Scarica formulario completo statistica e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Statistica solo su Docsity!
n
i=
1 = n
n
i=
i = n(n+1) / 2
n
i=
i² = n(n+1)(2n+1) / 6
(x) = # {u ∈ U : X(u) = x}
distribuzione di frequenza assoluta: (xi, ni) con i=1,…,k
(x) = n x
(x) / n
distribuzione di frequenza relativa: (xi, pi) con i=1,…,k
- densità di frequenza relativa : fi = f x
(x) = pi/ai
- operatore di frequenza relativa: P(•)
- discrete somma delle frequenze relative pi
- continue P(a≤X≤b) = P(a<X<b) = P(a≤X<b) = P(a<X≤b) = ∫
a
b
fx(x) dx
• FUNZIONE DI RIPARTIZIONE :
- discrete Fx(x) = P(X≤x) = P(x1) + P(x2) + … + P(xi)
P(xi) = F(x i
) - F(x
i-
- continue Fx(x) = P(X≤x) = ∫ - ∞
x
fx(t) dt = F(xi) + fi (x-xi)
dF(x) / dx = fi
1)criterio del danno minimo
S = ∑
k
i=
g(xi, c) ni funzione di danno
S’ = ∑
k
i=
g(xi, c) ni / n = ∑
k
i=
g(xi, c) pi funzione di danno globale
• MODA
g(xi, c) = 0 c = x’i
= 1 c ≠ x’i
S’ = ∑
k
i=
pi con i≠k = 1 - pk
- qualitative e quantitative discrete x MO
= max p
-quantitative continue raggruppate in classi classe con max fi e x MO
= x = (x i*
+ x i+
-quantitative continue teoriche fx(x MO
) = max fx(x) e ∂f(x)/∂x = 0
• MEDIANA
g(xi,c) = |xi - c| = xi - c xi ≥ c
F(c) = 1 - F(c) F(c) = 0,
- quantitative discrete F(c) = 0,
-quantitative continue raggruppate in classi classe che contiene F(c) = 0,
[x i
, x
i+
) F(x) = F(xi) + fi(x-xi) = 0,
c = x 0,
= 0,5-F(xi) / fi + xi
-quantitative continue teoriche
- quartile : F(x) = P(X≤xp) = p
- quantitative discrete F(xp) = p
-quantitative continue raggruppate in classi classe che contiene F(xp) = p
[x i
, x
i+
) F(x) = F(xi) + fi(x-xi) = p
xp = p-F(xi) / fi + xi
-quantitative continue teoriche
• MEDIA ARITMETICA
g(xi,c) = (xi - c) >0 se xi = c
<0 se xi ≠ c
S’ = ∑
k
i=
(xi-c)² pi = E [(x-μ)²]
∂S’ / ∂c = 0 c = E(x) = μx = ∑
k
i=
xi pi
k
i=
xi pi
+∞
x f(x) dx
raggruppate in classi μ = ∑
n
i=
xi pi* (con densità costante)
proprietà :
E [(x-μ)²] ≤ E [(x-c)²] perché c = E(x)
E [x-E(x)] = ∑
k
i=
(xi-μ) pi = 0
x1 ≤ μ ≤ xk
E(g(x)) = g [E(x)]
g(x) funzione convessa E(g(x)) ≥ g [E(x)]
g(x) funzione concava E(g(x)) ≤ g [E(x)]
g(x) funzione lineare E(g(x)) = g [E(x)]
(
s)
s
√ E(x
s
) = [E(x
s
)]
1/s
k
i=
xi
s
pi )
1/s
se s=1 media aritmetica (μx)
se s=2 media quadratica (μx
2
se s=3 media cubica (μx
3
se s=-1 media armonica ( μx
-
k
i=
pi/xi)
se s 0 media geometrica ( lim x 0
μx
s
=
∏ xi
pi
2)criterio derivante dalla natura del problema (o media di Chisini )
g(x1, x2, …, xn) = g(M, M, …, M)
- indici di variabilità
range o campo di variazione : R = supSx - infSx
differenza interquantilica: IQ = Q3 - Q1 = x 0,
- x 0,
- variabilità dalla mediana : S ME
= E(|x - ME|)
k
i=
|xi - ME| pi
x
xk
|x - ME| f(x) dx
raggruppate in classi con densità costante S ME
k
i=
|x - ME| pi*
- variabilità dalla media VARIANZA :
V(x) = σx² = E [(x-μx)²] = E [(x-E(x))²] = E(x²) - [E(x)]²
k
i=
(xi - μ)² pi
se y è indipendente in distribuzione da x y è indipendente in media da x
- medie iterate : -di y da x: E(E(y|x)) = E(y)
-di x da y: E(E(x|y)) = E(x)
- MEDIA marginale di una variabile doppia: E(x) = ∑
k
i=
xi pi.
E(y) = ∑
m
j=
yi p.j
- VARIANZA marginale di una variabile doppia: V(x) = σ² x = ∑
k
i=
(xi - μ x) ² pi.
V(y) = σ² y = ∑
m
i=
(yi - μ y) ² p.j
se z = ax + by
E(z) = a E(x) ± b E(y)
V(z) = a ² V(x) + b ² v(y) ± 2ab cov(x,y)
- medie delle distribuzioni condizionate :
-di y da x: E(y|x=xi) = μ y(xi) = ∑
m
j=
yj pij/pi. = ∑
m
j=
yj pj/i
-di x da y: E(x|y=yj) = μ x(yj) = ∑
k
i=
xi pij/p.j = ∑
k
i=
xi pi/j
il cui supporto sono le medie condizionate
- varianza delle distribuzioni condizionate :
-di y da x: V(y|x=xi) = σ² y(xi) = ∑
m
j=
(yj - E(y|x=xi)) ² pij/pi. = ∑
m
j=
yj ² pij/pi. - [E(y|x=xi)] ²
-di x da y: V(x|y=yj) = σ² x(yj) = ∑
k
i=
(xi - E(x|y=yj)) ² pij/p.j = ∑
k
i=
xi ² pij/p.j - [E(x|y=yj)] ²
il cui supporto sono le varianze condizionate
- MOMENTO DOPPIO SEMPLICE di ordine r e s:
z = x
r
y
s
E(z) = E(x
r
y
s
k
i=
m
j=
zij pij = ∑
k
i=
m
j=
(xi
r
yi
s
) pij
- se r=1 e s=0 allora E(z) = E(x)
- se r=0 e s=1 allora E(z) = E(y)
- MOMENTO DOPPIO CENTRATO di ordine r e s:
z = (x- μ x)
r
(y- μ y)
s
E(z) = E[(x- μ x)
r
(y- μ y)
s
] = ∑
k
i=
m
j=
(xi- μ x)
r
(yj- μ y)
s
pij
-se r=2 e s=0 allora E(z) = V(x)
-se r=0 e s=2 allora E(z) = V(y)
-se r=1 e s=1 allora E(z) = σ xy = cov(x,y)
- COVARIANZA : cov(x,y) = σ xy = E[(x- μ x) (y- μ y)] = ∑
k
i=
m
j=
(xi- μ x) (yj- μ y) pij
-se σ xy>0 o ρ =1 variabili concordi (relazione lineare)
-se σ xy<0 o ρ =-1 variabili discordi (relazione lineare inversa)
-se σ xy=0 o ρ =0 variabili incorrelate
proprietà:
se cov(x,y) = σ xy = 0 cov(x,y) = E(x⋅y) - [E(x)⋅E(y)]
se x e y sono indipendenti in distribuzione (x ∐ y) σ xy = 0
se x e y sono indipendenti in media σ xy = 0
|cov(x,y)| ≤ σ x⋅ σ y infatti -1 ≤ ρ = cov(x,y)/ σ x⋅ σ y ≤ 1 (indice di correlazione)
cov(ax, by) = ab cov(x,y)
cov(x+a, y) = cov(x,y)
- funzione di regressione : yj = α ^ + β ^xi (stimato)
E[y-(α+βxi)] = 1/n ∑
n
i=
(yj-α-βxi^) ² { ∂E/∂α = 0
∂E/∂β = 0
α^ = μy - βμx
β^ = cov(x,y)/σ²x
σ² y = ∑
k
i=
m
i=
(yj-yi^) ² pij + ∑
k
i=
m
i=
(yi^- μ y) ² pij
-varianza residua: σ² yr = ∑
k
i=
m
i=
(yj-yi^) ² pij
-varianza spiegata: σ² ys = ∑
k
i=
m
i=
(yi^- μ y) ² pij
indice di determinazione: R ² = σ² ys / σ² y
R ² = ρ²
se R ² =0 pessimo adattamento della retta alla realtà osservata
se R ² =1 perfetto adattamento
PROBABILITÀ
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) ≥ 0
P( Ω ) = 1
P(∅) = 0
se A⊆B allora P(A) ≤ P(B)
P( Ē ) = 1 - P(E)
se A∩B = ∅ allora P(A∪B) = P(A) + P(B)
se A∩B ≠ ∅ allora P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) (regola additiva)
- probabilità condizionata
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
P(A∩B) = P(B|A) P(A) (regola moltiplicativa)
P(A∩B) = P(A|B) P(B)
- indipendenza statistica
P(A∩B) = P(A) P(B)
allora
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
di 3 eventi:
1)P(A∩B) = P(A) P(B)
2)P(A∩C) = P(A) P(C)
3)P(B∩C) = P(B) P(C)
4)P(A∩B∩C) = P(A) P(B) P(C)
VARIABILI CASUALI
p(X=x)
- media :
-discrete E(X) = μ x = ∑
n
x=
xi p(xi)
-continue E(X) = μ x = ∫
- ∞
+∞
xi f(xi)
condizione di normalizzazione: p(x) = ∑
+∞
x=
p(x) = ∑
+∞
x=
λ
x
/x! e⁻
λ
= e
λ
e⁻
λ
media/varianza: E(X) = V(X) = λ
- VS uniforme continua : X ∿ U(a,b) esiti equiprobabili
f(x) = 1/b-a a≤x≤b (con a<b)
condizione di normalizzazione: ∫
a
b
f(x) dx =∫
a
b
1/(b-a) dx = 1/(b-a) ∫
a
b
1 dx = 1/(b-a) x|
a
b
media: E(X) = ∫
a
b
x f(x) dx = ∫
a
b
x 1/(b-a) dx = (a+b)/2 valore centrale dell’intervallo
varianza: V(X) = E(X ² ) - [E(X)] ² = (b-a) ² /
- VS esponenziale negativa : X ∿ exp( θ ) tempo che intercorre tra due occorrenze
f(x) = 1/ θ e ⁻
x/θ
con x≥0 (traslazione in ambito continuo della variabile geometrica: λ = 1/θ):
condizione di normalizzazione: ∫
0
+∞
f(x) dx = ∫
0
+∞
1/θ e⁻
x/θ
dx = -e⁻
x/θ
0
+∞
media: E(X) = θ = 1/ λ
varianza: V(X) = θ² = 1/ λ²
- VS normale (o Gaussiana): X ∿ N( μ , σ² ) altezza, peso, lunghezza
f(x) = 1/ σ√ 2 π ⋅e
-(x-μ)²/2σ²
con -∞<x<+∞
distribuzione normale standard: μ =0 e σ² =
Z = X
STD
= x- μ / σ
f(Z) = 1/ √ 2 π e
-z²/
p(a≤x≤b) = ∫
a
b
fx(x) dx = F(b) - F(a)
P(a-μ/σ ≤ x- μ / σ ≤ b-μ/σ) = P(a-μ/σ ≤ z ≤ b-μ/σ) = F(b- μ / σ ) - F(a- μ / σ )
F(zq) = P(z ≤ zq)
F(-zq) = P(z≤-zq) = P(z ≥ zq) = 1 - P(z ≤ zq)
STATISTICA INTERENZIALE
- media campionaria : X ˉ = ∑
n
i=
xi / n = x1+x2+…+xn / n
-se X∿N( μ , σ² ) allora X ˉ ∿N( μ , σ² /n) per qualsiasi n
-se X≁N( μ , σ² ) allora (x ˉ - μ )/( σ / √ n) ∿ N(0,1) solo se n + ∞ (n≥30)
E(X ˉ ) = E(X) = μ
V(X ˉ ) = E[(x ˉ - μ ) ² ] = V(X)/n = σ² /n
- stimatore : θ ^ = Tn = g (X1,X2,…,Xn) - stima : θ ^ stima = g (X1,X2,…,Xn) - stima puntuale :
- correttezza: E(Tn)= θ ∀θ (es: E[1/n ∑
n
i=
xi
s
] = μs)
- asintotica correttezza: B = E(Tn)- θ 0 (quindi E(Tn)≈θ) quando n + ∞
- consistenza o convergenza in probabilità:
lim n +∞
P(|Tn- θ | < α ) ≥ lim
n +∞
1-E[(Tn- θ ) ² ] / α² = 1
- convergenza o consistenza media quadratica: MSE = E[(Tn- θ ) ² ] = V(Tn)+B ² 0 quando
n + ∞ )
- metodo dei momenti
μ μ ^=x ˉ
σ² σ ^ ² = μ₂ - ( μ ^) ² = E(x ² ) - (x ˉ ) ²
- metodo della massima verosimiglianza
L(x, θ ) = ∏
n
i=
f(xi, θ ) funzione di densità di probabilità congiunta se X continua
L(x, θ ) = ∏
n
i=
p(xi, θ ) funzione di densità di probabilità congiunta se X discreta
stimatore di massima verosimiglianza di θ (SMV):
max L(x, π ) = max ln(L(x, π ))
∂ ln(L(x, π )) / ∂π = 0 π ^ = x ˉ
- stima intervallare : P(L1 < θ < L2) = 1- α
A = l2 - l1 ampiezza dell’intervallo
(1- α ) probabilità che l’intervallo contenga il vero valore del parametro
media campionaria standardizzata: z = x ˉSTD = (xn ˉ - μ )/( σ / √ n) ∿ N(0,1)
estremi dell’intervallo: I.C. (μ, 1-α) = x ˉ ± z 1-α/
σ / √ n
-varianza σ² non nota
varianza campionaria: s ² = 1/n-1 ∑
n
i=
(xi-x ˉ ) ²
t n-1 = (xn ˉ - μ )/(s/ √ n) ∿ t-student con n-1 gradi di libertà
estremi dell’intervallo: I.C. (μ, 1-α) = x ˉ ± t (1-α/2, n-1) s/ √ n
VERIFICA DELLE IPOTESI
α = P(rifiuto H0 | H0 vera) errore di prima specie e livello di significatività del test
β = P(non rifiuto H0 | H1 vera) errore di seconda specie
(1- α ) = P(non rifiuto H0 | H0 vera)
(1- β ) = P(rifiuto H0 | H1 vera) potenza del test
- caso 1 )
H0 ipotesi nulla μ=μ 0
H1 ipotesi alternativa μ=μ1 e μ 1> μ 0
R (regione di rifiuto): X ˉ > Xc
xc = μ 0 + z 1-α
σ / √ n oppure xc = μ 0 + t 1-α
s/ √ n (varianza non nota)
rifiuto H0 se: x ˉ - μ 0 / σ / √ n > z 1-α
1- β = P (zc > xc- μ 1 / σ / √ n)
- caso 2 )
H0 ipotesi nulla μ=μ 0
H1 ipotesi alternativa μ < μ 0
R (regione di rifiuto): X ˉ < Xc
xc = μ 0 - z 1-α
σ / √ n oppure xc = μ 0 - t 1-α
s/ √ n (varianza non nota)
rifiuto H0 se: x ˉ - μ 0 / σ / √ n < -z 1-α
- caso 3 )
H0 ipotesi nulla μ=μ 0
H1 ipotesi alternativa μ=μ1 e μ 1 ≠μ 0
