^2 = 4 a^2 − 4 a
(x + c)^2 + y^2 + (x + c)^2 + y^2
Ellisse e Circonferenza - Equazioni canoniche
PF 1 + PF 2 = 2 a
con
PF 1 =
(x + c)^2 + y^2 PF 2 =
(x − c)^2 + y^2
allora (^) √
(x − c)^2 + y^2 +
(x + c)^2 + y^2 = 2 a √ (x − c)^2 + y^2 = 2 a −
(x + c)^2 + y^2 (√ (x − c)^2 + y^2
2 a −
(x + c)^2 + y^2
(x − c)^2 + y^2 = 4 a^2 − 4 a
(x + c)^2 + y^2 + (x + c)^2 + y^2
x^2 − 2 cx + c^2 = 4 a^2 − 4 a
(x + c)^2 + y^2 + x^2 + 2 cx + c^2