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una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della
IDROSTATICA
ESERCIZI RISOLTI
INTRODUZIONE
In questi brevi appunti viene riportato lo svolgimento di alcuni esercizi inerenti la
statica dei fluidi.
Riprendiamo adesso alcuni concetti utili.
Densità : per un qualsiasi corpo, è definita come rapporto fra la massa ed il volume:
m
v
ρ =
Nel S.I. si misura in kg/m³ , ma altre unità sono il kg/dm³ oppure il g/cm³.
Pressione : data una superficie qualsiasi, viene calcolata facendo il rapporto fra il
modulo della forza F
agente e l’area della superficie stessa S , in formule:
F
p
S
La pressione si misura nel S.I. in Pascal ( 1 Pa = 1 N 1 m^2 ). Altre unità di misura molto
utilizzate sono il Bar ( 1 Bar = 10 5 Pa) e l’Atmosfera
( 1 atm = 1.01325 bar = 1.01325 ⋅ 105 Pa ≈ 1.013 ⋅ 105 Pa).
La pressione viene a volte misurata, non come assoluta, ma relativamente alla
pressione atmosferica.
Un esempio è la pressione dell’aria all’interno di uno pneumatico d’automobile, ad
esempio una pressione di “2.2 atmosfere” (pressione relativa), in realtà significa 2.
atmosfere oltre la pressione atmosferica, ovvero 3.2 atmosfere (pressione assoluta).
Atmosfera standard
L’atmosfera standard o atmosfera (abbreviata in atm) è un’unità di misura della
pressione, definita con precisione a sei cifre nel Sistema Internazionale, per
approssimare una quantità che varia costantemente a seconda del luogo e del
momento. È all’incirca uguale alla pressione tipica dell’aria a livello del mare ed è
definita come: 1 atm = 101325 Pa.
Legge di Stevino : permette di ricavare la pressione che un fluido (generalmente un
liquido) esercita ad una certa profondità. La pressione dipende dalla densità del fluido,
dalla profondità a cui si trova il punto considerato e dalla pressione agente sulla
superficie. La forma della superficie non influenza la pressione. Vale:
ph = ρ· · g h + p 0
essendo g l’accelerazione di gravità nel luogo considerato (valore medio:
g = 9.81 m s^2 ).
una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della
Spinta di Archimede : è la forza che un corpo immerso in un fluido subisce per effetto
del fluido stesso. è diretta sempre verso l’alto ed è pari al peso del liquido spostato. In
formule vale:
S A = ρ F ⋅ g V · i
essendo ρ F la densità del fluido, g l’accelerazione di gravità e Vi il volume di fluido
spostato (che in questo caso è uguale al volume del solido immerso).
Densità relativa
In generale, per densità relativa si intende il rapporto tra la densità del corpo in esame
e quella di un corpo preso come riferimento, per data temperatura e pressione (il
risultato che si ottiene è un numero puro).
La densità relativa viene spesso definita come il rapporto tra la densità del corpo in
esame e quella dell’acqua pura a temperatura di 4 °C e pressione di 1 bar, o in maniera
equivalente come il rapporto tra la massa del corpo in esame e quella di un eguale
volume di acqua pura (distillata o deionizzata) a temperatura di 4 °C e pressione di 1
bar. La relazione di calcolo è dunque: ρ r = ρ C ρ A.
La densità relativa può essere determinata in vari modi. I corpi solidi, che hanno
densità maggiore di quella dell’acqua, vengono pesati dapprima in aria e quindi in
acqua, in condizioni di completa immersione. La densità relativa si ottiene dividendo il
peso in aria per la diminuzione di peso del corpo immerso. Per determinare la densità
relativa dei fluidi si utilizzano invece strumenti appositi, detti densimetri.
La densità propriamente detta talvolta viene chiamata densità assoluta, in
contrapposizione alla densità relativa.
Peso apparente
Come ciascuno di noi ha notato, al mare o in una piscina con uno sforzo minimo si può
sostenere una persona immersa nell’acqua mentre se la persona a mano a mano
emerge la fatica aumenta progressivamente. Quindi, quando un corpo è immerso in
un liquido sembra che diventi più leggero, vale a dire che si nota un’apparente
diminuzione del suo peso P. Poiché il peso di un corpo in un dato luogo è invariabile,
possiamo spiegare questo fenomeno ricordando che, in base alla legge di Archimede,
il fluido (liquido o aeriforme) esercita sul corpo una forza verticale diretta dal basso
verso l’alto: è quest’ultima che determina l’apparente diminuzione del peso.
LA LEGGE DI STEVINO
ESERCIZIO N. 1
Quanto deve essere alto un tubo, chiuso ad un’estremità, riempito di mercurio
( ρ (^) Hg = 13590 kg m^3 ) per esercitare sulla base una pressione di p =2.00 atm
sulla sua base?
Si tratta di un’applicazione inversa della legge di Stevino: tale esercizio ha lo scopo di
familiarizzare con i calcoli.
Se p = ρ· · g h + p 0 , allora segue immediatamente che:
una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della
ESERCIZIO N. 4
Il petrolio intubato dentro ad un foro di trivellazione a causa delle spinte interne di natura geologica, ha una pressione verso l’alto di
p = 2800 N cm^2 (relativa^ alla^ pressione^ atmosferica).^ Per
contrastare la risalita del greggio si immette nel tubo una miscela di acqua e fango, di densità ρ (^) F = 2500 kg m^3. Quanto deve essere alta la colonna di fango per contrastare adeguatamente la fuoriuscita del greggio?
La spinta del petrolio può essere contrastata grazie alla pressione
idrostatica di una colonna di fango ed acqua di altezza h. L’altezza
minima della colonna di fango è quella che dà luogo ad una pressione alla base pari a
quella del petrolio.
Se p (^) fango = p (^) petrolio = ρ fango ⋅ g ⋅ h , allora:
h (^) fango = p (^) petrolio ( ρ fango ⋅ g )
con p petrolio espressa però in unità del S.I. (ossia in Pascal).
Convertendo, si ha: 4 2 7
2800 N
2.8 10 Pa
10 m
p petrolio = − = ⋅
Da cui si ottiene:
( )
7 3 2
2.8 10 Pa
114 m
2500 kg m 9.81 m s
h (^) fango p (^) petrolio ρ (^) fango g 1.
L’EQUILIBRIO DI PRESSIONE
ESERCIZIO N. 5
Un cilindro C di massa mC = 1000 kg e di sezione
2
S 2 = 3.00 dm è appoggiato sulla superficie libera di un
fluido di densità ρ (^) F = 800 kg m^3. All’altra estremità del
tubo un pistone P, avente sezione S 1 = 25.0 cm^2 , tiene in
equilibrio il fluido, agendo sulla sommità di una colonna di
fluido alta h = 3.00 m. Calcolare la massa del pistone P.
Tale sistema fisico assomiglia ad un torchio idraulico e si trova in equilibrio perché la pressione esercitata dal cilindro
C sul fluido è uguale alla pressione determinata dal pistone P e dalla colonna di fluido
di altezza h. Si realizza quindi un equilibrio di pressioni che si può scrivere come
segue:
1 2
m P g g h mC g
S S
ρ
In tale relazione l’incognita è la massa del pistone.
La pressione idrostatica della colonna di liquido vale:
h
fango
ppetrolio
h
C
P
una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della
pliquido = ρ⋅ g ⋅ h = 800 ⋅ 9.81 ⋅ 3.00 =23544 Pa
La pressione dovuta al peso del cilindro vale invece:
2
327000 Pa
cilindro
p mC^ g
S
Imponendo l’uguaglianza delle pressioni si ha:
1
P cilindro liquido
m g
p p
S
e quindi:
( ) (^ )^
4
1 327000 23544 25 10 77.3 kg
P cilindro liquido
S
m p p
g
⋅^ −
ESERCIZIO N. 6
Si deve sollevare un’automobile di massa m A = 1200 kg con un torchio idraulico,
poggiandola su una piattaforma di superficie
5.00 m^2
S A = , avendo a disposizione un
pistone di superficie S P = 3.50 dm^2 ,
calcolare quale è la minima forza da applicare sul pistone per poter sollevare l’automobile.
Il principio di funzionamento di un torchio
idraulico si basa sul principio di Pascal, secondo il quale una pressione applicata sul
pistone mobile si propaga inalterata anche alla piattaforma su cui poggia il veicolo. Il
fatto che le pressioni debbano quindi essere uguali, fa sì che coincidano anche i
rapporti F S , ovvero si eguagliano i prodotti:
F pistone S pistone = Fauto Sauto
Pertanto, da tale ultima uguaglianza si avrà che:
auto pistone pistone auto
F
F S
S
Se m 2 s
Fauto = mauto ⋅ g = 1200 kg ⋅9.81 = 11772 N, si ha:
2 2
11772 N
0.035 m 82.4 N
5.00 m
auto pistone pistone auto
F
F S
S
Questa forza è molto più piccola di quella dovuta al peso dell’auto e può essere
prodotta, per esempio, appoggiando sulla superficie del pistone una piccola massa
pari a m = 8.40 kg.
una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della
3 3
12492 kg m
C
g
m P
V V
ρ = = −
Ricordando che per densità relativa si intende il rapporto fra la densità del corpo stesso
e quella dell’acqua, ossia:
C r A
ρ ρ ρ
Nel nostro caso si ottiene:
C r A
ρ ρ ρ
Occorre notare che la densità relativa è adimensionale, visto che è il rapporto fra due
grandezze identiche.
ESERCIZIO N. 9
Un acquario è posto sopra un dinamometro che misura un
peso P = 392.40 N. Si introducono cinque pesciolini
rossi, ciascuno di volume pari a V = 5.00 cm^3. Quale
valore del peso fornirà il dinamometro dopo l’immersione dei pesciolini?
Ogni pesciolino si trova mediamente in quiete rispetto al’acqua presente nell’acquario,
quindi la sua densità media sarà pari a quella dell’acqua.
La massa complessiva dei pesciolini sarà dunque pari a:
5 2.50 10 2 kg
mP ρ (^) A V
e il loro peso totale è
PP = mP ⋅ g = 0.25 N
La bilancia misura dunque un peso totale pari a:
PT = P + PP = 392.65 N
GALLEGGIAMENTO E VOLUME IMMERSO
ESERCIZIO N. 10
Una cassa galleggia sulla superficie del mare ( ρ (^) A = 1030 kg m^3 ), affondando per 1 3 del proprio volume. Calcolare la densità della sostanza di cui è fatta la cassa.
Nella situazione rappresentata in figura, la spinta di Archimede è pari (in modulo) al
peso del corpo, possiamo quindi scrivere:
S A = ρ A ⋅ g V · i
P = ρ C ⋅ g V ·
S A = P ⇒ ρ A ⋅ g V · i = ρ C ⋅ g V ·
una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della
Sviluppando l’ultima equazione si ottiene:
1
3 1030 343.3 kg/m 3
i A C A A
V^ V
V V
ρ ρ = ρ ⋅ = ρ ⋅ = = =
ESERCIZIO N. 11
Un iceberg, la cui forma può essere approssimata
ad un cono di altezza h = 50 me raggio di base
r = 12 m, galleggia sulla superficie del mare
( ρ (^) A = 1030 kg m^3 ). Calcolare il volume della parte emersa, sapendo che la densità del ghiaccio è ρ G = 920 kg m^3.
L’iceberg galleggia, quindi vale la condizione di galleggiamento già vista:
S A = P ⇒ ρ A ⋅ g V · i = ρ G ⋅ g V ·
Il volume immerso sarà pertanto dato da:
2
· 920 12 50 6735 m^3
G i A
V V
ρ π ρ
da cui si ottiene
2
1 · 1 920 12 50 805 m^3
G e i A
V V V V
ρ π ρ
^ ⋅^ ⋅
ESERCIZIO N. 12
In un pezzo di legno (densità ρ (^) L = 0.50 g cm^3 )
di massa mP = 800 gsi pratica un foro di volume
3
V 1 = 200 cm , riempiendolo successivamente di
piombo (densità ρ (^) Pb = 11.34 g cm^3 ). In acqua il corpo galleggia o affonda?
Il volume del solido intero vale:
800 1600 cm 3 1.60 10 3 m 3
tot L
m
V
ρ
= = = = ⋅^ −
Il volume della cavità vale V 1 = 200 cm^3 , quindi il volume netto del legno sarà:
3 3 3
VL Vtot V 1 1400 cm 1.40 10 m
La massa del piombo che riempie la cavità vale:
3 3 mPb = ρ Pb ⋅ V 1 = 200 cm ⋅ 11.34 g cm = 2268 g =2.268 kg
mentre la massa del legno residuo è:
0.50 g cm^3 1400 cm^3 700 g 0.70 kg
mL = ρ L ⋅ VL = ⋅ = =
La forza peso complessiva è data da:
P = ( m (^) Pb + m (^) L ) ⋅ g = 2.968 kg ⋅ 9.81 m s 2 =29.12 N
una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla. La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della
densità è maggiore di quella del liquido in cui è immerso.
Ricordando che
m
V
ρ
= , si ha:
5.00 5.62 10 4 m 3
Cu Cu
m
V
ρ
= = = ⋅^ −
La spinta di Archimede agente sul cilindro è pari a:
S (^) A tot , = ρ A ⋅ g V · (^) Cu =5.51 N
La tensione nel filo vale allora:
T 1 = P − SA tot , = 49.05 N − 5.51 N =43.54 N
Se poi il volume immerso è fosse pari alla metà di quello totale, la spinta si ridurrebbe
anch’essa alla metà. Si avrebbe pertanto:
,
2 46.30 N
S A tot
T = P − =
