Esercitazioni di Statistica per l'Impresa: Regressione, Probabilità e Distribuzioni, Esercizi di Statistica

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ESERCITAZIONE DI RIEPILOGO

STATISTICA PER L’IMPRESA

Benedetti Ilaria

[email protected]

Schirripa Francesco

[email protected]

4 DICEMBRE 2015

Y = pezzi venduti 200 195 200 190 188 180 185 180 163 170

X = prezzo in centesimi 10 20 21 25 29 30 31 40 45 50

ESERCIZIO 1

Il direttore di una catena di supermercati conduce un’indagine su un campione di 10 punti vendita per

verificare se le vendite di una particolare tipologia di yogurt siano influenzate dal prezzo.

1. si stimino i coefficienti di regressione del modello lineare

2. si calcoli il coefficiente di determinazione e si commenti il risultato ottenuto

3. si verifichi l’ipotesi H 0

: β 1

= 0 contro l’alternativa H 1

: β 1

≠ 0 (si ponga α = 0,05)

2

Y X

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

2

𝑖

𝑖

𝑖

2

4

1

𝑖= 1

𝑛

𝑖

𝑖

𝑖= 1

𝑛

𝑖

2

0

1

5

L’equazione stimata è

𝑖

𝑖

𝑖

2

𝑖

2

𝑖

2

𝑆𝑄𝑇 = (𝑦 𝑖

2

𝟐

7

L’86% della variabilità totale di Y è spiegata dalla

regressione. Il modello di regressione ha un buon

adattamento ai dati osservati

3. Per verificare che la relazione lineare tra le variabili sia significativa è necessario verificare l’ipotesi che il

coefficiente angolare nella popolazione sia diverso da zero.

0

1

1

1

Se accetto l’ipotesi nulla vuol dire che nella popolazione non c’è una significativa relazione di dipendenza lineare di Y

da X

8

Calcoliamo ora l’errore standard del coefficiente angolare (avendo già numeratore e la sommatoria degli scarti al

quadrato della variabile indipendente):

1

𝑖= 1

𝑛

𝑖

2

Quindi

𝑡𝑒𝑠𝑡

𝐵 1

𝑠 𝐵 1

− 0 , 93

0 , 13

A livello α = 0,05 𝑡 0 , 025 ; 8

• 7,15 < - 2,3, si rifiuta H 0

C’è evidenza sufficiente per concludere che c’è una relazione lineare tra prezzo e quantità

10

Il test di significatività di 𝛽 1

0

1

1

1

≠ 0 ) può essere derivato anche dalla procedura di analisi della

varianza (ANOVA).

Ricordando la scomposizione della devianza totale SQT=SQR+SQE, sotto H 0

𝑖= 1

𝑛

𝑖

2

/ 1

𝑖= 1

𝑛

𝑖

2

1 ;𝑛− 2

11

ESERCIZIO 2

In un liceo di 100 studenti:

25 studenti sono stati bocciati in matematica,

10 sono stati bocciati in biologia

5 sono stati bocciati in entrambe la materie

Scelto uno studente a caso:

1. Qual è la probabilità di essere bocciato in biologia?

2. Qual è la probabilità di non essere stato bocciato in matematica?

3. Qual è la probabilità che essendo stato bocciato in biologia, sia stato bocciato anche in matematica?

4. Essendo stato bocciato in matematica, qual è la probabilità che sia stato bocciato anche in biologia?

5. Qual è la probabilità che sia stato bocciato in matematica o in biologia?

6. I due eventi (essere bocciato in matematica, essere bocciato in biologia) sono indipendenti?

13

Poniamo:

A= {essere bocciato in matematica}

B={essere bocciato in biologia}

A∩B={essere bocciato in matematica e in biologia}

1. La probabilità che uno studente sia stato bocciato in biologia è:

2. La probabilità che uno studente non sia stato bocciato in matematica è:

14

5. La probabilità che sia stato bocciato in matematica o in biologia, è:

6. Due eventi sono statisticamente indipendenti se il verificarsi dell’uno non modifica la probabilità dell’altro.

Nel nostro caso queste relazione non valgono, i due eventi sono dipendenti

16

ESERCIZIO 3

Si lancia un dado tradizionale non truccato per 4 volte consecutivamente. Si consideri la variabile aleatoria 'numero di

facce 3 ottenute' (X).

1. Calcolare la probabilità di ottenere 2 volte la faccia 3

2. Calcolare la probabilità di ottenere meno di 2 volte la faccia 3

3. Calcolare valore atteso e varianza di X

17

2. Calcolare la probabilità che la faccia 3 esca meno di due volte equivale a calcolare la probabilità che X assuma

meno di due volte il valore ‘1’ (successo):

Si ricorre quindi alla funzione di ripartizione binomiale:

𝑘≤𝑥

In questo caso dobbiamo quindi calcolare:

0

4 − 0

4

1

4 − 1

3

19

3. Valore atteso e varianza:

20