Statistica I - Medie, Dispense di Statistica

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Valori di posizione

Massimo Alfonso Russo Dipartimento di Scienze Economiche, Matematiche e Statistiche Università di Foggia

Perché un valore medio

n Per effettuare una sintesi delle informazioni

presenti in un insieme di dati (qualitativi o

quantitativi), attraverso un valore rappresentativo.

Ø Serie (distribuzioni) di dati sconnessi → MEDIE LASCHE Ø Serie (distribuzioni) di dati ordinati → MEDIE LASCHE Ø Seriazioni (distribuzioni) quantitative → MEDIE ANALITICHE Moda = Mo Valore centrale = C Mediana = Me Quartili e Quantili = Qt Media aritmetica = μ Media geometrica = Mg Media armonica = Mar Medie di potenze = Mt x

STATISTICA I - 2016 - Foggia 4 Seriazione di intensità quantitative Studente Voto Statistica Antonio 28 Giovanna 27 Francesco 24 Paolo 30 Giorgio 22 Silvana 18 Laura 24 Anna 27 Michela 28 Totale = 228 Numerosità del Collettivo N = 9 ∑ = N i i x 1 25 , 333 9 228 9 28 27 24 30 22 18 24 27 28 1 = = =

= = =

= N x N i i μ

v.s. univariata discreta

N. Dipendenti Aziende 0 10 0 1 17 17 2 4 8 3 3 9 4 10 40 5 8 40 6 20 120 TOTALE 72 234 i i

x ⋅ n

Numerosità del Collettivo N = 72 3 , 250 72 234 72 1 (^010 ) (^117 ) (^24 ) (^33 ) (^410 ) (^58 ) (^620 ) = = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ = ∑ = N x n s i i i μ Medie effettive Medie di conto

Proprietà della media aritmetica n La somma algebrica degli scostamenti e i = ( x i - μ ) è uguale a zero: n La somma dei quadrati degli scostamenti e i 2 = ( x i - μ ) 2 è un minimo: n La media aritmetica è associativa: sostituendo a k valori rilevati la loro media aritmetica, la media generale non cambia: n La media aritmetica è traslativa: aggiungendo (o sottraendo) a tutte le modalità (o intensità) una quantità costante “ a ”, la media aritmetica risulterà anch’essa aumentata (o diminuita) della stessa costante ( μ + a; μ - a ); n La media aritmetica è omogenea: moltiplicando (o dividendo) tutte le modalità (o intensità) per una quantità costante “ b ”, la media aritmetica risulterà anch’essa moltiplicata (o divisa) per la stessa costante ( μ · b; μ : b ); n La media aritmetica è funzione crescente rispetto ad ognuna delle singole x i, se esse sono tutte positive. Operative Strutturali ( ) (^0) ; ( ) (^0). 1 1

= = − = − ⋅ = s i i i N i x i μ x μ n ( ) ( ) ; ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 1 2 ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = − < − − < − N i i i N i i i N i i N i x i μ x a x μ n x a n

Media geometrica

n Prendendo per base alcune quantità assunte come invarianti. Prodotto delle quantità rilevate → f ( x 1 , x 2 ,..., xN )= f ( x , x ,..., x ) N N i g i

M ∏ x

=

1 Ponderazione delle x i tramite il loro elevamento a potenza con le n i (Semplice) (Ponderata) ( x 1 (^) ⋅ x 2 ⋅...⋅ xN )=( x ⋅ x ⋅...⋅ x ) N s i n g i i

M ∏ x

=

1

N.B. si può calcolare solo se le x

i sono tutte positive

STATISTICA I - 2016 - Foggia 10 Seriazione di intensità quantitative Studente Voto Statistica Antonio 28 Giovanna 27 Francesco 24 Paolo 30 Giorgio 22 Silvana 18 Laura 24 Anna 27 Michela 28 Totale = 228 Numerosità del Collettivo N = 9 ∑ = N i i x 1 3.910.952.263.680 25 , 069 28 27 24 30 22 18 24 27 28 9 9 1 = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = = N N i M (^) g ⨿ x i Utilità di ricorrere alla trasformazione logaritmica . log log ... log log ; log log ... log log 1 1 2 2 1 2 N n x n x n x M N x x x M s s g s g ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

=

v.s. univariata discreta

N. Dipendenti Aziende 0 10 0 1 17 1 2 4 16 3 3 27 4 10 1.048. 5 8 390. 6 20 ….. TOTALE 72 n i x i Numerosità del Collettivo N = 72 0 0 , 000 0 1 2 3 4 5 6 72 72 10 17 4 3 10 8 20 1 = = = (^) ∏ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = N s i n g i i M x

Media armonica

n Prendendo per base alcune quantità assunte come invarianti. Somma inverso quantità rilevate → f ( x 1 , x 2 ,..., xN )= f ( x , x ,..., x )

=

N i (^) i ar x N M 1 1 (Semplice) (^) (Ponderata) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

x x x x x x N 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 2

=

s i (^) i i ar x n N M 1

Seriazione di intensità quantitative Studente Voto Statistica Antonio 28 Giovanna 27 Francesco 24 Paolo 30 Giorgio 22 Silvana 18 Laura 24 Anna 27 Michela 28 24 , 781 0 , 363179 9 ( 1 / 28 ) ( 1 / 27 ) ( 1 / 24 ) ( 1 / 30 ) ( 1 / 22 ) ( 1 / 18 ) ( 1 / 24 ) ( 1 / 27 ) ( 1 / 28 ) 9 1 1 = = =

= = = ∑ = N i (^) i ar x N M

Media di potenza

n Prendendo per base alcune quantità assunte come invarianti. Somma potenza quantità rilevate →

1 2 f x x x f x x x N

t N i t i t N x M

=

1 (Semplice) (^) (Ponderata) ( 1 2 ... ) ( ... ) t t t t N t t x + x + + x = x + x + + x t s i i t i t N x n M

=

1

Facendo variare il parametro “ t ”

n t = -1 → MEDIA ARMONICA

n t = 0 → MEDIA GEOMETRICA

n t = +1 → MEDIA ARITMETICA

n t = +2 → MEDIA QUADRATICA

n t = +3 → MEDIA CUBICA

(lim M per t → 0 )

t

( ) ar g q c ( N )

x ≤ ...≤ M ≤ M ≤ ≤ M ≤ M ≤...≤ x 1 μ

Medie Lasche

n Valori di posizione che si basano solo su alcuni elementi dell’intera distribuzione e prevalentemente (esclusa la moda ) sull’ordine dei valori osservati. (Poco significativo) ( ) ( ) 2 1 N x x C

Valore Centrale → =

Mediana → modalità che bipartisce la distribuzione

dopo aver ordinato le modalità (intensità).

• la metà delle unità osservate registra un valore inferiore alla Mediana; l’altra metà superiore -

Moda → modalità (o classe) con più alta frequenza

Medie Lasche - Mediana

n Nel caso di una seriazione o di una serie ordinale

2 1 2 2

= x N x N M e

Se N è pari →

Se N è dispari →

( ) 2 Me = x N + 1