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CORSO DI STATISTICA PER L’IMPRESA
ESERCITAZIONE DI RIEPILOGO DEL
Gaetano Grilli [email protected]
Esercizio 1
Il manager di una società di scatole regalo intende confrontare il diametro interno in centimetri di due tipi di scatole x e y. Estrae quindi un campione di 5 scatole per ogni tipologia e riporta i risultati in tabella:
- Per ciascuno dei tipi di scatole calcolare la media aritmetica e la mediana
- Se il diametro medio ottimale è di 5.65 cm, qual è il tipo di scatole migliore in media?
- Sapendo che la varianza di x è pari a 0.023 e la varianza di y è pari a 0.037 confrontare la variabilità delle due distribuzioni
x 5.6 5.7 5.7 5.8 5. y 5.3 5.6 5.8 5.7 5.
- Avendo a disposizione l’elenco delle osservazioni, la media aritmetica per le tipologie x ed y :
Per calcolare la mediana bisogna prima di tutto ordinare le osservazioni
n=5 è dispari, l’unità centrale ha posizione (n+1)/2 = (5+1)/2 = 3
- Dato che il diametro medio ottimale è di 5.65 cm possiamo affermare che la tipologia x è in media migliore della tipologia y
x 5.4 5.6 5.7 5.7 5. y 5.3 5.5 5.6 5.7 5.
- Si possono confrontare le varianze (che nell’esercizio sono divise per n-1 perché si tratta di due campioni). Altrimenti occorre calcolare il coefficiente di variazione:
- Per ottenere le distribuzioni condizionate percentuali del Tempo occorso per trovare lavoro rispetto alla Residenza si rapportano le frequenze assolute congiunte con il rispettivo totale di riga e si moltiplica per 100:
Residenza
Tempo (in mesi) 6 12 18 24 Totale Nord-Ovest 60 % 40 % 0 % 0 % 100 % Nord-Est 25 % 50 % 25 % 0 % 100 % Centro 43 % 25 % 10 % 22 % 100 % Sud 43 % 24 % 9 % 24 % 100 %
- Si calcola l’indice Chi-quadrato di Pearson:
Si devono prima calcolare le frequenze sotto l’ipotesi di indipendenza
Basandosi sul cosa si può dire sul grado di associazione?
dove: Frequenze teoriche di indipendenza
Residenza
Tempo (in mesi) 6 12 18 24 Totale Nord-Ovest 2.15 1.30 0.52 1.03 5 Nord-Est 1.73 1.03 0.41 0.83 4 Centro 45.11 27.22 10.89 21.78 105 Sud 9.02 5.44 2.18 4.36 21 Totale 58 35 14 28 135
Esercizio 3
In tabella è riportato il valore complessivo in miliardi di euro delle Importazioni e delle Esportazioni italiane dal 2008 al 2013
Anno Importazioni (X) Esportazioni (Y) 2008 382.0 369. 2009 297.6 291. 2010 367.4 337. 2011 401.4 375. 2012 380.3 390. 2013 359.4 389.
- Determinare il coefficiente di correlazione tra Importazioni ed Esportazioni
- Il coefficiente di correlazione lineare è dato da:
pertanto bisogna calcolare:
- la deviazione standard delle Importazioni
- la deviazione standard delle Esportazioni
- la covarianza tra le Importazioni e le Esportazioni
Si calcolano prima di tutto le medie
poi le varianze e la covarianza
- Per determinare le probabilità richieste si utilizza la funzione di probabilità Binomiale
con probabilità di successo costante π = 0.40 e numero di prove bernoulliane pari a n = 5
Essendo richiesta la probabilità che nessun consumatore dia il punteggio massimo bisogna calcolare la probabilità che X = 0
- La probabilità di successo e il numero delle prove bernoulliane restano invariati, rispettivamente pari a π = 0.40 e n = 5
Essendo richiesta la probabilità che esattamente un consumatore abbia espresso il punteggio massimo, bisogna calcolare la probabilità che X = 1
- La probabilità di successo e il numero delle prove bernoulliane restano invariati, rispettivamente pari a π = 0.40 e n = 5
La probabilità che al massimo due consumatori abbiano dato un punteggio massimo (cioè che sia X ≤ 2 ) può essere ottenuta come
Esercizio 5
In una caffetteria vengono serviti in media quattro clienti al minuto
Determinare:
- La probabilità che in un minuto vengano serviti esattamente 5 clienti
- La probabilità che in un minuto vengano serviti al massimo 3 clienti
- La probabilità che in un minuto vengano serviti più di 2 clienti
- La probabilità che in 5 minuti vengano serviti esattamente 10 clienti
- Il parametro λ resta invariato e pari a 4 Dovendo determinare la probabilità che in un minuto vengano serviti più di due clienti, si deve calcolare la probabilità che X > 2
Tale probabilità è uguale a:
- Per determinare tale probabilità bisogna cambiare il parametro λ poiché si fa riferimento ad un intervallo di tempo differente. In particolare, facendo riferimento ad un intervallo di 5 minuti, il valore atteso della variabile Clienti serviti diventa λ = 20 cioè cinque volte il valore atteso riferito all’intervallo di un minuto
Si procede quindi a determinare la probabilità che in 5 minuti vengano serviti esattamente 10 clienti cioè che X = 10
Esercizio 6
Una certa ditta produce pasta a coltura biologica. Il peso in grammi di un pacco di prodotto si distribuisce come una v.c. Normale con media 510 e varianza 18
Determinare le probabilità:
- Che un pacco di pasta superi i 515 gr di peso
- Che un pacco di pasta pesi meno di 495 gr
- Che un pacco di pasta pesi tra i 505 e i 518 gr
- Il calcolo di tale probabilità viene effettuato tramite la standardizzazione e l’uso delle tavole
Si procede prima di tutto al calcolo del valore standardizzato
Quindi si calcola la probabilità che un pacco di pasta pesi più di 515 gr
