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Rapporti
Coesistenza α
1
α
2
Composizione α
1
A
Derivazione b
1
α
1
Frequenze
Assoluta n
i
=f
i
∗N
Relativa
f
i
n
i
N
Assoluta
cumulata
N
i
=n
i
i− 1
Relativa
Cumulata
F
i
N
i
N
Valore centrale (
x
i
)
x
i
c
i− 1
−c
i
Densità di frequenza
h
i
n
i
d
i
Ampiezza della classe d
i
=c
i
−c
i− 1
Medie distribuzioni
disaggregate
Aritmetica
μ=
N
i= 1
N
x
i
Armonica
μ
a
N
i= 1
N
x
i
Geometrica
μ
g
N
x
1
∗x
2
∗…∗x
N
=exp
[
N
∑
i= 1
N
ln
x
i
]
Quadratica
μ
q
i= 1
N
x
i
2
N
Medie distribuzioni
di frequenza
Aritmetica
μ=
N
i= 1
N
x
i
n
i
Armonica
μ
a
N
i= 1
N
n
i
x
i
Geometrica
μ
g
=exp
[
N
i= 1
N
n
i
ln
x
i
]
Quadratica
μ
q
i= 1
N
x
i
2
n
i
N
Medie per classi
Aritmetica
μ=
N
i= 1
N
x
i
n
i
Armonica
μ
a
N
i= 1
N
n
x
i
Geometrica
μ
g
=exp
[
N
i= 1
N
n
i
ln
x
i
]
Quadratica
μ
q
i= 1
N
x
i
2
n
i
N
Mediana N = pari y
N
2
N
2
N = dispari y
N+ 1
2
Primo quartile h=intero
q
1
y
n
n+ 1
altro q
1
= y
n+ 1
Terzo quartile
q
3
N
Indici di
variabilità
Distribuzioni
disaggregate
Scostamento semplice
S
μ
i= 1
N
|
x
i
−μ |
N
Scostamento medio/deviazione
σ =
i = 1
N
( x ¿¿ i
2
−μ
2
N
Varianza
σ
2
i= 1
N
x
i
2
−μ
2
N
Devianza
D=
i= 1
N
x
i
−μ
2
Distribuzioni di
frequenza
Scostamento semplice
S
μ
i= 1
N
|
x
i
−μ |
n
i
N
Scostamento medio/deviazione
σ =
i = 1
N
( x
¿ i
2
−μ
2
) n
i
N
Classi Scostamento semplice
S
μ
i= 1
N
|
x
i
−μ
|
n
i
N
Scostamento medio/deviazione
Dipendenza (in
che misura due
variabili sono
associabili)
Tabella di
indipendenza
^
n
ij
n
i 0
∗n
0 j
N
n
i 0
=totale diriga
Misura della
dipendenza
(contingenza)
X
2
i= 1
s
j= 1
t
n
ij
^
n
ij
2
n ^
ij
n
ij
=vari valori riga
^
n
ij
=frequenze teoriche trovate
Indice normalizzato simmetrico di Y da X
C
y
ψ
√
t− 1
Indice normalizzato simmetrico di X da Y
C
y
ψ
√
s− 1
Indice
asimmetrico di
Cramer
C=
ψ
√
min[ ( s− 1 ) ,( t− 1 ) ]
Contingenza
ψ=
n
ij
− n^
ij
^
n
ij
Regressione
(simmetria) (in
che misura X
determina Y o
viceversa)
Lineare
semplice
y=β
0
1
x
Di Y su X ^y
i
=b
0
+b
1
x
i
Distribuzioni
doppie
disaggregate
b
1
i= 1
N
x
i
−μ
x
y
i
−μ
y
i= 1
N
x
i
−μ
x
2
b
0
=μ
y
−b
1
μ
x
Devianza distribuzione marginale
D
x
i= 1
N
x
i
−x
2
D
y
i= 1
N
y
i
− y
2
Indice di determinazione
r
2
[
i= 1
N
( x
1
−x ) ( y
1
− y )
]
2
i= 1
N
x
i
−x
2
i= 1
N
y
i
− y
2
Distribuzioni
doppie di
frequenza
b
1
i= 1
s
j= 1
t
x
i
−μ
x
y
i
−μ
y
n
ij
i= 1
N
x
i
−μ
x
2
n
i 0
b
0
=μ
y
−b
1
μ
x
Devianza distribuzione marginale
D
y
i= 1
N
y
i
− y
2
n
0 j
D
SL
i= 1
s
D
RL
i= 1
s
j= 1
t
Indice di determinazione
r
2
[
i= 1
N
x
1
−x
y
1
− y
n
ij
]
2
i= 1
N
x
i
−x
2
i= 1
N
y
i
− y
2
n
0 j
Correlazione
(coefficiente di
Bravais)
Distribuzioni
disaggregate
r =
i= 1
N
x
i
−x
y
i
− y
√
i= 1
N
( x
i
−x )
2
i= 1
N
( y
i
− y )
2
Distribuzioni di
frequenza
r =
i= 1
N
x
i
−x
y
i
− y
n
ij
√
i= 1
N
x
i
−x
2
i= 1
N
y
i
− y
2
n
0 j
PROBABILITÀ
Interpretazione
classica
(ipotizzando che
tutti i risultati dello
spazio campionario
siano ugualmente
possibili, la
probabilità di un
evento è la
proporzione di volte
che l’evento di
verifica)
P ( A )=
N
A
N
( n ° di casi favorevoli)
n °di casi possibili
N° di permutazioni
semplici
P
x
=x ( x− 1 ) ( x− 2 ) … ( x−k ) =x!
es. P
4
N° di permutazioni
con ripetizione
P
x
n
n!
( n−x )!
es. P
3
7
N° di combinazioni
C
x
n
(
n
x
)
n!
x !( n−x )!
es .C
3
6
Interpretazione frequentista (la
probabilità è il limite della proporzione di volte in
cui l’evento A si verifica in un n° molto elevato di
ripetizione dell’esperimento)
P ( A )=
n ° divolte ∈cui A si è verificato
n ° totale di ripetizione del l
'
esperimento
Interpretazione soggettiva (la P esprime il livello individuale di fiducia del verificarsi di un certo evento)
Esperimento aleatorio
Processo che porta a due o più risultati
Spazio campionario (S)
Insieme degli eventi elementari di un determinato esperimento
casuale
Evento ()
Qualsiasi sottoinsieme di eventi elementari di uno spazio campionario
Certo A=S
Complementare (
A ¿
Insieme di eventi elementari appartenenti ad A, ma non ad A
Intersezione di
eventi
A ∩ B={ x : x ∈ A e x ∈ B }
Mutuamente
esclusivi
A ∩ B= ∅
Unione di eventi
A ∪ B={ x : x ∈ A o x ∈ B}
Collettivamente
esaustivi
A ∪ B=S
Assiomi
1 0 ≤ P ( A ) ≤ 1
2 P ( A )=
A
P
e
i
A
p
i
3 P ( S )= 1
Principio delle quantità totali P ( A ∪ B)=P ( A) +P ( B )
Regola dell’evento complementare P ( A )= 1 −P( A )
Regola additiva delle probabilità P ( A ∩B )=P ( A ) + P ( B) −P( A ∩ B)
P ¿ ¿
P ¿ ¿
Modelli
probalistici
P
a< X <b
(
b+0.5−np
np ( 1 − p)
)
e
(
a−0.5−np
np ( 1 − p)
)
Distribuzione di Poisson
P
x
λ
X
x!
e
−λ
Media o valore atteso: μ= λ
Varianza: Var ( x )=λ
Variabile continua
Distribuzione normale o di Gauss
Z=
x −μ
σ
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA
Media campionaria
X =
i= 1
n
X
i
n
Varianza campionaria
S
2
i = 1
n
E
S
2
=σ
2
Var (S
2
2 σ
4
n− 1
/(n− 1 )S
2
σ
2
Popolazione
normale
Valore atteso della
media campionaria
E ( X ) =μ
Varianza della
media campionaria
Var
X
σ
2
n
Errore standard
della media
campionaria
σ
X
√
σ
2
n
σ
√
n
Standardizzata
Z=
X−μ
σ
√n
μ ± z
α
2
σ
X
Grandi
campioni
Teorema del limite
centrale ( n> 30 )
P ( a< X< b)=
(
b−μ
σ
√n
)
e
(
a−μ
σ
√n
)
Popolazione
normale e
varianza non
nota
Normale
standardizzata (
r =n− 1 gradi di
libertà)
t=
X−μ
S
√
n
Prossima alla
normale
standardizzata
( n> 30 )
Z=
X−μ
S
√n
Valore atteso della
proporzione
campionaria
E ( ^p)= p
Distribuzione
della
proporzione
campionaria
Varianza della
proporzione
campionaria
σ
^p
2
^
p ( 1 −
^
p)
n
Errore standard
della proporzione
campionaria
σ
^p
√
^p( 1 −^p)
n
Standardizzata
Z=
^p−p
√
^
p ( 1 −
^
p)
n
STIMA PUNTUALE DEI PARAMETRI
Previsione dell’errore di stima nella
stima della media
Z
α
2
∗σ
√n
< x −μ <
Z
α
2
∗σ
√n
Previsione dell’errore di stima nella
stima della proporzione
Z
α
2
√
p
1 − p
n
< ^p− p< Z
α
2
√
p
1 − p
n
Intervallo
fiduciario
Media di
popolazioni
normali
P ( μ−d < X < μ+d )=P ( X −d <μ< X + d )= 1 −α
X −
Z
α
2
∗σ
√
n
e X+
Z
α
2
∗σ
√
n
Media di
popolazioni nomali
con varianza non
nota e n> 30
P
(
X−
t
α
2
∗s
√
n
< μ< X +
t
α
2
∗s
√
n
)
= 1 −α
X −
t
α
2
∗s
√
n
e X +
t
α
2
∗s
√
n
Media con
campione n> 30
P
(
X−
Z
α
2
∗s
√
n
< μ< X+
Z
α
2
∗s
√
n
)
= 1 −α
X −
Z
α
2
∗s
√n
e X +
Z
α
2
∗s
√n
VERIFICA DELLE IPOTESI
Ipotesi unilaterale θ=θ
0
θ ≠θ
0
Ipotesi bilaterale θ=θ
0
θ ≠θ
0
θ>θ
0
θ <θ
0
Ipotesi nulla H
0
Ipotesi alternativa H
1
Verifica ipotesi sulla media
di popolazione normale
Test Z
Z=
X−μ
0
σ / √
n
Verifica ipotesi sulla media
di popolazione normale
con varianza non nota
Test t
t=
X−μ
0
S /√n
Verifica ipotesi sulla media
di grandi campioni
Test Z
Z=
X−μ
0
S /
√
n
Verifica ipotesi sulla
proporzione
Test Z
Z=
^p− p
0
√
p
0
( 1 − p
0
n
