I Numeri Complessi: Introduzione, Operazioni e Applicazioni, Dispense di Matematica Generale

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I NUMERI COMPLESSI

SOMMARIO

I NUMERI COMPLESSI

• STORIA E APPLICAZIONI• DEFINIZIONE DI NUMERO COMPLESSO^ ?• OPERAZIONI NELL’INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI• I NUMERI IMMAGINARI• IL CALCOLO CON I NUMERI IMMAGINARI• LA FORMA ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI• IL CALCOLO CON I NUMERI COMPLESSI IN FORMA ALGEBRICA• LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI• FORMA TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI• IL CALCOLO CON I NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA• LE RADICI n-ESIME• LA FORMA ESPONENZIALE DEI NUMERI COMPLESSI

0.2. PREREQUISITI

I NUMERI COMPLESSI

Gli argomenti che bisogna conoscere o saper fare per studiare i numericomplessi sono:^ ?• La struttura dell’insieme dei numeri reali R.• Scomporre in fattori un polinomio.• Risolvere equazioni in R.• Eseguire operazioni con i radicali.• Funzioni goniometriche, esponenziali e logaritmiche e le loro proprietà;• I vettori (modulo, somma, prodotto per uno scalare,…)

STORIA E APPLICAZIONI

I NUMERI COMPLESSI

Non tutte le equazioni sono risolubili. Ad es:3x=

x^

N

x+5=–

x

N

(^2) x=

x^

Q

(^2) x=–

x^

R

• La risoluzione delle equazioni di secondo grado con il metodo del“completamento del quadrato” era nota ai tempi dei Babilonesi.• Le equazioni di

terzo grado

, se si eccettuano dei casi particolari, si

ritenevano

non risolubili

mediante una formula.

• Nel 1494, Luca

Pacioli

(1445-1514) aveva sostenuto che la soluzione

dell’

equazione cubica

generale era

impossibile

• Scipione

Dal Ferro

(1465-1526), professore di matematica a Bologna,

riuscì a

risolvere

le equazioni cubiche del tipo

(^3) x +px=q

intorno al 1500

In matematica spesso si risolvono problemi e quindi equazioni.(1515); egli però non pubblicò il suo metodo.

1.2. STORIA E APPLICAZIONI

I NUMERI COMPLESSI

Lo stile di Cardano è piuttosto oscuro e la sua algebra è ancora allo statoretorico, in cui le equazioni vengono espresse quasi completamente aparole. Tuttavia, scrivendo con il linguaggio di oggi,la soluzione cheCardano fornisce dell’equazione cubica del tipo

(^3) x +px=q

, si ottiene:

3

2 3

3

2 3

q 2 q 2 p 3

q 2 q 2 p 3

x^

Un’equazione cubica del tipo

aX

3 +cX

2 +cX+d=

può essere trasformata in

una del tipo

(^3) x +px=q

attraverso la seguente sostituzione:

da cui si ha che:

⎛^ ⎜⎜⎝

=^

2 2 b 3a c a p^

⎛^ ⎜⎜⎝

=^

d 2b 27a cb 3a q^

3 3 2 b 3a x X^

1.3. STORIA E APPLICAZIONI"Quando che’l cubo con le cose appressoSe agguaglia à qualche numero discretoTrovan dui altri differenti in esso.Da poi terrai questo per consuetoChe ‘l lor produtto sempre sia ugualeAl terzo cubo delle cose neto,El residuo poi suo generaleDelli lor lati cubi ben sottrattiVarrà la tua cosa principale.”

I NUMERI COMPLESSI 3 pxx +

La procedura risolutiva dell’eq

(^3) x +px=q

descritta nelle terzine di Tartaglia.

q px (^3) x

v u q^

=^ uv^ (

p uv^

3 3

v u^ −

3 3

v u x^

Eq di 2° grado:Trovare duenumeri noti la lorosomma e il loroprodotto

1.5. STORIA E APPLICAZIONI

I NUMERI COMPLESSI

• Dal Ferro fu indicato proprio da Cardano nella prima pagina dell’ArsMagna come uno degli autori della scoperta.• La formula risolutiva delle equazioni di quarto grado fu scoperta daLudovico Ferrari (1522-1565). Anche queste formule furono pubblicatenell’Ars Magna e Cardano attribuisce a Ferrari il metodo.•^ Rafael Bombelli

(1526-1573), matematico bolognese, riconobbe per

primo la necessità di ampliare i numeri allora conosciuti con altri.• Bombelli stabilì le leggi formali di calcolo dei nuovi numeri.• Nella sua opera,

Algebra

, Bombelli dà la soluzione dell’equazione

(^3) x =15x+4 tramite la formula “di Cardano”:• Si ottiene la somma di due radicali doppi, con radicando negativo, mentregià si sapeva, per sostituzione diretta, che 4 era l’unica radice positivadell’equazione.• Bombelli provò che si può scrivere:e quindi si poteva concludere trovare la soluzione nota:

3

3

x^

(^

)^

±^

i

i

(^

)^

(^

)^

(^

)^

x^

3

3

3

3

3

3

=^

i i i i i i i i

Frontespizio deL’Algebra di R.Bombelli

1.5. STORIA E APPLICAZIONI

I NUMERI COMPLESSI

Cardano

radici

sofistiche.

Bombelli

quantità silvestri

(introdusse i termini

più di meno

(pdm)

e^ meno di meno

(mdm), per indicare +

i^ e –

i ).

Cartesio

immaginari

per indicare delle soluzioni considerate fittizie

e irreali, né vere né “surde” (negative).

Newton e Leibniz rifiutano i nuovi numeri.Leibniz

√–1 “quel mostro dell’analisi, quel portento del mondoideale, quell’anfibio fra essere e non essere chechiamiamo radice dell’unità negativa”.

Cauchy

“[noi respingiamo] il segno simbolico

√–1, che ripudiamo

completamente, e che possiamo abbandonare senzarimpianti, perché non si sa cosa questo presunto segnosignifichi, né quale significato gli si dovrebbe attribuire”.

Radici quadrate di numeri negativi.

1.7. STORIA E APPLICAZIONI

I NUMERI COMPLESSI

Nel Settecento, soprattutto con Eulero, e nell’Ottocento si ha un grandesviluppo dell’analisi complessa e delle sue applicazioni alla fisica eall’ingegneria.Sebbene i numeri complessi siano stati originariamente introdotti perrisolvere le equazioni algebriche di 3

°^ grado, essi sono stati poi ampiamente

utilizzati nelle applicazioni, in particolare in:• Algebra:

soluzioni dell’equazione di secondo grado;

• Fisica:

somma di due vettori;

• Elettrotecnica:

tensione e corrente;

• Dinamica delle strutture: analisi delle oscillazioni di un sistema soggetto

ad una forzante armonica;

• Grafica:

frattali.

APPLICAZIONI.

Operazioni sempre possibili in N:- addizione- moltiplicazionePer rendere sempre possibile la sottrazione in

N^

si introduce

Z.

Per rendere sempre possibile la divisione in

N^

si introduce

Qa

(coppie di numeri naturali).Per rendere sempre possibile la sottrazione e la divisione in

N^

si introduce

Q

Per risolvere equazioni del tipo x

2 = 2 si introduce

R.

E nel caso di equazioni del tipo x

Da N a C

I NUMERI COMPLESSI

Il primo insieme numerico che si studia è

l’insieme dei numeri naturali

Su di esso si definiscono le quattro operazioni.

? R

Z Q

N Qa

2.2. ANALOGIE CON I NUMERI RAZIONALI

I NUMERI COMPLESSI

DEFINIZIONE Si chiama

numero razionale

ogni coppia ordinata (n; d) di numeri naturali

con d

N^

N

n

d

(n; d)

Un numero razionale è quindi un elemento dell’insieme N×N.

n d

OPERAZIONI IN C. ADDIZIONE

I NUMERI COMPLESSI

ADDIZIONE SOMMA di numeri complessi.Dati due numeri complessi (a; b) e (c; d), la loro somma è il numerocomplesso definito dalla coppia (a+c; b+d).Es.

Proprietà • commutativa

(a; b) + (c; d) = (c; d) + (a; b)

• associativa

(a; b) + [(c; d) + (e; f)] = [(a; b) + (c; d)] + (e; f)

• l’elemento neutro

• elemento simmetrico

(-a; -b)

Somma di coppie particolari: • (h; 0) + (k; 0) = (h+k; 0).• (0; h) + (0; k) = (0; h+k).

(a; b) + (c; d) = (a+c; b+d).

OPERAZIONI IN C. MOLTIPLICAZIONE

I NUMERI COMPLESSI

MOLTIPLICAZIONE PRODOTTO di numeri complessi.Dati due numeri complessi il loro prodotto è il numero complesso definitodalla coppia (ac - bd; ad + bc).Es.

Proprietà • commutativa

(a; b) · (c; d) = (c; d) · (a; b)

• associativa

(a; b) · [(c; d) · (e; f)] = [(a; b) · (c; d)] · (e; f)

• l’elemento neutro

• elemento assorbente

(a; b) · (0; 0) = (0; 0)

Prodotto di coppie particolari: • (h; 0) · (k; 0) = (h · k; 0).• (0; h) · (0; k) = (–h · k ; 0).

(a; b) · (c; d) = (ac–bd; ad+bc).

5.1. OSSERVAZIONE. Operazioni in Q

I NUMERI COMPLESSI

ADDIZIONE e MOLTIPLICAZIONE SOMMA e PRODOTTO di numeri razionali.Dati due numeri razionali (a; b) e (c; d) la loro somma e il loro prodottosono i numeri razionali:(a; b) + (c; d) = (ad + bc; b · d).(a; b) · (c; d) = (a · c; b · d).Anche tra numeri razionali la somma e il prodotto si ottengono combinandoopportunamente i termini che costituiscono le coppie.

a · cb · d

c d

a b

·^

ad+bcb · d

c d

a b

+^