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Le coniche
Lo studio delle curve piane chiamate coniche , e cioè le ellissi , le parabole e le iperboli , risale all'antichità. Un’analisi pressoché completa delle proprietà di tali curve è redatta dall'altro grande matematico greco, dopo Euclide e Archimede: Apollonio di Perga (circa 262-190 a. C.).
Nella sua opera Sezioni coniche Apollonio definisce le coniche come le curve ottenute dall'intersezione di un cono circolare retto infinito con un piano; le diverse inclinazioni del piano generano le diverse coniche. Più precisamente: sia data nello spazio una circonferenza Γ di centro O , e la retta a perpendicolare al piano di Γ e passante per O. Sia V un punto della retta a distinto da O , e P un punto della circonferenza Γ. Mentre P varia su Γ, la retta VP descrive nello spazio una superficie che chiamiamo cono infinito (o semplicemente cono ). Il punto V è detto vertice del cono, la retta a è l' asse del cono, le rette VP , al variare di P sulla circonferenza, sono dette generatrici del cono. Indichiamo con θ l'angolo acuto formato dall'asse del cono con una generatrice.
Se intersechiamo la superficie del cono con un piano α, non passante per V , otteniamo curve diverse a seconda dell'inclinazione di α rispetto all'asse del cono. Più precisamente: sia n il versore perpendicolare al piano α, e sia φ l'angolo acuto formato dal piano α con la retta a , cioè il complementare dell'angolo formato da n con la retta a. Se φ è un angolo compreso tra θ e 90°, allora la curva che si ottiene dall'intersezione di α con il cono infinito è una curva chiusa chiamata ellisse. Nel caso particolare φ=90°, cioè se α è perpendicolare all'asse
del cono, si ha una circonferenza. Se φ= θ allora si ottiene una curva illimitata chiamata parabola. Se φ è un angolo compreso tra 0 e θ si ottiene una curva composta da due rami illimitati, chiamata iperbole (si pensi ad esempio all'iperbole ottenuta dal grafico dell'equazione y= 1/ x ).
Le Sezioni coniche di Apollonio testimoniano la raffinatezza raggiunta dalla matematica greca nel III secolo a. C.
Per esempio Apollonio dimostra un'interessante proprietà che è comune a tutte le coniche. Illustriamo tale proprietà per l'ellisse: se si tracciano tutte le corde parallele a una direzione data, i punti medi di tali corde appartengono tutti ad una stessa retta d , detta diametro della conica. Nel caso dell'ellisse della figura la retta AB è il diametro relativo alle corde tracciate.
Se ora si tracciano le corde parallele al diametro d , i punti medi di tali corde appartengono tutti ad una retta d' , detta diametro coniugato della retta d che ha la stessa direzione delle corde tracciate inizialmente; ogni diametro biseca le corde parallele al proprio diametro coniugato; il punto di intersezione tra ogni coppia di diametri coniugati è il centro (centro di simmetria) dell'ellisse. L'ellisse ha due assi di simmetria, che sono i diametri tra loro coniugati e perpendicolari , e che si intersecano nel centro dell'ellisse.
Nel caso di un'iperbole, che è formata da due rami, le corde possono essere interne, cioè contenute in un ramo, o esterne, cioè tra i due rami. Il diametro relativo alle corde interne non ha punti di intersezione con l'iperbole, e il suo coniugato interseca l'iperbole in due punti ; anche per l'iperbole il punto di intersezione tra ogni coppia di diametri coniugati è il centro dell'iperbole. Come per l'ellisse i due assi di simmetria sono i diametri tra loro coniugati e perpendicolari.
Nel caso della parabola un diametro, cioè il luogo dei punti medi delle corde aventi una data direzione, è una retta parallela all'asse di simmetria della parabola. In questo caso le corde parallele al diametro trovato non hanno lunghezza finita, non è quindi possibile costruire il diametro coniugato, e nemmeno il centro della parabola. Apollonio dimostra inoltre che la retta tangente ad una conica in un punto P (cioè la retta che ha con la conica il solo punto P di intersezione) è strettamente legata alla proprietà precedente; qualunque sia la conica, per P passa un diametro, che è il luogo dei punti medi di un insieme di corde parallele: la retta tangente in P alla conica è la retta parallela a tali corde.
as se di
si
mm
etr
ia
dia
me
tro
Vediamo singolarmente le equazioni dei luoghi di punti rappresentati dalle coniche; magari in modo piuttosto rapido visto che le coniche su un argomento di studio della scuola superiore.
Circonferenza
Chiamiamo circonferenza il luogo dei punti X del piano che hanno da un
punto fisso C ≡ ( x 0 , y 0 ) distanza costante r. Il punto C è detto centro della
circonferenza, la costante r è detta raggio.
Equazione di una circonferenza:
|| CX
→→→→ ||= r ( x −−−− x (^) 0 ) 2 ++++ ( y −−−− y (^) 0 )^2 ==== r.
Se in particolare il centro C è l'origine degli assi coordinati, l'equazione prende la forma più
semplice x^2 ++++ y^2 ==== r.
Osserviamo che, se r < 0, non esiste alcun punto appartenente al luogo, poiché per definizione una distanza non può essere negativa, mentre per r = 0 il luogo si riduce al solo centro, dal momento che solo il vettore nullo ha modulo 0. Per ogni altro valore di r i due membri della relazione hanno lo
stesso segno, quindi sono uguali anche i loro quadrati; l'equazione diventa x^2 ++++ y^2 ==== r^2. Il centro della circonferenza è dunque centro di simmetria, e ogni retta passante per il centro è asse di simmetria. Nel caso generale si ottiene
( x −−−− x (^) 0 ) 2 ++++ ( y −−−− y 0 )^2 ==== r^2
da cui si ha:
x^2 + y^2 − 2 x 0 x − 2 y 0 y + x 02 + y 02 − r^2 = 0
cioè una equazione del tipo x^2 + y^2 + 2 ax + 2 by + c = 0.
Inversamente data un'equazione del tipo precedente osserviamo che: i coefficienti dei termini di primo grado sono legati alle coordinate del centro della circonferenza: x 0 = − a , y 0 = − b. (^) il termine noto dipende sia dalle coordinate del centro che dal raggio:
r = x 02 + y 02 − c = a^2 + b^2 − c
Proprietà delle circonferenze
Una retta si dice rispettivamente, secante, tangente, esterna alla circonferenza a seconda che ammetta 2, 1 o nessuna intersezione con essa e si dimostra facilmente che la sua distanza dal centro è rispettivamente minore del raggio, uguale al raggio, maggiore del raggio.
La tangente a Γ in un suo punto P risulta perpendicolare al raggio che passa per P.
Le due tangenti ad una circonferenza da un punto esterno P sono simmetriche rispetto alla retta PC , e sono perpendicolari ai raggi CA e CB , per cui i triangoli rettangoli PAC e PBC sono simmetrici rispetto alla retta PC , quindi risulta PA ==== PB.
La circonferenza si può esprimere in forma parametrica, attraverso il seno e il coseno dell'angolo θ che il generico raggio
forma col vettore i:
− = θ
− = θ sin
cos 0
0 y y r
x x r , cioè
= + θ
= + θ sin
cos 0
0 y y r
x x r .
Fasci di circonferenze
Consideriamo ora due circonferenze Γ 1 e Γ 2 , di centri rispettivamente C 1 e C 2 e raggi r 1 e r 2 ;
supponiamo che sia r 1 ≥ r 2 e poniamo d = C C 1 2_._
Le due circonferenze possono avere :
due punti in comune (se r 1 − r 2 < d < r 1 + r 2 ) secanti (a),
un solo punto in comune (se d = r 1 − r 2 o d = r 1 + r 2 ) tangenti (b, c)
nessun punto comune (se d < r 1 − r 2 o d > r 1 + r 2 ) esterne (d, e).
a b c d e
Dal punto di vista analitico, se Γ 1 : x^2 + y^2 + a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 e Γ 2 : x^2 + y^2 + a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 sono
le equazioni delle due circonferenze, i punti di intersezione sono le soluzioni del sistema tra le due equazioni, che è di quarto grado, ma ammette al massimo due soluzioni, infatti è equivalente al sistema
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2
a a x b b y c c
x y ax by c
La combinazione lineare delle due equazioni rappresenta un insieme, denominato fascio, (che può essere di rette, di piani o, in questo caso, di circonferenze). Infatti l'equazione h ( x^2 + y^2 + a 1 x + b 1 y + c 1 ) + k ( x^2 + y^2 + a 2 x + b 2 y + c 2 ) = 0
rappresenta (salvo che per h = − k ) una circonferenza, se invece h = − k si ha una retta detta asse
radicale. Un fascio non ammette asse radicale solo nel caso in cui sia costituito tutto da circonferenze concentriche. L'asse radicale passa per i punti comuni alle due circonferenze Γ 1 e Γ 2 le cui equazioni sono state utilizzate per determinare l'equazione del fascio, se tali punti esistono, o per il punto di tangenza delle due circonferenze, nel qual caso è la tangente comune a tutte le circonferenze del fascio; se le circonferenze non si intersecano, l'asse radicale non ha punti comuni con nessuna delle
circonferenze del fascio. Il Gli eventuali punti comuni alle due circonferenze Γ 1 e Γ 2 , detti punti
Utilizziamo la definizione di conica come luogo di punti per determinare le equazioni di parabola, ellisse e iperbole. La definizione data è di tipo sintetico , cioè non è legata ad un particolare sistema di riferimento cartesiano nel piano; si potrebbe quindi pensare di scegliere gli elementi in modo generico, come abbiamo fatto per il centro della circonferenza, di considerare cioè la generica retta del piano come direttrice e il generico punto come fuoco. Tuttavia è preferibile scegliere il sistema di riferimento in modo opportuno, per determinare l'equazione più semplice possibile per ogni
conica (detta equazione canonica), anche perché la semplicità della equazione facilita lo studio delle proprietà; con opportune isometrie si possono determinare l'equazione generale di ogni conica.
Le orbite dei pianeti
800 anni più tardi Johannes Kepler (1571-1630) enuncerà un'importantissima legge empirica in cui compare una delle curve studiate da Apollonio: ogni pianeta che ruota intorno al Sole descrive un'orbita ellittica. Da allora in poi le coniche si ritroveranno in molti settori della matematica e della fisica. In particolare le coniche giocano un ruolo essenziale nell'ottica e nella costruzione delle lenti.
La cosiddetta prima legge di Keplero , che è una legge empirica (cioè fondata sui dati osservativi), afferma che le orbite dei pianeti sono ellittiche, e il Sole occupa uno dei fuochi di tali ellissi. Successivamente Isaac Newton (1642-1727) dimostra che un corpo soggetto ad una forza centrale , cioè diretta sempre verso uno stesso punto (nel caso dei pianeti è la forza gravitazionale diretta verso il Sole) si muove lungo un'orbita ellittica. Tutte le successive osservazioni astronomiche, da allora e fino ad oggi, hanno confermato tale teoria: le orbite dei pianeti sono curve chiuse, e quindi necessariamente ellittiche. Ma i pianeti non sono gli unici oggetti a orbitare intorno al Sole: ogni anno, infatti, sono avvistate nuove comete , che sono oggetti del sistema solare. Le traiettorie delle comete possono essere ellittiche: in questo caso la cometa è periodica, come ad esempio la cometa di Halley (la periodicità di questa cometa fu scoperta da Edmund Halley, 1656-1742, fisico e astronomo amico di Newton), che transita per il vertice dell'ellisse più vicino al Sole (il perielio ) circa ogni 76 anni (l'ultimo passaggio è stato nel 1986); orbite aperte (paraboliche o iperboliche): la cometa ha una velocità troppo elevata per essere catturata dal Sole, e dopo essere passata al perielio si allontana definitivamente.
Che tipo d’ellissi descrivono i pianeti e le comete? Sono ellissi molto "schiacciate"? Il parametro che fornisce la "schiacciatura" di un’ellisse è l' eccentricità , e l'eccentricità di un’ellisse può variare da 0 (in questo caso l'ellisse è una circonferenza) a 1 (
pianeta eccentricità Mercurio 0. Venere 0. Terra 0. Marte 0. Giove 0. Saturno 0. Urano 0. Nettuno 0. Plutone 0.
escluso). Già Keplero aveva determinato con ottima approssimazione le eccentricità dei pianeti, presentate nella tabella. Come si vede sono eccentricità in generale molto piccole; l'orbita di Plutone, che è la più eccentrica, difficilmente si distingue da una circonferenza. Le orbite delle comete sono invece generalmente molto eccentriche. Per esempio la cometa di Halley ha eccentricità e =0.97. Il perielio della cometa di Halley è molto vicino al Sole (circa 70 milioni di km, poco più del raggio medio dell'orbita di Mercurio). L' afelio (il vertice più lontano dal Sole) è invece quasi uguale al raggio medio dell'orbita di Plutone (circa 5000 milioni di km).
Parabola
Dalla definizione generale di conica risulta che la parabola è il luogo dei punti del piano che hanno ugual distanza dal fuoco e dalla direttrice. Scelto l'asse simmetria come asse y e posto il vertice nell'origine, sia ad esempio F ≡ (0, ƒ) e d abbia equazione y = −ƒ. L'equazione della parabola diventa del tipo y = ax^2 ove a è un parametro legato alla distanza ƒ del fuoco dal vertice
dalla relazione a f
e quindi f a
La parabola è concava verso l'alto o concava verso il basso a seconda che sia a > 0 o a < 0.
Se l'asse è parallelo all'asse y, ma il vertice non è nell'origine, l'equazione della parabola diventa: y = ax^2 + bx + c.
Ellisse e iperbole
Anche l'ellisse e l'iperbole ammettono un asse di simmetria; anche in questo caso scegliamo tale asse come asse y. A differenza della parabola, l'ellisse e l'iperbole ammettono due vertici, poniamoli in posizione simmetrica rispetto all'origine. Se poniamo F ≡ (0, c ) e supponiamo che la direttrice abbia equazione y = h , a conti fatti si ricava che le equazioni canoniche delle due coniche sono rispettivamente:
h x^2^2 ++++ k y^2 2 ==== (^1) o −−−− h x^2^2 ++++ k y^2 2 ==== 1
la prima delle quali rappresenta una ellisse, la seconda una iperbole. Le equazioni evidenziano che le curve hanno un secondo asse di simmetria, che è l'asse x , poiché le incognite compaiono solo con gradi pari; essendo simmetriche rispetto a due assi perpendicolari, sono simmetriche rispetto alla loro intersezione che è l'origine degli assi
In primo luogo si può dire che la conica non degenere di equazione ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 è
- una parabola se ∆ = b^2 − 4 ac = 0
- una iperbole o una ellisse se ∆ = b^2 − 4 ac ≠ 0.
Metodo algebrico per il riconoscimento delle coniche.
Data la generica conica di equazione ax^2 + 2 bxy + cy^2 + 2 dx + 2 ey + f = 0, costruiamo la matrice
A =
d e f
b c e
a b d ;
si può vedere che l'equazione della cronica si ottiene in forma vettoriale come
v T Av = 0 [ ] 0
y
x
d e f
b c e
a b d x y
Si ottiene dunque, nella classificazione delle coniche che:
Se I 3 = detA = 0 la conica è degenere. I 3 invariante cubico
Se I 2 = det (^)
b c
a b = ac – b^2 = 0 la conica è una parabola
Se I 2 > 0 la conica è una ellisse. I 2 invariante quadratico Se I 2 < 0 la conica è una iperbole.
Se I 1 = a + c = 0 la conica è una iperbole equilatera. I 1 invariante lineare Se a = c e b = 0 a conica è una circonferenza
Fasci di coniche
Combinando linearmente le equazioni di due coniche, si ottiene l’equazione di un luogo geometrico che chiaramente è ancora una conica. h ( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f ) + k ( a'x^2 + b'xy + c'y^2 + d'x + e'y + f ') = 0 Utilizzando, per la classificazione delle coniche del fascio la teoria degli invarianti appena citata, si vede che l’invariante cubico dà luogo a un’equazione di terzo grado nelle variabili h e k, l’invariante quadratico dà luogo a un’equazione di secondo grado e quello lineare ad una di primo grado, pertanto, in generale: In un fascio di coniche, in generale, ci sono: 4 punti base 3 coniche degeneri 2 parabole 1 iperbole equilatera nessuna circonfereza Qualche proprietà in più: Se due punti base vengono a coincidere ( A ≡ B ) le due coniche di partenza sono tangenti in A ad una stessa retta t , e quindi lo sono tutte le coniche del fascio. Se le due coniche di partenza sono tangenti negli stessi due punti A e C a due rette r e s , la proprietà vale per tutte le coniche del fascio, che quindi ha due punti base, ecc. Esistono fasci di sole parabole: se combino linearmente due parabole con assi paralleli, ho tutte parabole. Esistono fasci di sole circonferenze Esistono fasci di sole iperboli equilatere: se combino linearmente due iperboli equilatere, ho solo iperboli equilatere.
Se in un fascio esiste una circonferenza, le due parabole del fascio hanno assi di simmetria ortogonali tra loro.
Forma parametrica delle coniche
Un'ultima osservazione relativa alla possibilità di rappresentare ogni conica in forma parametrica, cioè rappresentare le due variabili x e y come funzioni di un parametro razionale t. A abbiamo già
visto che la circonferenza si può rappresentare in forma parametrica come
= + θ
= + θ sin
cos 0
0 y y r
x x r ; queste
equazioni non sembrano funzioni razionali del parametro θ, ma sappiamo che esistono delle formule parametriche che rappresentano il seno e il coseno di un angolo θ in funzione della
tangente dell'angolo 2
θ t = , quindi la circonferenza si può rappresentare come:
(^02)
2
2 0
t
t y y r
t
t x x r .
In modo del tutto analogo un'ellisse in forma canonica si può rappresentare come
2
2
2
t
t y b
t
t x a .
La parabola in forma canonica, cioè con asse parallelo all'asse y è già rappresentata in forma parametrica (in cui il parametro alla variabili indipendenti x ). In ogni caso data una conica in forma generale ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0, si consideri un punto P ≡ ( m , n) della conica. La generica retta del fascio di rette di equazione y − n = t ( x − m ) interseca la conica del punto P e in un altro punto le cui coordinate sono equazioni razionali del parametro t.
F 2
Se tracciamo invece due circonferenze con centri nei fuochi F 1 e F 2 e di raggi r e k + r , ottenuti, per esempio, fissando su una retta un segmento AB di lunghezza k per cui se P è un punto variabile sulla retta , e PB è r , PA è r + k , i loro punti di intersezione hanno differenza delle distanze dai fuochi uguale a k e dunque appartengono all’iperbole.
Metodo 2 (coi due fuochi)
Si traccia una circonferenza con centro in un fuoco F 1 e raggio maggiore della distanza focale. Per ogni punto P su di essa si traccia l’asse a del segmento PF 2. Il raggio PF 1 interseca a in punti dell’ellisse. Il triangolo (arancione nel disegno) è isoscele. per cui la somma delle distanze dai due fuochi è uguale al raggio della circonferenza che è fisso.
In modo del tutto analogo, si traccia una circonferenza con centro in un fuoco F 1 e raggio r minore della distanza focale. Per ogni punto Q su di essa si traccia l’asse a del segmento QF 2. La retta QF 1 interseca a in punti dell’iperbole. (questo metodo è analogo a quello della ellisse, con poche differenze.) Infatti il triangolo PQF 2 è isoscele (di base QF 2 ), quindi P Q = QF 2. Allora P Q - P F 1 = PF 2 - P F 1 = r e questa è la definizione dell’iperbole.
Metodo 3 (solo per l’ellisse)
Le equazioni parametriche dell’ellisse sono:
y b t
x a t sin
cos .
Allora, prese due circonferenze concentriche di raggi a e b e una retta che forma un angolo t con l’asse x , dai due punti A e B si portano due segmenti paralleli agli assi, come in figura. La loro intersezione è un punto dell’ellisse.
- Metodo 4 (con fuoco, direttrice e eccentricità)
Si disegnano una retta d (direttrice) e un punto F fuori di essa (il fuoco). Disegnata la perpendicolare a alla direttrice passante per il fuoco, un vertice V della conica starà tra il fuoco e H = a ∩ d.
La posizione di V rispetto a F e H individua l’eccentricità. Preso poi un punto A variabile su a , si considera la retta p perpendicolare ad a e passante per A.
Portato da H sulla retta d un segmento lungo come FV e congiunto V col punto B che così si determina, il triangolo HVB risulta simile al triangolo HAA’ ove la retta AA’ è la parallela alla VB ; pertanto il rapporto VH / HB = VH / VF risulta uguale a AH / HA’ Quindi la circonferenza di centro F e raggio HA’ taglia la retta p in due punti del luogo.
Nel caso dell’immagine, essendo VF < FH si ha una ellisse, se fosse maggiore sarebbe una iperbole.
P
A B
a
a b
b
t O
V
H
a
d
F
A p
B A's
P
