Scarica Formulario di Statistica - Esercizi e Formule e più Formulari in PDF di Statistica solo su Docsity!
Formulario di Statistica (Lagona-Cucina)
Corso di Statistica - a.a. 2019/20 (Lagona-Cucina)
May 6, 2020
1 Statistica descrittiva
Media
- per distribuzioni unitarie o serie dati: ¯xn = (^) n^1
∑n i=1 xi
- per distribuzioni di frequenze assolute x¯n = (^1) n
∑k i=1 xini, dove^ ni^ sono le frequenze assolute
- per distribuzioni di frequenze relative ¯xn =
∑k i=1 xifi^ dove^ fi^ sono le frequenze relative Varianza (la deviazione standard sn è la radice della varianza)
- per distribuzioni unitarie: s^2 n = (^) n^1 − 1
∑n i=1(xi^ −^ xn) 2
- per distribuzioni di frequenza: s^2 n = (^) n−^11
∑k i=1(xi^ −^ xn)
(^2) ni
- per distribuzioni di frequenza (relative): s^2 n = (^) nn− 1
∑k i=1(xi^ −^ xn) (^2) fi
Varianza (formula alternativa)
- per distribuzioni unitarie o serie dati: = (^) n−n 1
[ 1
n
∑n i=1 x
2 i −^ (xn)
2 ]
- per distribuzioni di frequenza: = (^) nn− 1
[
1 n
∑k i=1 x
2 i ni^ −^ (xn) 2
]
- per distribuzioni di frequenza (relative): = (^) n−n 1
[∑n i=1 x 2 i fi^ −^ (xn)
2 ]
Mediana
- per distribuzioni di frequenza: x 0. 50 = min(xi) tale che Fi ≥ 0. 5 dove Fi è la frequenza relativa cumulata. Primo Quartile
- per distribuzioni di frequenza: x 0. 25 = min(xi) tale che Fi ≥ 0. 25 dove Fi è la frequenza relativa cumulata.
Terzo Quartile
- per distribuzioni di frequenza: x 0. 75 = min(xi) tale che Fi ≥ 0. 75 dove Fi è la frequenza relativa cumulata.
2 Dipendenza per due variabili qualitative (χ^2 )
Consideriamo una distribuzione di frequenze y 1 y 2 y 3 x 1 n 11 n 12 n 13 n 1 · x 2 n 21 n 22 n 23 n 2 · x 3 n 31 n 32 n 33 n 3 · n· 1 n· 2 n· 3 n
- Y e X sono indipendenti se:
nhk = nh·n·k n
⇔ fhk = fh·f·k ∀h, k
- la statistica Chi Quadrato è data da
χ^2 =
∑^ H
h=
∑^ K
k=
nhk − nh· nn·k
nh·n·k n
- una formula più conveniente è data da
χ^2 = n
( H
h=
∑^ K
k=
n^2 hk nh·n·k
3 Dipendenza per una variabile qualitativa (X) e una quan-
titativa Y (η^2 )
- Ipotizziamo che la variabile qualitativa X abbia K modalità (il campione è suddiviso in K gruppi)
- Determinare la media di un gruppo signi ca calcolare una media condizionata di Y
- Determinare la devianza di un gruppo signi ca calcolare una devianza condizionata di Y
- la devianza totale(la devianza totale si calcola considerando la distribuzione marginale della variabile quantitativa Y)
DT =
(yi − y¯)^2
la devianza within (o residua)
DW =
∑^ n^1
i=
(y 1 i − ¯y 1 )^2 +
∑^ n^2
i=
(y 2 i − y¯ 1 )^2 +...
∑^ nK
i=
(yKi − y¯K )^2
dove y 1 i sono le osservazioni del primo grupppo, y 2 i le osservazioni del secondo gruppo e yKi le osservazioni del K gruppo. la devianza between (o spiegata)
DB = n 1 (¯y 1 − ¯y)^2 + n 2 (¯y 2 − y¯)^2 +... + nK (¯yK − y¯)^2
dove y¯ 1 è la media del primo gruppo, y¯ 2 è la media del secondo gruppo e y¯K è la media del K− gruppo.
- vale la seguente decomposizione DT = DB + DW
- una misura della capacità esplicativa del genere rispetto al punteggio è data dal rapporto di correlazione
η^2 =
DB
DT
DB
DB + DW
- l'indice varia tra 0 (indipendenza in media) e 1 (massima dipendenza in media)
Covarianza
- per distribuzioni doppie unitarie:
sxy =
n − 1
∑^ n
i=
(xi − xn)(yi − yn)
- per distribuzioni doppie unitarie (formula alternativa):
sxy = n n − 1
[
n
∑^ n
i=
xiyi − xnyn
]
6 Regressione
- Stimatori: ˆb = s sxy (^2) x , aˆ = ¯y − ˆb¯x
- Retta di regressione stimata: yˆi = ˆa + ˆbxi
- Residuo stimato o errore: ei = yi − ˆyi
- Decomposizione della varianza:
DT = Devianza Totale =
∑^ n
i=
(yi − ¯y)^2
DReg = Devianza Spiegata =
∑^ n
i=
(ˆyi − y¯)^2
DRes = Devianza Residua =
∑^ n
i=
(yi − yˆi)^2 =
∑^ n
i=
e^2 i
- Intervalli di con denza sui parametri della retta di regressione
(ˆb − tn− 2 , α 2 sˆb; ˆb + tn− 2 , α 2 ˆsb)
(ˆa − tn− 2 , α 2 sˆa; ˆa + tn− 2 , α 2 ˆsa)
- Test delle ipotesi su coef. angolare con H 0 : b = b 0 :
- Statistica test: tb = ˆb− ˆsbb 0 ∼ tn− 2
- Se H 1 : b < b 0 p-value = P (tn− 2 < tb); Ri uto H 0 se tb < −tn− 2 ,α
- Se H 1 : b > b 0 p-value = P (tn− 2 > tb); Ri uto H 0 se tb > tn− 2 ,α
- Se H 1 : b 6 = b 0 p-value = 2P (tn− 2 > |tb|); Ri uto H 0 se tb > tn− 2 ,α/ 2 o tb < −tn− 2 ,α/ 2
- Test delle ipotesi su intercetta con H 0 : a = a 0 :
- Statistica test: ta = ˆa− ˆsaa 0 ∼ tn− 2
- Se H 1 : b < a 0 p-value = P (tn− 2 < ta); Ri uto H 0 se ta < −tn− 2 ,α
- Se H 1 : a > a 0 p-value = P (tn− 2 > ta); Ri uto H 0 se ta > tn− 2 ,α
- Se H 1 : a 6 = a 0 p-value = 2P (tn− 2 > |ta|) Ri uto H 0 se ta > tn− 2 ,α/ 2 o ta < −tn− 2 ,α/ 2
- Coe ciente di determinazione (formule alternative):
R^2 = r xy^2
R^2 = 1 −
Dres DT R^2 = Dreg DT
- Devianza residua e Devianza spiegata (o di regressione) (formule alternative):
Dreg = r xy^2 DT
Dres = (1 − r^2 xy )DT
7 Test Anova per la regressione
ipotesi nulla del test H 0 : b = 0 statistica test: Foss =
Dreg/greg Dres/gres
∼ Fgreg,gres
Dres = Devianza residua Dreg = Devianza spiegata o di regressione indichiamo con greg e gres rispettivamente i gdl (gradi di libertà) della devianza spie- gata e della devianza residua greg = 1 gres = n − 2 D gregreg è la varianza spiegata D gresres è la varianza residua p-value = P (Fgreg ,gres > Foss) regola basata sulla regione di ri uto e accettazione: Ri uto H 0 se Foss > Fgreg ,gres,α
8 Test Anova
- ipotesi nulla H 0 : le medie dei gruppi sono uguali
- Statistica Test: Foss =
DB /gB DW /gW
∼ FgB ,gW
- gb sono i gradi di libertà della devianza between ed è pari a K − 1 , dove K indica il numero di modalità della variabili qualitativa
- gW sono i gradi di libertà della devianza within ed è pari n − K, dove n indica l'ampiezza del campione
- con FgB ,gW inchiamo la distribuzione della variabile aleatoria F di Fisher con gB e gW gradi di libertà
- D gBB rappresenta la varianza between (numeratore di Foss)
- D gWW rappresenta la varianza within (denominatore di Foss)
- p-value = P (FgB ,gW > Foss)
- regola basata sulla regione di ri uto e accettazione: Ri uto H 0 se Foss > FgB ,gW ,α
9 Test di indipendenza del χ^2
- ipotesi nulla H 0 : X e Y sono indipendenti
- la statistica test
χ^2 oss =
∑^ H
h=
∑^ K
k=
nhk − nh· nn·k
nh·n·k n
∼ χ^2 (H−1)∗(K−1)
- gradi di libertà: gl = (H − 1) ∗ (K − 1) dove H sono il numero di modalità del carattere X e K il numero di modalità del carattere Y
- p-value =P (χ^2 (H−1)∗(K−1) > χ^2 oss)
- regola basata sulla regione di ri uto e accettazione: Ri uto H 0 se χ^2 oss > χ^2 (H−1)∗(K−1),α
