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a.
b.
c.
d.
a. Sì, è un modello di regressione lineare multipla. Ponendo e
si ottiene.
b. No, non è un modello di regressione lineare multipla ma utilizzando la trasfor-
mazione logaritmica si ottiene e quindi con
e si ottiene il modello di regressione lineare.
c. No, non è un modello di regressione lineare multipla.
d. No, non è un modello di regressione lineare multipla ma utilizzando la trasfor-
mazione inversa si ottiene e ponendo
si ottiene il modello di regressione lineare.
a. Dal coefficiente di regressione stimato possiamo dire che aumenta mediamente
di 0,885.
b. Considerando la colonna corrispondente al p-value tutte e tre le variabili espli-
cative possiedono un coefficiente di regressione significativamente diverso da
zero.
c. No, infatti il valore può rientrare tra 0,595 e 1,175.
d. Il coefficiente di determinazione multiplo è pari a 0,292, quindi solo il 30% della
variabilità totale è spiegata dal modello di regressione. La bontà di adattamento
del modello non è molto elevata.
x^ (^) i 2 =log xi 2 x (^) i 3 = xi^22
Y (^) i = (^) 0 + 1 (^) x (^) i 1 + (^) 2 x (^) i 2 + 3 (^) xi ^3 + i
Y (^) i^ =log Yi Y (^) i = 0 (^) + 1 x (^) i 1 + (^) 2 x (^) i^2 2 +log i
x^ (^) i 2 = xi^22 (^) i ^ = log i
Y i^ = Yi ^1 Y i = 1 + exp( 0 + 1 xi 1 + i )
Y (^) i = log (^) ( Yi (^1) )
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
X
11 12 11 12
21 22 21 22
31 32 31 32
41 42 41 42
x x
x x
x x
x x
X
11 12
21 22
31 32
41 42
0
1
2
x x
x x
x x
x x
X
11 12
21 22
31 32
41 42
0
1
2
0
1
2
3
x x x
x x x
x x x
x x x
X
11 12 12
2
21 22 22
2
31 32 32
2
41 42 42
2
0
1
2
3
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI CAPITOLO 18
e. Guardando al valore della statistica e al corrispondente valore del p-value pos-
siamo rifiutare l’ipotesi nulla.
f. Dai valori del tutti inferiori a 2 possiamo concludere che non vi è presenza
di multicollinearità.
a. Sono significativamente diversi da zero i coefficienti delle variabili CV e Peso.
b. No, infatti il valore può rientrare tra 0,02 e 0,01.
c. Il coefficiente di determinazione multiplo è pari a 0,704, quindi circa il 70% della
variabilità totale è spiegata dal modello di regressione. La bontà di adattamento
del modello è piuttosto elevata.
d. Guardando al valore della statistica e al corrispondente valore del p-value pos-
siamo rifiutare l’ipotesi nulla.
e. Dai valori del tutti superiori a 2 possiamo concludere che vi è presenza di
multicollinearità.
a. No, infatti, sia il coefficiente di determinazione multiplo sia quello corretto sono
praticamente uguali a quello del modello completo.
b. Sì, infatti, il valore del test è pari a
inferiore a 3,019, pertanto non si può rifiutare l’ipotesi nulla.
a. Sì, poiché il segno negativo del coefficiente indica una relazione inversa tra Tasso
percentuale di disoccupazione e Spesa per consumi.
b. Sì, infatti il valore del p-value non è inferiore a 0,01.
c. Sì, poiché il coefficiente di determinazione multiplo è pari a 0,937.
d. Il valore previsto dal modello è
e..
f. Si ha.
g. Sì, possiamo rifiutare l’ipotesi nulla. Il modello lineare con le due variabili espli-
cative riesce a spiegare in modo significativo la variabilità della variabile dipen-
dente.
h. Le due variabili presentano entrambe un livello del VIF inferiore a 2 indicando
assenza di multicollinearità.
F
F
F
VIF
VIF
F
F 7.015,8 6.985,3 2 6.985,3 386=
y ˆ = 11.478,921 + ( 0,065 249.973 ) +( 161,084 5,6 ) =3.859,
2 Soluzione agli esercizi
a. La seguente tabella riporta la stima del modello di regressione:
4 Soluzione agli esercizi
Coefficienti a
Modello
Coefficienti non
standardizzati
Coeffi-
cienti
standardiz-
zati
t Sig.
Intervallo di
confidenza per B al 95%
Statistiche
di collinearità
B
Errore
std. Beta
Limite
inferiore
Limite
superiore
Tolle-
ranza VIF
1 (Costante) 90,622 4,356 20,806 ,000 81,780 99,
Logaritmo
del numero medio
di persone per TV
6,713 1,360 ,585 4,936 ,000 9,475 3,952 ,433 2,
Logaritmo
del numero di
persone per medico
5,201 1,721 ,358 3,022 ,005 8,695 1,707 ,433 2,
a (^) Variabile dipendente: Aspettativa di vita.
b. La seguente tabella riporta gli indici di bontà di adattamento del modello:
dai valori mostrati dall’ R^2 possiamo considerare l’adattamento soddisfacente visto
che il modello spiega circa il 79% della variabilità complessiva.
c. Di seguito viene riportata la tabella ANOVA:
dal valore della statistica test F e della sua significatività possiamo concludere
che il modello di regressione nel suo complesso è significativo.
d. Dalla tabella del punto a_._ , tutti i coefficienti di regressione risultano significati-
vamente diversi da zero. Entrambe le variabili possiedono una relazione inversa
con l’ Aspettativa di vita , come mostrato dal segno negativo dei coefficienti. Dalla
colonna dei coefficienti standardizzati si evince che il Logaritmo del numero me-
dio di persone per TV risulta essere più influente nella variazione del Reddito.
e. I valori del VIF sono piuttosto elevati (superiori a 2), pertanto vi è presenza di
multicollinearità.
f. Dalla seguente tabella si può osservare che nessuno dei residui standardizzati su-
pera, in valore assoluto, 3 volte la deviazione standard, pertanto si può ritenere
che non vi siano valori anomali.
Riepilogo per modello
Modello R R^2
R^2
corretto
Errore std.
della stima
1 ,887 ,787 ,775 3,
ANOVA
Modello
Somma dei
quadrati df
Media dei
quadrati F Sig.
1 Regressione 1.772,256 2 886,128 64,598 ,
Residuo 480,113 35 13,
Totale 2.252,368 37
Capitolo 20 5
g. Il seguente grafico mostra il diagramma di dispersione tra i residui standardizzati
e i valori predetti standardizzati. Dall’andamento dei punti possiamo ritenere che
valga l’ipotesi di omoschedasticità.
a. La seguente tabella riporta la stima del modello di regressione:
Statistiche dei residui
Minimo Massimo Media
Deviazione
std. N
Valore atteso 48,746 76,301 67,763 6,9209 38
Residuo 7,717 5,855 ,000 3,6022 38
Valore atteso std. 2,748 1,234 ,000 1,000 38
Residuo std. 2,084 1,581 ,000 ,973 38
–3 –2 –1 0 1 2
2
1
0
Coefficienti a
Modello
Coefficienti non
standardizzati
Coeffi-
cienti
standardiz-
zati
t Sig.
Intervallo di
confidenza per B
al 95%
Statistiche
di collinearità
B
Errore
std. Beta
Limite
inferiore
Limite
superiore
Tolle -
ranza VIF
1 (Costante) (^) 2,223 ,553 (^) 4,016 ,001 (^) 3,370 1,
Monossido
di Carbonio (mg)
,446 ,110 ,373 4,067 ,001 ,219 ,673 ,143 7,
Nicotina (mg) 10,101 1,468 ,631 6,882 ,000 7,057 13,145 ,143 7,
a (^) Variabile dipendente: Catrame (mg).
si può osservare che entrambi i coefficienti risultano significativi e di segno po-
sitivo indicando una relazione diretta con il Catrame. Anche l’adattamento del
modello è quasi perfetto, come si evince dalla seguente tabella:
Capitolo 20 7
a. La seguente tabella riporta la stima del modello di regressione:
b. La seguente tabella riporta le statistiche di bontà di adattamento:
Dal valore dell’ R
2 circa il 70% della variabilità è spiegata dal modello, pertanto
l’adattamento si può ritenere soddisfacente.
c. Il valore della statistica test F e della sua significatività mostrano che il modello
è significativo nel suo complesso.
d. Sulla base della tabella al punto a, i coefficienti del modello risultano tutti signi-
ficativi indicando un rapporto diretto tra le variabili esplicative e la variabile di-
pendente. La Categoria lavorativa sembra avere più influenza sulla variabile di-
pendente Stipendio attuale.
e. Dalla tabella seguente risultano diversi casi il cui residuo standardizzato supera
di tre volte la deviazione standard.
Riepilogo per modello
Modello R R^2
R^2
corretto
Errore std.
della stima
1 ,837 a^ ,700 ,699 9.369,
a (^) Stimatori: (costante), Categoria lavorativa , Annualità scolastiche.
ANOVA
Modello
Somma dei
quadrati df
Media dei
quadrati F Sig.
1 Regressione 96.571.426.150.224 2 48.285.713.075.112 550,067 ,000 a
Residuo 41.345.069.286.116 471 87.781.463.
Totale 137.916.495.436.340 473
a (^) Stimatori: (costante), Nicotina (mg), Monossido di carbonio (mg).
Coefficienti a
Modello
Coefficienti non
standardizzati
Coeffi-
cienti
standardiz-
zati
t Sig.
Intervallo di
confidenza per B
al 95%
Statistiche
di collinearità
B
Errore
std. Beta
Limite
inferiore
Limite
superiore
Tolle -
ranza VIF
1 (Costante) (^) 12.423,793 2.080,476 (^) 5,972 ,000 (^) 16.511,956 8.335,
Annualità
scolastiche
2.088,651 174,070 ,353 11,999 ,000 1.746,602 2.430,700 ,736 1,
Categoria
lavorativa
13.223,960 649,461 ,599 20,361 ,000 11.947,762 14.500,159 ,736 1,
a (^) Variabile dipendente: Stipendio attuale (000).
f. Il seguente grafico di dispersione mostra che i residui standardizzati hanno un
andamento casuale intorno all’origine; a eccezione di alcuni casi, la forma della
nuvola di punti sembra indicare l’omoschedasticità dei residui.
Diagnostiche per casi
Numero di caso
Residuo
std.
Stipendio
attuale ( 000)
Valore
atteso Residuo
18 4.598 103.750 60.666,50 43.083,
29 7.265 135.000 66.932,46 68.067,
32 4.663 110.625 66.932,46 43.692,
103 3.209 97.000 66.932,46 30.067,
218 5.109 80.000 32.129,93 47.870,
272 3.040 66.875 38.395,89 28.479,
343 4.572 103.500 60.666,50 42.833,
446 4.198 100.000 60.666,50 39.333,
-2 -1 0 1 2 3
8
6
4
2
0
8 Soluzione agli esercizi
Quindi la stima puntuale di è
b. Con si ottiene e quindi un intervallo di credibilità HPD per
la media
La distribuzione a posteriori è una Normale. Pertanto, poiché è una funzione di den-
sità simmetrica, moda, mediana e media aritmetica coincidono e valgono in questo
caso 80,08. Considerando, per esempio, una popolazione iniziale distribuita come
una Poisson e una distribuzione a priori di tipo Gamma, si otterrebbe una distribu-
zione a posteriori ancora di tipo Gamma, non necessariamente simmetrica, e quindi
con media, mediana e moda con valori fra loro diversi.
Considerando che lo stimatore è dato da una media ponderata tra l’informazione
campionaria e quella a priori, del tipo: con peso
si vuole fissare. Perciò
e quindi , da cui , quindi.
Dal problema si ha: e.
a. La distribuzione a posteriori è
da cui.
b. La distribuzione a posteriori è
da cui.
1 =0,99 z (^) 2 =2,
80,08 2,58 1 6,25 1 400 22,7 2, 48
1
^ = px + (1 p )
( )
( )
p
n
n
2
2
2
p 0,
( )
+( )
n
n
2
2
2
(^ ^ )
n
2 2
( ) n
2
n =
2
n = 30 x = 6
x
n
i i
h ( x (^) ) = Gamma (^) ( x (^) i ; n (^) )= Gamma ( 180; 30) i
= = = =
x
n
ˆ (^) x
i i
^ =
h ( | x ) = Gamma ( (^) (^) ix (^) i + ; + n ) = Gamma ( 6 30 + 5; 1 + 30 ) = Gamma ( 185; 31)
10 Soluzione agli esercizi
a. La verosimiglianza sotto l’ipotesi nulla è data da
Poiché l’ipotesi alternativa è composta, si deve considerare al denominatore del
fattore di Bayes la verosimiglianza media data da:
Ricordando che si ha:
La probabilità a posteriori dell’ipotesi nulla è dunque:
in cui.
b. Il fattore di Bayes è dato da:
c. Il valore del fattore di Bayes è inferiore a 1, pertanto si rifiuta l’ipotesi nulla.
Poiché si vuole
allora
e quindi
Sostituendo i valori delle varianze si ottiene:
Per ottenere una varianza non superiore a 0,1 si riapplica lo stesso procedimento ot-
tenendo:
( n + 1 ) = n!
c = L ( 0 | , x H 0 ) P H ( 0 ) + L ( | , x H 1 ) P H ( 1 )
B H , H = =
45 55
n
2 2 2
1
n
2 2
n 1
2
2
n (^1) =
n (^10) =
L | , x H 0,3 0,7 0,3 0, i xi^ n^ ix^ i^45 0 0
( (^ ^ ))^
Av L | , x H =
1
( ( ))
Av L H
n
n
| , x
x x 1
i (^) i ii
h (^) = c
| x
45 55 0
Capitolo 21 11
