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Formulario completo "Statica" - Prof. L. Martinelli, Formulari di Statica

Politecnico di Milano (POLIMI)Statica

Prof. Luca Martinelli

Formulario e appunti di tutto il corso diviso per lezioni e correlato da immagini del corso di Statica tenuto dal prof. L. Martinelli

Tipologia: Formulari

2020/2021

In vendita dal 09/09/2024

iacopo-demartini 🇮🇹

7 documenti

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STATICA

L’OGGETTO DELLA MATERIA: LO SCHELETRO

• ogni struttura possiede uno scheletro = la struttura portante di ogni edificio

• può essere:

• enfatizzato se è in vista

• nascosto se è coperto da altri elementi

• ha la funzione di ricevere i carichi e di scaricarli a terra attraverso le fondazioni

• garantisce:

• rigidezza = conservazione della forma

• stabilità = assenza di movimento

• resistenza = evita la rottura dello scheletro

• presenza di una gerarchia tra gli elementi strutturali ( travi, pilastri, solette ...)

• le azioni interne hanno la capacità di dare forma agli elementi strutturali, a seconda delle forze

presenti ( trazione, taglio, flessione ...) gli elementi strutturali devono avere giusta la giusta

configurazione

lezione 14/09/2020

scheletro nascosto scheletro enfatizzato

Scopri Formulari di Statica Politecnico di Milano (POLIMI)

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STATICA ESERCITAZIONE

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Scarica Formulario completo "Statica" - Prof. L. Martinelli e più Formulari in PDF di Statica solo su Docsity!

STATICA

L’OGGETTO DELLA MATERIA: LO SCHELETRO

ogni struttura possiede uno scheletro = la struttura portante di ogni edificio
può essere:
- enfatizzato se è in vista
- nascosto se è coperto da altri elementi
ha la funzione di ricevere i carichi e di scaricarli a terra attraverso le fondazioni
garantisce:
- rigidezza = conservazione della forma
- stabilità = assenza di movimento
- resistenza = evita la rottura dello scheletro
presenza di una gerarchia tra gli elementi strutturali ( travi, pilastri, solette ...)
le azioni interne hanno la capacità di dare forma agli elementi strutturali, a seconda delle forze presenti ( trazione, taglio, flessione ...) gli elementi strutturali devono avere giusta la giusta configurazione

scheletro nascosto scheletro enfatizzato

LA STRUTTURA

è composta da diverse parti che attraverso la forma, la posizioine e i collegamenti tra le varie parti ne determinano la sua forma
è un sistema che trasferisce i carichi a terra.
noi le studieremo SOLO per quanto riguarda il loro equilibrio
gli elementi strutturali li possiamo classificare in base a:
- geometria
  - elementi lineari (travi, pilastri), trasmissione carico monodomensionale
  - elementi di superficie (piani, curve), trasmissione carico bidimensionale
  - elementi di volume (plinti)
- rigidezza
  - elementi rigidi
  - elementi deformabili
NON deve muoversi durante tutte le sollecitazioni del mondo esterno a cui è costantemente sottoposta
la si può descrivere attraverso un modello matematico caratterizzato dall’interazione delle varie forze
ci concentreremo sulla statica: condizione per cui per un corpo non si ha alcun tipo di moto

I VETTORI E LE LORO CARATTERISTICHE

rappresentato da una freccia che ne determina la sua direzione
la lunghezza del vettore dal punto di vista grafico è dirattamente proporzionale alla sua intensi- tà (modulomodulo)
• retta d’azioneretta d’azione = retta identificata dal prolungamento del vettore
generalmente rappresentato con una lettera maiuscola (metodo usato dal prof), es: VV
• modulo di un vettoremodulo di un vettore = identifica l’intensità del vettore es: | VV |
• vettori ugualivettori uguali = se sono esattamente sovrapponiubili tra loro tramite una banale traslazione
• vettori oppostivettori opposti = vettori uguali MA con direzione opposta es: VV ee -V-V

LA SOMMA TRA DUE VETTORI

definita come regola del parallelogrammaregola del parallelogramma
fondamentale per trovare la risultanterisultante = il vettore somma es:= il vettore somma es: R = FR = F 11 + F+ F 22
il vettore somma rappresenta i lato di chiusura della poligonale orientato sempre dal primo vet- tore verso l’ultimo. NB: se la poligoanale risulta nulla allora sarà nulla anche la somma. ESEMPIO DI SOMMA TRA VETTORI: si supponga che, a partire da un punto O, un’automobile percorra 3 km verso Nord, quindi 2 km verso Nord–Est. risoluzione:
Il vettore P-O rappresenta lo spostamento di 3 km verso Nord.
Il vettore Q-P rappresenta lo spostamento verso Nord-Est di 2 km
Lo spostamento complessivo e’ il vettore Q-O, ottenuto ‘’sommando’’ P-O a Q−P modulo di un vettore vettori opposti vettori uguali somma di vettori con regola del prallelogramma

VERSORI E COMPONENTI

• i versorii versori sono vettori che hanno modulo pari a 1,sono vettori che hanno modulo pari a 1, | VV | = 1
- comunicano SOLO una informazione: la direzione
- vengono indicati con lettere minuscole (v)
• ILIL componentecomponente è un vettore trovato grazie alla proiezione del vettoreè un vettore trovato grazie alla proiezione del vettore VV lungo la direzione nlungo la direzione n
• il componente si trova attraverso ilil componente si trova attraverso il PRODOTTO SCALARE PER UN VETTOREPRODOTTO SCALARE PER UN VETTORE (1(1’’^ prodotto)prodotto)
prodotto tra un numero e un vettore
V = v a
V è un vettore dato dalla moltiplicazione tra il versore di V (v) e il suo modulo (a)
• LALA componentecomponente sono i vettori che stanno sull’asse X e Y in cui il vettore originario viene scom- posto ( Fx e Fy)
le componenti si trovano attraverso il PRODOTTO SCALAREPRODOTTO SCALARE (2(2’’^ prodotto)prodotto)
prodotto tra un vettore e un angolo
Fx = F (cos θ) e Fy = F (sen θ)
Fx e Fy sono numeri dati dalla moltiplicazione tra un vettore e l’angolo teta (θ) che è for mato dal vettore F e l’asse X
dalla formula poi si possono trarre le formule inverse per trovare il vettore date le sue componenti. NB se Fx < 0 allora al risultato finale di θ bisogna aggiungere 180° ESEMPIO DI PRODOTTO SCALARE IL componente di un vettore LE componenti dei vettori

MOMENTI PARTICOLARI E TEOREMA DI VARIGNON

• il momento di un sistema di forzeil momento di un sistema di forze equivale alla somma di ogni momento di ogni forza nel siste- ma
• il momento di una coppiail momento di una coppia lo abbiamo quando il sistema di forze è composto da due forze uguali in tutto tranne nella loro direzione che è opposta. In questo caso il momento è il prodotto tra il modulo di una delle due forze e la loro distanza M = F a
• teorema di varignonteorema di varignon = in un sistema di forze la somma dei momenti di ciascuna forza in un sin-

golo punto equivale al momento della risultante del sistema di forze in quel punto

una conseguenza è il fatto che sistemi di forze equipollenti (hanno la stessa risultante) produr- ranno sul corpo gli stessi effetti meccanici

I CARICHI

sono forzeforze date dall’interazione fra corpi
vengono rappresentati attraverso sistemi di forze, l’intesità delle forze prende il nome di “densi- tà di carico”
i carichi, visto che sono forze, vengono rappresentati attraverso i vettori.
si classificano in base a:
- andamento nel tempo (attenzione alla scala di tempo che si sceglie)
  - statici = variano molto lentamente
  - dinamici = variano molto velocemente
- posizione occupata
  - fissi = fermi in un punto
  - dinamici = si muovono su diversi punti
- zona caricata (approfondimento subito dopo)
  - puntuali
  - lineari
  - di superficie PUNTUALIPUNTUALI
si studiano come una singolasingola forza applicata in un puntopunto
nella realtà non esistono ma sono utili nello studio DI SUPERFICIE
carichi distribuiti su una superficiesuperficie
sono spesso il peso degli elementi strutturali ( es: i solai)
sono il punto di partenza per lo studio dei carichi lineari, possono essere scomposti in tanti carichi lineari LINEARI
carichi distribuiti lungo una stesa di caricostesa di carico (idealizzata come una trave e studiata come una linea)
in base alla distribuzione del carico si classificano in
costanti
triangolari
generici carico costante carico triangolare carico generico

GLI EDIFICI E IL LORO SISTEMA STRUTTURALE

gli elementi della struttura possono essere considerati come elementi monodimensionali e rap- presentati mediante linee
la struttura può essere decomposta in strutture piane organizzate nello spazio
• i nodii nodi sono i punti in cui vi è l’intersezione tra le strutture piane (es: pilastro e trave)

GLI ELEMENTI DELL’ANALISI CINEMATICA

• asta a sezione costanteasta a sezione costante = elemento strutturale prismatico con sezione trasversale costante. È schematizzabile con una linea (la sua linea d’asse)
• asta snellaasta snella = la sua lunghezza è di molto maggiore alla sua sezione trasversale
ogni asta in un sistema di riferimento cartesiano (2D) ha 3 gradi di libertàgradi di libertà (si può spostare in tre(si può spostare in tre direzioni differenti):direzioni differenti): - rotazione - traslazione parallella al piano - traslazione ortogonale al piano
• vincolivincoli = formano una struttura stabile collegando le travi tra loro ed eliminando i gradi di libertà= formano una struttura stabile collegando le travi tra loro ed eliminando i gradi di libertà
diverse tipologie di vincoli:
- vincoli esterni = collegano la struttura al sistema di riferimento (es: terreno)
- vincoli interni = collegano gli elemnti della struttura tra loro
VINCOLI ESTERNI - INTERNI
- vincolo triplo = è un incastro, blocca completamente il corpo in cui è connesso, elimina tutti i gradi di libertà
- vincoli doppi = eliminano due dei tre gradi di libertà
  - • cernieracerniera = consente solo la rotazione
  - • pattino | manicottopattino | manicotto = consente solo lo spostamento parallelo | ortogonale
- vincoli singoli = eliminano solamemente uno dei tre gradi di libertà
  - • carrellocarrello = consente sia lo spostamento parallelo che la rotazione elementi monodimensionali i nodi

GRADI DI VINCOLO

vincoli esterni
- • carrellocarrello = GdV = 2n-
- • cerniera =cerniera = GdV = 2n
- • pattino =pattino = GdV = 3n-
vincoli interni
- • carrellocarrello = GdV = 2n-
- • cerniera =cerniera = GdV = 2n-
- • pattino =pattino = GdV = 3n-

IL CIR

il CIR (centro di istantanea rotazione) è l’unico punto del piano a non subire alcun tipo di rotazi- one
tutti i corpi del piano (nel nostro caso aste) possono essere rappresentati attraverso una rotazi- one attorno al CIR
• una struttura NON può muoversi se ha più di un CIRuna struttura NON può muoversi se ha più di un CIR CIR CARRELLO CIR PATTINO CIR CERNIERA

L’ ARCO A TRE CERNIERE: è una particolare struttura composta da 2 aste e 3 cerniere inter- ne
essa è sempre una struttura ipostatica eccezion fatta per il suo caso degenere (le due aste orizzontali sono allineate) - C=12, F=12, CIR=
I CIRCOLI CHIUSI: è una particolare struttura a forma triangolare composta da 3 aste e 3 cer- niere interne, si puo ancorare a terra inserendo tre vincoli esterni (1 cerniera e 1 carrello) - essa è sempre una struttura isostatica e può essere montata una in serie all’altra a for- mare un intero corpo rigido - C=9+3, F=12, CIR= circolo chiuso corpo rigido ancorato con 3 vincoli esterni corpo rigido ancorato con 4 vincoli esterni

L’EQUILIBRIO DEI CORPI RIGIDI

si raggiunge quando tutte le forze in gioco si contrastano, cioè quando non viene generato alcun tipo di moto:
più in generale un sistema è in equilibrio solo se lo sono tutte le sue parti
esistono due tipologie di forze che concorrono all’equilibrio
- forze attive = forze applicate sul corpo derivanti dal mondo esterno (vento, gravità...)
  - sono le forze note in un sistema
- forze vincolari = forze applicate sul corpo derivanti dall’interazione tra il corpo e i suoi vincoli esterni (terreno)
  - sono le forze note incognite, da trovare in un sistema IMPORTANTE: per risolvere staticamente una struttura bisogna prima di tutto trovare le forze vincolari PIU NEL DETTAGLIO:
un corpo è in equilibrio quando le due equazioni vettoriali sono =
- 1. la risultante delle forze = 0
  - identifica la traslazione verticale e orizzontale
  - R=
- 1. il momento delle forze = 0
  - identifica la rotazione intorno ad un punto
  - M=
in un sistema piano, per noi il piano cartesiano (X, Y), la risultante delle forze si scompone in due forze diffrenti, le sue componenti (Rx, Ry)
in sintesi perche ci sia equilibrio le tre equazioni cardinali della statica devono essere =0le tre equazioni cardinali della statica devono essere =
- Rx = 0
- Ry = 0
- M = 0 IMPORTANTE: queste sono le condizioni necessarie e sufficienticondizioni necessarie e sufficienti perche un corpo risulti in equiliperche un corpo risulti in equili brio, se ciò non viene rispettato il corpo NON è in equilibrio.brio, se ciò non viene rispettato il corpo NON è in equilibrio.

ESERCIZI SULL’ANALISI CINEMATICA

2 aste = 6 GdL
4 carrelli a terra = 4 GdV
1 cerniera interna = 2 GdV TOT:
- 6 Gdl
- 6 GdV
struttura ISOSTATICA
analisi CIR:
- esistono 2 CIR differenti ( vedi tratteggiata blu)
struttura NON labile

4 aste = 12 GdL
2 cerniere a terra = 4 GdV
4 cerniera interna = 8 GdV TOT:
- 12 Gdl
- 12 GdV
struttura ISOSTATICA
mi posso ricondurre ad un arco a 3 cerniere
struttura NON labile struttura a cui ci si può ricondurre: arco a tre cerniere struttura a cui ci si può ricondurre: arco a tre cerniere

5 aste = 15 GdL
2 cerniere a terra = 4 GdV
5 cerniera interna = 10 GdV TOT:
- 15 Gdl
- 14 GdV
struttura IPOSTATICA
provo a studiarla separatamente:
- parte viola = arco a tre cerniere
- parte verde = struttura labile ( 9 GDL e 8 GDV)
struttura LABILE

5 aste = 15 GdL
2 incastri a terra = 6 GdV
5 cerniera interna = 10 GdV TOT:
- 15 Gdl
- 16 GdV
struttura IPERSTATICA
se è iperstatica struttura NON labile

3 aste = 9 GdL
2 cerniere a terra = 6 GdV
2 cerniera interna = 4 GdV TOT:
- 9 Gdl
- 10 GdV
struttura IPERSTATICA
se è iperstatica struttura NON labile
la conferma la posso avere scomponendola:
- arco a tre cerniere in rosso
- biella in blu

4 aste = 12 GdL
2 cerniera a terra = 6 GdV
2 cerniera interna = 6 GdV TOT:
- 12 Gdl
- 12 GdV
struttura ISOSTATICA
analisi CIR:
- esiste 1 CIR ( vedi tratteggiata blu)
struttura LABILE

4 aste = 12 GdL
1 incastro a terra = 6 GdV
1 cerniera a terra = 2 GdV
2 cerniera interna = 6 GdV TOT:
- 12 Gdl
- 14 GdV
struttura IPERSTATICA
la posso scomporre in:
- arco a tre cerniere in verde
- struttura statica in rosso
- asta in più che non influisce in blu
struttura NON labile

3 aste = 9 GdL
3 cerniera a terra = 6 GdV
2 cerniera interna = 4 GdV TOT:
- 9 Gdl
- 10 GdV
struttura IPERSTATICA
la posso scomporre in:
- arco a tre cerniere in blu
- un carrello a terra
struttura NON labile

4 aste = 12 GdL
4 cerniera a terra = 8 GdV
2 cerniera interna = 4 GdV TOT:
- 12 Gdl
- 12 GdV
struttura ISOSTATICA
la posso scomporre in:
- 4 bielle in blu che sostituisco con i carrelli
struttura NON labile