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Esercizi di preparazione al primo esonero di Matematica (parte 2)
- a. Data f: R R definita da
3 se x 1 x 2
se x ( , 1 ) ( 1 , 2 ) x x 2
x 2
se x ( 2 , ) x x 2
x 2
f (x) 2
2
dire se è continua e derivabile nel suo dominio.
b. Data f: R R definita da
2 x 0 x 3
2 e x x 0 x 3 f(x)
x
,
dire se è continua e derivabile nel suo dominio.
- Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
a.
0 , 5 x
x π x
x (^) lnx e
arctan(e ) x π lim
b.
8 3 x
2 x x
x (^) lnx x e
e e lim
c.
2
4 5
x (^01) cosx
ln( 1 x ) 2 x lim
d.
2
3 x 2 3
x (^0) sinx
e 2 arctanx x 1 lim
2
e. x
x 3
x 0
lim x 1
f.
x
x (^0) x
lim (^1)
g. limxlnx x 0
h.
sinx x 0
lim x
- Calcolare i seguenti limiti, applicando il teorema di De L’Hôpital:
a. x 1
e 3 x 2 lim
2 x 2
x 1
2
b. 3 x (^0) x
2 x sin 2 x lim
c.
ln( 3 x 5 )
cos πx x 1 lim
4
x (^2)
d.
2 x x
lim x 5 e
4. a. Calcolare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) =ln 2 x 3
nel suo punto di ascissa 2.
b. Determinare in quale punto la retta tangente al grafico della funzione
5 x f (x) 1 e
ha coefficiente angolare uguale a 10. c. Mostrare che la retta tangente nell’origine al grafico di f (x)arctanx è la bisettrice
dei quadranti primo e terzo.
- a. Determinare gli intervalli nei quali la funzione x 1
2 x 8 x 2 f (x) 2
2
è monotona.
b. Determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione f (x) x 3 x 7 3 2
nell’intervallo [−2, 3].
c. Data la funzione f: [0, 3] → R definita da
x^2 f (x) 2 x 1 e , determinare gli
intervalli di monotonia, gli estremi relativi (massimi e minimi relativi) e gli estremi assoluti (massimo e minimo assoluto). d. Determinare, se esistono, il massimo e il minimo assoluti della funzione f(x) = ln
2 x nell’intervallo (0, e].
Attenzione: non è uno dei limiti notevoli, poiché x tende a 0
Suggerimenti e soluzioni
- a. Osserviamo, scomponendo il denominatore, che la funzione si può scrivere come
3 se x 1 x 2
se x ( , 1 ) ( 1 , 2 ) x 1
x 1 x 2
x 2
x x 2
x 2
se x ( 2 , ) x 1
x 1 x 2
x 2
x x 2
x 2
f (x) 2
2
Se x è diverso da – 1 e da 2, la funzione è ovviamente continua. I punti singolari sono, pertanto, – 1 e 2. Studio la continuità in tali punti.
lim f(x ) x 1
lim f(x ) x 1
, quindi x = – 1 è per f punto di discontinuità di
seconda specie.
limf(x) x 2
limf(x) x 2
, dunque x = 2 è per f punto di discontinuità di prima
specie.
La derivata di f è
se x ( , 1 ) ( 1 , 2 ) x 1
se x ( 2 , ) x 1
f'(x)
2
2 .
Essendo f discontinua in – 1 e in 2, in tali punti sarà anche non derivabile. Negli altri punti f è derivabile.
b. Se x è diverso da 0 e da 3, la funzione è ovviamente continua. I punti singolari sono, pertanto, 0 e 3. Esamino la continuità in tali punti. limf(x) 2 x 0
, lim f(x) 2 x 0
, f(0) = 2, quindi in 0 f è continua.
lim f(x) 2 e 3 3 x 3
, lim f(x) 2 e 3 3 x 3
, f(3) = 2, dunque x = 3 è per f punto di
discontinuità di terza specie (eliminabile).
Studio ora la derivabilità. La derivata è f '(x) 2 e 1
x
, per x ≠0 e x ≠ 3.
Essendo f discontinua in 3, in tale punto sarà anche non derivabile. limf'(x) 3 x 0
^
, limf'(x) 3 x 0
^
. Poiché questi due limiti vengono finiti e
uguali, f è derivabile anche in 0. Pertanto la derivata è: f '(x) 2 e 1 x , per x ≠ 3.
- a. Il limite si presenta sotto la forma indeterminata
, quindi lo risolviamo tramite il
confronto asintotico, considerando solo i termini che tendono più velocemente a
infinito: x
x
x (^) e
lim
x
x (^) e
lim , poiché 1 e
b. Il limite è della forma
; lo risolviamo tramite il confronto asintotico:
e
lim e
e lim (^) x 3 x x
2 x
x
- a. Il limite si presenta sotto la forma indeterminata 0
. Applichiamo il teorema di De
L’Hôpital (le ipotesi sono verificate).
2 x
4 xe 3 lim
2 x 2
x 1
2
b. Il limite è della forma 0
. Applicando tre volte il teorema di De L’Hôpital (le ipotesi
sono soddisfatte), il risultato è 3
c. Il limite è della forma 0
. Applicando il teorema di De L’Hôpital (le ipotesi sono
soddisfatte), si ottiene
3 x 5
4 cos πx sinπx π 1 lim
3
x 2
d. Il limite è della forma ^0. Come è noto, per poter applicare il teorema di De
L’Hôpital, la forma indeterminata deve essere 0
o
, quindi dobbiamo trasformare
il limite in una di queste due forme.
Possiamo scrivere 2 x
x
2 x x (^) e
x 5 lim x 5 e lim
. Ora il limite è
. Applicando il
teorema di De L’Hôpital, otteniamo:^0 2 e
lim (^2) x x
- a. y = 2x – 4. b. ln 2 5
x 0
c. Essendo f(0) = 0 e f’(0) = 1, la retta tangente è y – 0 = 1 (x – 0), ossia y = x.
- a. La derivata è
2 2
2
x 1
81 x f '(x)
. Essa è positiva se −1<x<1, negativa se x<−1 v x>1,
nulla se x = −1 v x = 1. Pertanto f è strettamente crescente nell’intervallo (−1, 1), strettamente decrescente nell’intervallo (−∞, −1) e nell’intervallo (1, +∞); in −1 è presente un punto di minimo relativo, in 1 è presente un punto di massimo relativo.
b. La funzione è continua in tutti i punti x reali. La derivata f '(x) 3 x 6 x 2 è definita
per ogni x, quindi non esistono punti di non derivabilità. I punti stazionari, ossia quelli che annullano la derivata, sono x = 0, x = 2, entrambi interni all’intervallo di studio [−2, 3]. Per determinare il massimo e il minimo, calcoliamo il valore della funzione nei punti stazionari: f(0) = 7, f(2) = 3, agli estremi dell’intervallo di studio: f(−2) = −13, f(3) = 7 nei punti di non derivabilità (che stavolta non esistono). Pertanto il massimo è 7 (assunto in 0 e in 3), il minimo è −13 (assunto in −2).
c. La funzione è continua in ogni punto appartenente all’intervallo di studio [0, 3].
La derivata
2 x^2 f '(x) 4 x 2 x 2 e
è definita e continua in ogni x [0, 3], pertanto non ci sono punti di non derivabilità. Per determinare gli intervalli di monotonia, studiamo il segno della derivata. Considerando l’intervallo di studio [0, 3], f’(x) risulta positiva per x [0, 1), negativa per x (1, 3]; l’unico punto stazionario è x = 1 (l’altro valore che annulla la derivata, ossia x = −1/2, non è interno all’intervallo di studio). Dunque, f è strettamente crescente in [0, 1), strettamente decrescente in (1, 3]. x = 1 è punto di massimo relativo; non esistono minimi relativi interni a [0, 3]. Per stabilire il minimo e il massimo assoluto, valutiamo f nell’unico punto stazionario f(1) = e
−
agli estremi dell’intervallo f(0) = −1, f(3) = 5e −
nei punti di non derivabilità (questa funzione non ne ha). Pertanto il massimo assoluto della funzione è e
− , il minimo assoluto è −1.
d. La funzione è continua in ogni x (0, e]. La derivata è x
2 lnx f^ '(x).
L’unico punto stazionario è x = 1. Non esistono punti di non derivabilità. Per determinare l’eventuale massimo e minimo assoluti, valutiamo f: nel punto stazionario f(1) = 0
agli estremi dell’intervallo f(e) = 1,
lim ln x 2 x 0 nei punti di non derivabilità (non ci sono). Pertanto il minimo della funzione è 0 (viene assunto in 1); non esiste il massimo assoluto, poiché sup(f) = +∞.
