Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
Prepara i tuoi esami
Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Prepara i tuoi esami con i documenti condivisi da studenti come te su Docsity
Trova i documenti specifici per gli esami della tua università
Preparati con lezioni e prove svolte basate sui programmi universitari!
Rispondi a reali domande d’esame e scopri la tua preparazione
Riassumi i tuoi documenti, fagli domande, convertili in quiz e mappe concettuali
Studia con prove svolte, tesine e consigli utili
Togliti ogni dubbio leggendo le risposte alle domande fatte da altri studenti come te
Esplora i documenti più scaricati per gli argomenti di studio più popolari
Ottieni i punti per scaricare
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
statistica esercizi sulle medie
Tipologia: Esercizi
1 / 14
Questa pagina non è visibile nell’anteprima
Non perderti parti importanti!
Si consideri una distribuzione semplice secondo un carattere quantitativo X
nella forma di distribuzione unitaria
Unità Carattere 1 a 2 a ⋅⋅ ⋅⋅ i ai ⋅⋅ ⋅⋅ n an
ovvero nella forma di distribuzione di frequenze assolute
per singole modalità oppure per classi di modalità
Classi Frequenze
x 1 – x 2 n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅
x (^) i – xi+1 ni
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅
x (^) k – x (^) k+1 nk
Totale n
Frequenze
x 1 n
⋅⋅ ⋅⋅
x (^) i ni
⋅⋅ ⋅⋅
x (^) k nk
Totale n
Sia xq il quantile di ordine q , cioè la modalità associata al dato statistico che divide la distribuzione ordinata in due parti (distribuzioni):
Il posto d’ordine occupato dal dato statistico a cui corrisponde xq è: .
Sia xi – x (^) i+1 la classe che contiene il quantile x (^) q. Indichiamo con n (^) i e con a (^) i rispettivamente la frequenza assoluta e l’ampiezza della classe x (^) i – xi +1 , con xi-1 l’estremo superiore della classe che precede la classe quantilica x (^) i – xi+1 , con N (^) i-1 la frequenza assoluta cumulata della classe che precede la classe x (^) i – xi+.
Esempio 1
Il volume degli ordinativi (in miliardi di lire) di un’azienda tra il 1990 e il 1994 ha avuto il seguente andamento:
Anni 1990 1991 1992 1993 1994
Ordinativi 1 0,5 0,3 0,4 1,
Determinare il volume medio annuo degli ordinativi.
Procedimento
Determiniamo il volume medio annuo degli ordinativi attraverso la media aritmetica semplice delle osservazioni. Si ha:
Esempio 2
Calcolare la media aritmetica della serie: 1 4 7 10 13 16.
Procedimento
I dati della serie considerata costituiscono una progressione aritmetica di ragione 3, cioè risulta:
ai = a (^) i–1 + 3 per ogni i = 2, .., 6.
In generale, data una serie di n osservazioni in progressione aritmetica di ragione d , si ha: se n è dispari: la media aritmetica coincide con il termine centrale della serie ordinata, cioè con il
termine che occupa il posto di ordine ;
se n è pari: la media aritmetica coincide con la media aritmetica semplice dei due termini centrali della serie ordinata (in questo caso, i termini centrali sono quelli che
occupano rispettivamente il posto di ordine e ).
Nel nostro caso n è pari.
I due termini centrali della serie ordinata occupano rispettivamente il posto di ordine e
, ed assumono rispettivamente valore 7 e 10. Quindi, la media aritmetica della serie considerata è pari a:
Esempio 3
La distribuzione di 100 imprese del Nord per classi di fatturato annuo (in miliardi di lire) è la seguente:
Fatturato Imprese
0 - 3 30
3 - 5 60
5 - 10 10
Totale 100
Determinare la media aritmetica, la media quadratica e la classe modale della distribuzione.
Procedimento
a) Determinazione della media aritmetica e della media quadratica
Per semplicità, costruiamo una tabella all’interno della quale riportiamo i dati necessari per svolgere l’esercizio (si veda la pagina seguente).
Nella distribuzione in esame le modalità sono raggruppate in classi. Per poter applicare le formule della media aritmetica e della media quadratica è necessario individuare un valore rappresentativo per ogni singola classe di modalità. Adottando l’ipotesi di equidistribuzione delle frequenze, possiamo rappresentare la generica classe x (^) i – xi+1 con il suo valore centrale. I valori centrali sono riportati nella colonna 3 della tabella.
Determinazione della media aritmetica: Per definizione si ha:. Anzitutto, moltiplichiamo il valore centrale della generica classe x (^) i – xi+1 per la corrispondente frequenza assoluta n (^) i (colonna 4 della tabella). Successivamente, calcoliamo la somma degli elementi , e riportiamo il risultato così ottenuto nell’ultima riga della colonna 4. In particolare, la somma in questione è uguale a 360.
Infine, per ottenere la media aritmetica dividiamo tale somma per la numerosità del collettivo.
Esempio 4
La distribuzione di 200 aziende del Centro per classi di addetti è la seguente:
Classi di addetti Aziende
Fino a 20 40
21- 49 120
50 - 100 40
Totale 200
Determinare la media aritmetica, la media quadratica e la classe modale della distribuzione.
Procedimento
a) Determinazione della media aritmetica e della media quadratica
Per semplicità, costruiamo una tabella all’interno della quale riportiamo i dati necessari per svolgere l’esercizio (si veda la pagina seguente).
In questa distribuzione le modalità sono raggruppate in classi. Supponiamo che le frequenze si distribuiscano uniformemente all’interno delle classi e calcoliamo i valori centrali di queste (colonna 3 della tabella). In particolare, poniamo l’estremo inferiore della prima classe uguale a 1.
Calcolo della media aritmetica: Per definizione si ha:. Moltiplichiamo il valore centrale della generica classe x (^) i – xi+1 per la corrispondente frequenza assoluta n (^) i (colonna 4 della tabella). Quindi, calcoliamo la somma degli elementi e riportiamo il risultato così ottenuto nell’ultima riga della colonna 4. In particolare, la somma in questione è uguale a 7620.
A questo punto, per ottenere la media aritmetica dividiamo tale somma per la numerosità del collettivo. Si ha: μ = 7620 / 200 = 38,1 addetti.
Calcolo della media quadratica: Per definizione si ha:. Anzitutto, eleviamo al quadrato i valori centrali delle classi (colonna 5 della tabella). Successivamente, moltiplichiamo ciascun termine per la corrispondente frequenza n (^) i (colonna 6 della tabella). Di seguito, calcoliamo la somma degli elementi · n (^) i e riportiamo il risultato di quest’operazione nell’ultima riga della colonna 6. In particolare, la somma degli elementi in questione è uguale a 376410.
Infine, per ottenere la media quadratica dividiamo questa somma per la numerosità del collettivo e calcoliamo la radice quadrata del quoziente così ottenuto. Si ha:
Classi di addetti
(1)
ni
Fino a 20 40 10,5 · 40 = 420 10,52^ = 110,25 110,25 · 40 = 4410 21- 49 120 35 · 120 = 4200 352 = 1225 1225 · 120 = 147000 50 - 100 40 75 · 40 = 3000 752 = 5625 5625 · 40 = 225000 Totale 200 7620 376410
b) Determinazione della classe modale
In questa distribuzione le modalità sono raggruppate in classi e quindi dobbiamo tener conto dell’ampiezza di queste.
Costruiamo una tabella che contenga i dati necessari per svolgere l’esercizio.
Il carattere “numero di addetti” è di tipo quantitativo discreto. Inoltre, esso può assumere come modalità tutti i valori interi che sono compresi tra gli estremi della generica classe x (^) i – x (^) i+. Di conseguenza, calcoliamo l’ampiezza delle classi utilizzando la formula a (^) i = xi+1 – xi + 1 (colonna 3 della tabella).
Poiché le classi hanno ampiezza differente, determiniamo le densità di frequenza (colonna 4 della tabella).
La classe modale è quella che ha la massima densità di frequenza. In questo caso, la massima densità di frequenza è uguale a 4,14 e corrisponde alla classe 21 – 49. Quindi, la classe modale è la classe 21 – 49 addetti.
Classi di addetti
(1)
ni
ai = xi+1 – xi + 1
ni / ai
Fino a 20 40 20 – 1 +1 = 20 40 / 20 = 2
21- 49 120 49 – 21 +1 = 29 120 / 29 = 4,
50 - 100 40 100 – 50 +1= 51 40 / 51 = 0,
Esempio 5
Nel 2000, il fatturato medio (in milioni di euro) realizzato da un gruppo di 100 aziende è risultato pari a 12,5. Supponendo che nell’anno successivo il fatturato aumenti del 5 % per tutte le aziende, indicare come varia il fatturato medio.
I due termini centrali occupano rispettivamente il posto di ordine e. In entrambi i casi, se n è sufficientemente grande si può procedere considerando unicamente la
modalità che corrisponde al dato che occupa il posto di ordine.
Nel nostro caso, la numerosità del collettivo è sufficientemente elevata; quindi, consideriamo come
mediana la modalità associata al dato che occupa il posto di ordine.
A questo punto, occorre individuare la classe nella quale ricade la mediana. A tale scopo, determiniamo la distribuzione delle frequenze cumulate.
Classi di reddito (1)
ni
(2)
N (^) i = Ni-1 + ni
(3) 0 - 30 20 20 30 - 60 30 20 + 30 = 50 60 - 100 50 50 + 50 = 100 Totale 100
Esaminando la tabella, si nota che la classe mediana è 30 - 60.
Infatti, si ha: N 1 = 20 < = 50 = N 2.
Si tratta, ora, di individuare il valore della mediana all’interno della classe. Il carattere in esame è continuo. Supponendo che la frequenza si distribuisca uniformemente all’interno della classe 30 - 60, possiamo approssimare la mediana applicando la seguente formula:
Nel nostro caso si ha: x (^) i = 30 , N (^) i-1 = 20 , n (^) i = 30 , a (^) i = 30. Me=
Esempio 7
Nel 1998, la distribuzione di un gruppo di grandi imprese per classi di addetti è stata la seguente:
Classi di addetti
Imprese
Totale 2815
Determinare il primo quartile della distribuzione.
Procedimento
Determinazione del primo quartile
Il primo quartile è la modalità associata al dato statistico che divide la distribuzione ordinata in due parti (distribuzioni):
la prima di queste, riguarda le modalità più basse e comprende delle unità della distribuzione originaria;
la seconda parte riguarda le modalità più alte e comprende delle unità della distribuzione originaria.
Quindi, per il primo quartile si ha: q =. Indichiamo il primo quartile con x0,.
Determiniamo il posto d’ordine dell’unità a cui corrisponde il primo quartile. Si ha:.
A questo punto, dobbiamo individuare la classe nella quale ricade il primo quartile. Esaminando la distribuzione delle frequenze cumulate riportata nella pagina precedente, si nota che il primo quartile è compreso nella classe 100 - 149.
Infatti, si ha: = 704 < N 1 = 940.
Determiniamo il valore del primo quartile all’interno della classe. x (^) i-1 = 100 , N (^) i-1 = 0 , n (^) i = 940, a i = 50.
Di conseguenza, risulta : Me=137, Esempio 8
Da un’indagine sull’inserimento professionale dei giovani, risulta che la distribuzione di 200 individui per età alla prima esperienza lavorativa è la seguente:
Età alla prima esperienza lavorativa Individui
15 – 20 40
20 – 25 120
25 – 30 40
Totale 200
Determinare il terzo quartile della distribuzione.
Procedimento
Il terzo quartile è la modalità associata al dato statistico che divide la distribuzione ordinata in due parti (distribuzioni):
la prima di queste, riguarda le modalità più basse e comprende delle unità della distribuzione originaria;
la seconda parte riguarda le modalità più alte e comprende delle unità della distribuzione originaria.
Considerando la distribuzione delle frequenze assolute cumulate, si nota che il primo quartile è compreso all’interno della classe 88 - 99.
Infatti, si ha: N 1 = 10 < h = 25 < N 2 = 34.
Voto (1)
ni
(2)
N (^) i = Ni-1 + ni
(3) 66 - 87 10 10 88 - 99 24 10 + 24 = 34 100 - 110 66 34 + 66 = 100 Totale 100
Determiniamo il valore del primo quartile all’interno della classe. Il carattere in esame è discreto.
In questo caso si ha: x (^) i-1 = 88 , N (^) i-1 = 10 , n (^) i = 24 , a (^) i = 12. Di conseguenza, risulta : pari a 95,
b) Determinazione del terzo quartile.
Per il terzo quartile si ha: q =.
Determiniamo il posto d’ordine dell’unità a cui corrisponde il terzo quartile. Poiché il valore di n è sufficientemente alto, si può considerare unicamente il posto d’ordine.
Considerando la distribuzione delle frequenze cumulate riportata a pagina precedente, si osserva che il terzo quartile è compreso all’interno della classe 100 - 110. Infatti, si ha: N 2 = 34 < h = 75 < N 3 = 100.
Determiniamo il valore assunto dal quantile cercato. Il carattere in esame è discreto. Supponendo che le frequenze si distribuiscano uniformemente all’interno delle classi, possiamo approssimare il terzo quartile applicando la seguente formula:
Nel nostro caso si ha: x (^) i-1 = 100 N (^) i-1 = 34 n (^) i = 66 a (^) i = 11. Di conseguenza, risulta 106,
Esempio 10
La distribuzione di 100 famiglie per numero di componenti è la seguente:
Numero di componenti Famiglie
Totale 100 Determinare l’ottavo decile della distribuzione.
Procedimento Per definizione, l’ottavo decile è la modalità associata al dato statistico che divide la distribuzione ordinata in due parti (distribuzioni):
Quindi, per l’ottavo decile si ha: q =. Indichiamo l’ottavo decile con x0,. Determiniamo il posto d’ordine del dato a cui corrisponde il quantile x0,. Poiché il valore di n è sufficientemente alto, si può considerare unicamente il posto d’ordine. Considerando la distribuzione delle frequenze assolute cumulate, si nota che l’ottavo decile è compreso all’interno della classe 4 - 5. Infatti, si ha: N 2 = 62 < h = 80 < N 3 = 83.
Numero di componenti (1)
ni
(2)
N (^) i = Ni-1 + ni
(3) 1 27 27 2 – 3 35 27 + 35 = 62 4 – 5 21 62 + 21 = 83 6 – 10 17 83 + 17 = 100 Totale 100 Determiniamo il valore dell’ottavo decile. Il carattere in esame è discreto. Supponendo che le frequenze si distribuiscano uniformemente all’interno delle classi, possiamo approssimare l’ottavo decile con la classe 4-
In particolare, si ha: x (^) i-1 = 3 N (^) i-1 = 62 n (^) i = 21 a (^) i = 2.
