MEDIE POTENZIATE STATISTICA, Sintesi del corso di Statistica

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STATISTICA: esercizi svolti su

MEDIA GEOMETRICA

MEDIA ARMONICA e

MEDIA QUADRATICA

1 MEDIA GEOMETRICA, ARMONICA, QUADRATICA

1. Calcolare la media aritmetica dei logaritmi dei seguenti valori: 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128.

Dedurne quindi la media geometrica.

Svolgimento Per calcolare la media aritmetica dei logaritmi dei valori indicati dal testo del- l’esercizio, predisponiamo la seguente tabella (in cui si è fatto uso dei logaritmi naturali):

xi log(xi) 2 0. 4 1. 8 2. 16 2. 32 3. 64 4. 128 4. tot 19.

Abbiamo dunque che:

M 1 (log X) =

Ricordiamo che la media aritmetica dei logaritmi di N valori positivi coincide con il logaritmo della media geometrica^1 , in formule:

M 1 (log X) = log(M 0 (X)).

Di conseguenza: M 0 (X) = eM^1 (log^ X). Grazie a quest’ultima espressione abbiamo che:

M 0 (X) = e^2.^7726 = 16.

La media geometrica dei valori riportati dal testo dell’esercizio è di conseguenza pari a 16. Quale verifica della correttezza dei calcoli appena svolti, ricaviamo il valore di M 0 (X) utilizzando anche il procedimento diretto.

M 0 (X) = 7

√√ ∏^7

i=

xi

(^1) Zenga M., Lezioni di statistica descrittiva, pag 131: prima proprietà della media geometrica.

Svolgimento Si supponga in primo luogo di essere in possesso dell’informazione fornita dalla terza riga della tabella riportata nel testo dell’esercizio. In tal caso è ragionevole sinte- tizzare ciascuna classe in cui è raggruppato il carattere “numero di esami sostenuti” mediante la media aritmetica degli esami sostenuti dagli studenti che appartengono a ciascuna delle classi stesse. Queste medie (xj ), insieme ad altri calcoli che ci saranno utili nel seguito, sono riportate nella seguente tabella:

X n◦^ studenti Tot. esami xj val. centrale nj xj · nj cj 0 a 1 6 4 0.6667 0. 2a 4 10 27 2.7 3 5 a 7 8 52 6.5 6 8a 9 4 33 8.25 8. tot. 28 – – –

La media geometrica calcolata sfruttando le informazioni della terza riga della tabella è data da:

M 0 ′ = 28

√√ ∏^4

j=

xn jj

(0.6667)^6 · (2.7)^10 · (6.5)^8 · (8.25)^4

Supponendo invece di non essere in possesso delle informazioni contenute nella terza riga della tabella, è ragionevole sintetizzare ciascuna classe mediante i loro valori centrali cj. In questo caso la media geometrica risulta essere data da:

M

′′ 0 =^

28

√√ ∏^4

j=

cn jj

(0.5)^6 · (3)^10 · (6)^8 · (8.5)^4

4. L’importazione di grano in migliaia di tonnellate negli anni 1991 − 1997 è riportata nella seguente tabella:

anno (j) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 quantita` (qj ) 1534 2323 2340 2150 2460 2470 2510

Si calcoli per il periodo considerato la variazione relativa media annua (o tasso di variazione medio annuo) del fenomeno commentando opportunamente.

Svolgimento Le variazioni relative annuali della quantità di grano importata sono date da:

Vj.j− 1 =

qj − qj− 1 qj− 1

qj qj− 1

− 1 = Ij.j− 1 − 1 j = 1991, 1992 , ..., 1997.

Il loro calcolo è riportato nella seguente tabella:

Anno (j) quantità (qi) Ij.j− 1 Vj.j− 1 1991 1534 – – 1992 2323 1.5143 0. 1993 2340 1.0073 0. 1994 2150 0.9188 -0. 1995 2460 1.1442 0. 1996 2470 1.0041 0. 1997 2510 1.0162 0.

Ad esempio, la variazione relativa V 1992. 1991 , dice che le importazioni di grano del 1992 sono state maggiori del 51 .43% rispetto a quelle del 1991. V 1994. 1993 dice che le importazioni di grano del 1994 sono state minori dell’ 8 .12% rispetto a quelle del

1993. In modo analogo si commentano le altre variazioni relative annuali. La variazione relativa media annua (o tasso di variazione medio annuo) della quantità di grano importata, è data da:

V^ ¯ =

j=

(1 + Vj.j− 1 )

}^16

j=

Ij.j− 1

}^16

= I¯ − 1

dove, come è possibile osservare, si è indicato con I¯ la media geometrica dei numeri indici a base mobile Ij.j− 1. Osserviamo inoltre che: (^1997) ∏

j=

Ij.j− 1 = I 1997. 1991 =

q 1997 q 1991

La media geometrica I¯ dei numeri indici a base mobile, di conseguenza, è data da:

I^ ¯ = (I 1997. 1991 )^16 =

)^16

Abbiamo dunque che:

V^ ¯ =

)^16

medio zi di pezzi prodotti in un ora di lavoro da ciascuno dei cinque addetti. Il calcolo di tali valori è riportato nella seguente tabella. Addetto xi yi zi = yi\xi 1 222 1506 6. 2 243 1602 6. 3 225 1501 6. 4 206 1493 7. 5 248 1655 6.

La media geometrica del numero di pezzi prodotti in un’ora è data dunque da: M 0 (Z) = 5

In alternativa avremmo potuto ricavare il valore di M 0 (Z) sfruttando la seguente proprietà^2 della media geometrica:

M 0

Y

X

M 0 (Y )

M 0 (X)

Nel nostro caso abbiamo: M 0 (Y ) = 5

M 0 (X) = 5

Concludendo, abbiamo che

M 0 (Z) = M 0 (

Y

X

che coincide con il risultato ottenuto in precedenza.

7. Un carattere quantitativo viene rilevato su 5 individui ottenendo le seguenti osser- vazioni: 13, 5, 7, 26, 19. Si calcolino la media armonica e la media quadratica della distribuzione.

Svolgimento Nella seguente tabella sono riportati alcuni calcoli utili per lo svolgimento dell’eser- cizio. xi 1 \xi x^2 i 13 0.0769 169 5 0.2 25 7 0.1428 49 26 0.0385 676 19 0.0526 361 tot 0.5109 1280

(^2) Zenga M., Lezioni di statistica descrittiva, pag. 134: seconda proprietà della media geometrica.

La media armonica della distribuzione è data da:

M− 1 =

i=

1 xi

La media quadratica della distribuzione è data da:

M 2 =

√^1

∑^5

i=

x^2 i

8. Si calcolino la media armonica e la media quadratica della seguente distribuzione: xj 5 20 40 60 90 nj 20 40 60 50 30. Si calcolino inoltre media aritmetica e media geometrica verificando numericamente la relazione di ordinamento: M− 1 ≤ M 0 ≤ M 1 ≤ M 2.

Svolgimento Nella seguente tabella sono riportati alcuni calcoli utili per lo svolgimento dell’eser- cizio. xj nj xj · nj log(xj) log(xj) · nj x−j 1 x−j 1 · nj x^2 j x^2 j · nj 5 20 100 1.6094 32.1887 0.2 4 25 500 20 40 800 2.9957 119.8293 0.05 2 400 16000 40 60 2400 3.6889 221.3328 0.025 1.5 1600 96000 60 50 3000 4.0943 204.7172 0.01667 0.8333 3600 180000 90 30 2700 4.4998 134.9943 0.0111 0.3333 8100 243000 Tot 200 9000 – 713.0623 – 8.6667 – 535500 La media aritmetica del carattere rilevato è data da:

M 1 =

∑^5

j=

xj · nj =

La media goemetrica del carattere rilevato è data da:

M 0 = exp

∑^5

j=

log(xj ) · nj

= e

713200. 0623

= e^3.^5653 = 35. 3505.