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SOLUZIONE ESERCIZI DI IDROSTATICA
- La saracinesca R è chiusa e l’acqua nel tubo e nel serbatoio è in quiete, le dimensioni del serbatoio sono a=6.00 m e b=3.00 m, il dislivello che segna il manometro a mercurio è Δ=0.90 m. Considerando F 0 6 7acqua = 10000 N/m^3 e F 0 6 7mercurio = 136000 N/m^3 , determinare: a) l’indicazione n’ del manometro metallico M in kPa e in bar il volume d’acqua V immagazzinato nel serbatoio. b) I diagrammi delle pressioni sulle pareti AB e BC e la spinta sulla parete ABC in modulo e retta d’azione. c) Verificare i componenti orizzontale e verticale della spinta
SOLUZIONE
a) Il “piano dei carichi idrostatici relativi” (p.c.i.r.) del sistema coincide con il livello del pelo libero dell’acqua all’interno del serbatoio, quindi a partire da questo livello è possibile disegnare il diagramma delle presioni :
Dalla lettura del manometro liquido è possibile ricavare il valore della pressione in corrispondenza del piano α−α' (nel menisco formato nella superficie di contatto fra acqua e mercurio) imponendo la uguaglianza del valore della pressione su questa superficie
il valore di pressione che indica il manometro metallico, sarà quindi:
Riportando il diagramma delle pressioni sulle pareti come diagrammi di carico si ha:
Considerando la geometria h 1 =3.64 m, è possibile quindi calcolare il modulo della spinta su ogni parete:
Le rette d’azione delle spinte passeranno rispettivamente dal centro do spinta cs (^) AB e cs (^) BC calcolate con l’espressione che definisce la posizione del centro di spinta F 0 7 8rispetto alla retta di sponda come:
Si ha quindi:
La risultante della spinta sulla parete ABC sarà la somma vettoriale delle spinte : di cui il modulo e:
l’inclinazione della retta d’azione di rispetto l’orizzontale è:
La retta d’azione della spinta risultante passerà dal centro di spinta cs (^) o. Applicando il teorema di Varignon (il momento della risultante delle forze è uguale alla somma dei momenti delle singole forze) rispetto al punto A si ha:
c) La componente orizzontale S (^) o della risultante della spinta può essere valutata come la spinta sulla superficie rettangolare AC mentre la componente verticale S (^) v corrisponde al peso del acqua contenuta nel volume ABCA:
Si dimostra che i valori ottenuto corrispondono alla somma delle componenti verticali e orizzontali delle singole spinte che agiscono sulle pareti AB e BC.
SOLUZIONE :
La spinta sulla paratoia e l’affondamento del centro di spinta sono [figura (a)]:
- Nella figura (b) del problema 5. considerare che l’asse di rotazione della paratoia (d = 6cm) sia orizzontale, trascurando l’attrito determinare la forza necessaria per mantenere la paratoia chiusa. SOLUZIONE : La spinta sulla paratoia e l’affondamento del centro di spinta sono:
- Calcolare le componenti orizzontale e verticale della spinta che agisce sulla paratoia cilindrica della figura: R = 1.96 m; L=3.28 m; F 0 6 7= 10300 N/m^3
La componente orizzontale F 0 5 0o è pari alla spinta sulla proiezione della superficie a-b su un piano verticale, perciò è diretta verso destra e il suo centro di spinta si trova alla distanza al di sotto della linea di sponda, mentre la componente verticale F 0 5 0v , è pari al peso, cambiato di segno, del volume liquido fittizio che sarebbe compresso fra la paratoia a-b, il piano dei carichi idrostatici e i tre piani verticali condotti per il contorno della paratoia (come può determinarsi applicando a tale volume fittizio l’equazione globale dell’idrostatica):
- Un serbatoio di benzina (ρ = 720 kg/m^3 ) è chiuso mediante una calotta emisferica di raggio R=1.2m. Il manometro metallico posto a h=1.5 m di profondità rispetto alla base del coperchio segna -0.56 bar. Calcolare la forza che agisce sull’anello di chiusura della calotta (cioè la spinta sulla calotta)
SOLUZIONE
Tenendo conto della lettura del manometro, il valore della pressione p 1 a livello della base della calotta è:
Applicando ora l’equazione globale dell’idrostatica al volume W di benzina contenuto nella calotta e denotando con S la spinta esercitata dalla calotta sulla benzina e con Π 1 quella esercitata dalla benzina sottostante il volume W:
- Una zattera prismatica di base rettangolare (a=9m, b=24m) e altezza d=2.4m, carica pesa 500 kN, determinare a) l’affondamento in navigazione fluviale (ρ =1000 kg/m 3 ) e quando naviga in mare (ρ= kg/m^3 ) b) il peso massimo che può trasportare in acqua dolce, supponendo che il peso proprio sia trascurabile.
- Un recipiente cilindrico vuoto è introdotto capovolto in acqua fino a una profondità E come nella figura, dati h=30cm ed E=50cm, determinare la forza F necessaria per mantenerlo in questa posizione trascurando il peso proprio del cilindro.
SOLUZIONE
Poiché il cilindro è in equilibrio sotto l’azione della forza applicata e della spinta esercitata dall’aria compressa sul fondo, applicando la prima equazione cardinale di equilibrio:
ossia in modulo: con p = pressione dell’aria all’interno del cilindro. Applicando la equazione di stato al volume d’aria compresso all’interno del cilindro e considerando che la trasformazione subita sia di tipo isotermo, risulta:
quindi: (a)
