Scarica formulario geometria (esame algebra e geometria) e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity!
PIANO NELLO SPAZIO
Nello spazio un unico piano passa per tre punti non allineati. Tre punti sono allineati se le loro componenti sono proporzionali. Calcolo di vettori tra due punti P e Q: PQ = componenti di Q meno le componenti di P.
RAPPRESENTAZIONE PARAMETRICA PER IL PIANO
dove e Il rapporto tra le componenti di PQ e PR non devono essere proporzionali. ➜
Pe trovare un equazione cartesiana scelgo una variabile e la vado a sostituire. Una volta trovata l’equazione cartesiana, per verificare che il piano trovato è quello cercato vado a sostituire all’interno dell’equazione le componenti dei punti.
RETTA NELLO SPAZIO
Per determinare l'equazione della retta passante per un punto ci serve il vettore direttore che andrò ad utilizzare per trovarmi i coefficienti di t. Nel caso in cui abbiamo due punti ma non il vettore direttore mi calcola il vettore (ovvero per calcolarmi l’equazione della retta faccio come ho scritto sopra).
PARALLELISMO TRA RETTE
Due rette sono parallele se lo sono due loro vettori direttori, ovvero se loro vettori direzione sono proporzionali. IN FORMA PARAMETRICA: Per trovare una retta s parallela ad un'altra retta r, passante per un punto P, il vettore direttore r sarà costruito dai coefficienti di t, mentre per trovarmi la retta s parallela, utilizzo le coordinate del punto e del vettore direttore. ➜
➜
IN FORMA CARTESIANA Quando la retta è data in forma cartesiana, per determinare le componenti del vettore direzione, bisogna calcolare i minori a segno alterno della matrice dei coefficienti del sistema.
ORTOGONALITÀ TRA RETTE
Due rette sono ortogonali se lo sono i due loro vettori direttori, ovvero, se loro vettori direzione hanno prodotto scalare è nullo. Per determinare una retta S passante per P e ortogonale ad R, si prende il vettore direttore E lo si moltiplica al vettore direttore di : ➜ Dopodiché metteremo tutto in funzione di una sola variabile, E poi andremo ad attribuire dei valori arbitrari alle variabili e otterremo il vettore da cui potremmo scrivere l'equazione della retta s.
P ( x 0 , y 0 , z 0 ) PQ = ( a 1 , a 2 , a 3 ) PR = ( b 1 , b 2 , b 3 )
x = x 0 + a 1 t + b 1 s y = y 0 + a 2 t + b 2 s z = z 0 + a 3 t + b 3 s
PQ ⃗ = Q − P
r : x = x 0 + at P ( x 1 , y 1 , z 1 ) y = y 0 + bt z = z 0 + ct r ̂= ( a ̂, b ̂, c ̂) S : x = x 1 + a ̂ t y = y 1 + b ̂ t z = z 1 + c ̂ t
s ̂= ( l , m , n ) r ̂= ( a , b , c ) s ̂⋅ r ̂= ( l , m , n ) ⋅ ( a , b , c ) = 0
PARALLELISMO TRA PIANI
Due piani sono paralleli se lo sono i loro vettori normali, ovvero se loro vettori normali sono proporzionali. FORMA CARTESIANA: Se bisogna determinare un piano passante per P e parallelo al piano di equazione: (con n numero random), ci dobbiamo trovare il vettore normale, che sarà dato dai coefficienti dell’equazione:. All’interno dell’equazione generale sostituiamo le componenti del punto P e otteniamo il valore di. Alla fine l’equazione sarà data da: ➜ FORMA PARAMETRICA: Se invece il problema ci dà l'equazione parametrica del piano andremo a prendere i coefficienti di t e s, che formeranno due vettori, E con la regola dei minori ci troveremo il vettore normale al piano, e poi si procederà come prima.
ORTOGONALITÀ TRA PIANI
Due piani sono ortogonali si lo so le loro vittorie normali, ovvero se loro vittorie normali hanno prodotto scalare nullo. FORMA CARTESIANA: Se bisogna determinare un solo piano passante per un punto P e ortogonale al piano di equazione cartesiana, allora noi prenderemo dei coefficienti E li moltiplicheremo ai coefficienti dell'equazione del piano e lo poniamo uguale a zero. Alla fine ci troveremo un'equazione con tre incognite, per questo attribuiamo a due di esse dei valori per trovarci il terzo. Infine ci troveremo un'equazione dove all'interno andremo a sostituire le componenti di P per trovarci le equazioni del piano che passa per quel punto. FORMA PARAMETRICA : Sì bisogna determinare un piano passante per P è ortogonale al piano rappresentato in forma parametrica da un sistema allora ci troveremo i due vettori utilizzando i coefficienti di t e s, e poi calcolandoci il minore a segnI alterni. Dal minore o il vettore normale, che andando la moltiplicare con le componenti di un altro vettore normale e ponendolo uguale a zero, ci troveremo un'equazione con tre incognite, per questo attribuiamo a due di esse dei valori per trovarci il terzo. Infine ci troveremo un'equazione dove all'interno andremo a sostituire le componenti di P per trovarci le equazioni del piano che passa per quel punto.
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO
Una retta è un piano sono paralleli se e solo se un vettore direzione della retta è ortogonale al vettore normale del piano. FORMA CARTESIANA: Se ci dà l'equazione cartesiana di un piano e ci chiede di determinare una retta r passante per un punto P e parallela al piano, la retta per essere parallela al piano bisogna moltiplicare il vettore direzione per il vettore ortogonale, definito dai coefficienti dell'equazione del piano, e porlo uguale a zero. ci troveremo un'equazione con tre incognite, per questo attribuiamo a due di esse dei valori per trovarci il terzo. Scriviamo l'equazione della retta parallela in forma parametrica, ovvero con i coefficienti del punto + i coefficienti del vettore trovato. Se invece dobbiamo trovarci la retta S ortogonale a per il punto P, essa dovrà avere necessariamente la direzione del vettore normale del piano. Quindi utilizzeremo i coefficienti del vettore normale del piano. FORMA PARAMETRICA: E si calcola nello stesso modo della forma cartesiana, solo che il vettore normale si ricava dalla regola dei minori alterni.
DISTANZA TRA DUE PUNTI
a x + by + cz + n = 0 vn = ( a , b , c ) a x + by + cz + d = 0 d 1
a x + by + cz + d 1 = 0
( a , b , c )
( a , b , c )
π
v = ( l , m , n )
π
π
d ( A , b ) = ( xA − xA )^2 + ( yB − yA )^2 + ( zB − zA )^2
