Esercizi di Statistica per l'Impresa: Numeri Indice, Correlazione e Probabilità, Esercizi di Statistica

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STATISTICA PER L’IMPRESA

ESERCITAZIONE 27 OTTOBRE 2017

Francesco Schirripa

[email protected]

Esercizio 1

Sia data la retribuzione annua (in euro) di un individuo tra il 2009 e il 2014.

1. Costruire la serie dei numeri indice a base fissa 2012 e commentare

2. Costruire la serie dei numeri indice a base mobile e commentare

Anno

Retribuzione

annua (€)

2009 18100

2010 18850

2011 19800

2012 19900

2013 20550

2014 20740

4

2) Numeri indice a base mobile

Ciascuna intensità o frequenza è rapportata a quella del termine immediatamente precedente:

𝐼

𝑡/ 𝑡− 1

=

𝑌

𝑡

𝑌

𝑡− 1

,

2010 / 2009

× 100 = 104 , 1

2011 / 2010

× 100 = 105 , 0

2012 / 2011

× 100 = 100 , 5

2013 / 2012

× 100 = 103 , 3

2014 / 2013

× 100 = 100 , 9

La serie evidenzia un continuo incremento relativo delle retribuzioni. Il maggiore incremento

relativo si ha tra il 2010 ed il 2011 ed è pari al 5 %. Il minore incremento relativo si è verificato

invece tra 2011 e 2012 ed è pari allo 0 , 5 %

Esercizio 2

Siano dati i prezzi e le quantità di casse di vino vendute nel 2010 e nel 2014

Considerando il 2014 come anno corrente e il 2010 come anno base calcolare

1. l’indice dei prezzi di Laspeyres

2. l’indice dei prezzi di Paasche

3. l’indice dei prezzi di Fisher

Anno

Vino Bianco Vino Rosso

Prezzi (€) Quantità Prezzi (€) Quantità

2010 60 570 68 120

2014 83 620 92 170

2) Indice dei prezzi di Paasche

𝐼

𝑡/ 0

𝑃

=

σ

𝑚= 1

𝑀

𝑝

𝑚𝑡

∙𝑞

𝑚𝑡

σ

𝑚= 1

𝑀

𝑝

𝑚 0

∙𝑞

𝑚𝑡

× 100 È il rapporto tra il valore dell’aggregato al tempo corrente t ed il valore “fittizio” ottenuto

moltiplicando i prezzi al tempo base per le quantità al tempo corrente.

𝑷

𝟐𝟎𝟏𝟒/𝟐𝟎𝟏𝟎

σ

𝑚= 1

2

𝑚

𝑚

σ

𝑚= 1

2

𝑚

𝑚

83 × 620 + ( 92 × 170 )

60 × 620 + ( 68 × 170 )

× 100 =

× 100

× 100 = 137 , 98

I prezzi dal 2010 al 2014 sono cresciuti del 37,98%, assumendo che le quantità vendute siano quelle del

3) Indice dei prezzi di Fischer

𝐼

𝑡

𝐹

= 𝐼

𝑡/ 0

𝐿

∙ 𝐼

𝑡/ 0

𝑃

È la media geometrica degli indici precedenti

𝑭

𝟐𝟎𝟏𝟒/𝟐𝟎𝟏𝟎

= 137 , 75 × 137 , 98 = 137 , 86

Per valutare l'eventuale correlazione (interdipendenza) tra le variabili (entrambe quantitative), si ricorre al coefficiente

di correlazione lineare di Bravais-Pearson.

𝐶𝑜𝑟𝑟

𝑥𝑦

= 𝜌

𝑥𝑦

=

𝜎

𝑥𝑦

𝜎

𝑥

𝜎

𝑦

=

σ

𝑖= 1

𝑛

(𝑥

𝑖

− 𝑥ҧ)(𝑦

𝑖

− 𝑦ത)

σ

𝑖= 1

𝑛

(𝑥

𝑖

− 𝑥ҧ)

2

σ

𝑖= 1

𝑛

(𝑦

𝑖

− 𝑦ത)

2

Il coefficiente di correlazione lineare è una misura della forza della relazione lineare tra due variabili quantitative x e y.

• Indice simmetrico;
• Numero puro: non dipende dall’unità di misura né dall’ordine di grandezza delle variabili;
• Può assumere valori all’interno dell’intervallo −𝟏 ≤ 𝝆

𝒙𝒚

≤ 𝟏

𝜎

𝑥𝑦

=

σ

𝑖= 1

𝑛

(𝑥

𝑖

− 𝑥ҧ)(𝑦

𝑖

− 𝑦ത)

𝑛

= Cov(x, y) permette di misurare la concordanza o la discordanza tra due variabili, ma non

permette di definire la forza della relazione perché dipende dall’unità di misura dipende e può assumere valori

all’interno dell’intervallo: −𝜎

𝑥

𝜎

𝑦

≤ 𝜎

𝑥𝑦

≤ 𝜎

𝑥

𝜎

𝑦

.

Se i due caratteri sono statisticamente indipendenti la loro covarianza è uguale a zero.

Se positiva i due caratteri saranno correlati positivamente;

Se negativa i due caratteri saranno correlati negativamente

Calcoliamo prima le media aritmetiche dei voti

𝑥 ҧ =

𝑖= 1

𝑛

𝑖

𝑖= 1

𝑛

𝑖

𝑥𝑦

𝑥𝑦

σ

𝑖= 1

𝑛

(𝑥

𝑖

− 𝑥ҧ)(𝑦

𝑖

− 𝑦ത)

𝑛

𝑖

− 𝑥ҧ) (𝑦

𝑖

𝑖

− 𝑥ҧ) (𝑦

𝑖

Calcoliamo la covarianza: 𝐶𝑜𝑣

𝑥𝑦

= 𝜎

𝑥𝑦

=

σ

𝑖= 1

𝑛

(𝑥

𝑖

− 𝑥ҧ)(𝑦

𝑖

− 𝑦ത)

𝑛

Correlazione

positiva

Calcoliamo le varianze

𝑦

2

σ

𝑖= 1

𝑛

(𝑦

𝑖

− 𝑦ത)

2

𝑛

0 , 39 + 28 , 89 + 11 , 39 + 28 , 89 + 13 , 14 + 21 , 39 + 1 , 89 ++ 43 , 89

8

𝑥

2

σ

𝑖= 1

𝑛

(𝑥

𝑖

− 𝑥ҧ)

2

𝑛

0 , 39 + 19 , 14 + 0 , 14 + 19 , 14 + 0 , 14 + 2 , 64 + 13 , 14 + 13 , 14 + 13 , 14

8

Prova

scritta

(x)

𝑖

− 𝑥ҧ) 𝑥

𝑖

− 𝑥ҧ

2

Prova

orale

(y)

(y

i

− തy) 𝑦

𝑖

2

Laurea/Genere Maschio Femmine TOT

Economia 17 7 24

Matematica 28 14 42

Lettere 8 20 28

Ingegneria 7 9 16

TOT 60 50 110

Esercizio 4

Su un collettivo di studenti delle scuole superiori sono stati rilevati i seguenti caratteri: genere e corso di

laurea vorrebbero frequentare.

Verificare se i due caratteri sono statisticamente associati

Un indice che permette di valutare l’associazione di caratteri qualitativi è l’indice Chi-

Quadrato di Pearson

2

𝑖= 1

𝐻

𝑗= 1

𝐾

𝑖𝑗

𝑖𝑗

′

2

𝑖𝑗

′

n

ij

frequenze osservate

𝑖𝑗

𝑛

𝑖.

𝑛

.𝑗

𝑛

..

frequenze teoriche

𝑖𝑗

𝑖𝑗

𝑖𝑗

contingenze

y

1

… y

j

… y

k

x

1

n

11

n

1j

n

1k

n

xi n

i

n

ij

n

ik

n

i.

x

H

n

H

n

Hj

n

HK

n

H.

TOT n

.

n

.j

n

.K

n

Laurea/

Genere

Maschio Femmine TOT

Economia

Matematica

Lettere

Ingegneria

TOT

Calcoliamo le frequenze teoriche 𝑛

𝑖𝑗

′

Laurea/

Genere

Maschio Femmine TOT

Economia 17 7 24

Matematica 28 14 42

Lettere 8 20 28

Ingegneria 7 9 16

TOT 60 50 110

Tabella frequenze osservate

Tabella frequenze teoriche

Laurea/

Genere

Maschio Femmine

Economia

2

2

Matematica

2

2

Lettere

2

2

Ingegneria

2

2

Laurea/Genere Maschio Femmine

Economia 17 7

Matematica 28 14

Lettere 8 20

Ingegneria 7 9

Laurea/Genere Maschio Femmine

Economia

13,09 10,

Matematica

22,91 19,

Lettere

15,27 12,

Ingegneria

8,73 7,

2

𝑖= 1

𝐻

𝑗= 1

𝐾

𝑖𝑗

𝑖𝑗

′

2

𝑖𝑗

′