PROBABILITÀ
1)
𝑃(𝐴) ≥ 0
2)
'𝑃
(
Ω
)
= 1
3)
'𝑃
(
𝐴⋃𝐵
)
= 𝑃
(
𝐴
)
+ 𝑃
(
𝐵
)
'𝑠𝑠𝑒'𝐴⋂𝐵 = ∅
4)
'𝑃
(
𝐵|𝐴
)
=!(#⋂%)
!(#)
Regola della somma
compatibili
𝑃
(
𝐴⋃𝐵
)
=𝑃
(
𝐴
)
+𝑃
(
𝐵
)
−𝑃(𝐴⋂𝐵)
incompatibili
𝑃
(
𝐴⋃𝐵
)
=𝑃
(
𝐴
)
+𝑃
(
𝐵
)
se due eventi sono incompatibili, la P(A|B)=0, sono fortemente dipendenti
Regola del prodotto
dipendenti
𝑃
(
𝐴⋂𝐵
)
=𝑃
(
𝐵|𝐴
)
+𝑃
(
𝐴
)
indipendenti
𝑃
(
𝐴⋂𝐵
)
=𝑃
(
𝐴
)
∙𝑃
(
𝐵
)
Teorema di Bayes
𝑃
(
𝐵|𝐴
)
=𝑃(𝐴⋂𝐵)
𝑃(𝐴) =𝑃(𝐵)∙𝑃(𝐴|𝐵)
𝑃(𝐴)
Test diagnostici
T-
→
ok
𝑃
(
𝑇−|𝐷′
) specificità
D’
T+
→
f+
𝑃
(
𝑇+|𝐷′
)
T-
1→
f-
𝑃
(
𝑇−|𝐷
)
D
T+
1→
ok
1𝑃
(
𝑇+|𝐷
) sensibilità
1𝑃
(
𝐷|𝑇+
)
=𝑃
(
𝐷
)
×𝑃(𝑇+|𝐷)
𝑃(𝑇+)
(p. di essere malati dato che il test è uscito +)
𝑃
(
𝑇+
)
=𝑃
(
𝑇+ |𝐷
)
∙𝑃
(
𝐷
)
+𝑃(𝑇 +|𝐷!)∙ 𝑃(𝐷!)
(per malattie rare, in cui il T è molto specifico, evito screening di massa, troppi f+)
Variabili casuali
DISCRETE
i valori/elementi sono finiti o comunque infiniti m a numerabili,
→
funzione di massa di
probabilità f(Y): la v.c. assume valori specifici, mi permette di calcolare la P(Y=y) ovvero
la probabilità che Y assuma determinati valori, ciascuno degli elementi del supporto.
Bernoulli
𝑌~𝐵𝑒(𝑝)
supporto: 0
→𝑃
(
1− 𝑝
) insuccesso
1
→𝑃
(
𝑌 = 1
) successo
𝑓
(
𝑦
)
=𝑝"(1−𝑝)#$"1
in cui:
se
1𝑦 = 0 →
𝑓
(
0
)
=1− 𝑝11
se
1𝑦 = 1 → 𝑓
(
1
)
=𝑝
CONTINUA
i valori/elementi non sono numerabili
→
funzione di densità di probabilità f(Y): con la v.c.
fa un’approssimazione del valore, mi dà la probabilità che Y sia in un intorno molto piccolo
di probabilità di valore P(y-k < Y < y+k) (non posso dire P(Y=y) come nella funzione di
massa poiché la variabile è continua e y non può corrispondere ad uno specifico valore).
Normale
1𝑌~𝑁(𝜇
,
𝜎%)
supporto: y
∈
(-∞,+∞), y
∈
R
(curva a campana, continua, asintotica, simmetrica rispetto alla media,
𝜇
, che coincide
con M, Mod, Me)
punti di flesso:
𝜇± 𝜎%
+ grande
𝜎" →
+ dispersione, + flessi lontani (curva “piatta”)
+ piccolo
𝜎" →
- dispersione, + flessi vicini (curva “stretta”)
(il 99,7% sta nell’intervallo
𝜇 ± 3𝜎!
, oltre questo intervallo sono eventi
estremamente rari)
Standardizzazione
𝑍"=1𝑦 −1𝜇
𝜎
INFERENZA (ccs con reimmissione)
Stimatori – statistiche campionarie (T)
Media campionaria
𝑦
A
=
∑
&"
'
Varianza campionaria
𝑆%=
∑
(&"$&
)
)#
'$#
Proporzione campionaria
𝑝
D
=
∑
&"$%&''
'
- valore medio dello stimatore
𝐸
(
𝑌
A)
=1𝜇
e
𝐸
(
𝑝
D)
=1𝑝
- varianza dello stimatore
𝑉𝑎𝑟
(
𝑌
A)
=+#
'
e
𝑉𝑎𝑟
(
𝑝
D)
=1,(#$,)
'
^errore standard
𝐷𝑒𝑣𝑆𝑡
(
𝑌
A)
=-
√
'=($)
#
/*
#,,$-
^errore standard
𝐷𝑒𝑣𝑆𝑡
(
𝑝
D)
=
K
,
0
(#$,
0
)
'
(errore di stima:
𝑇 −𝜃 → 0
)
Scelta di stimatore puntuale
(non dà una misura dell’errore -> stima a intervalli)
1º criterio
-
𝐸
(
𝑇
)
−𝜇=0
corretto/non distorto
-
)𝐸
(
𝑇
)
−𝜇>0
sovrastima
-
𝐸
(
𝑇
)
−𝜇<0
sottostima
2º criterio
𝑉𝑎𝑟
(
𝑇#
)
<𝑉𝑎𝑟
(
𝑇%
)
→1𝑇#
più preciso
Teoremi
1º se
𝑌~𝑁(𝜇&
,
𝜎%&)
allora
𝑊 = 𝑎 +𝑏𝑌~𝑁(𝑎+ 𝑏𝜇&
,
𝑏%𝜎%&)
2º
𝑊 =
∑
𝑌1~𝑁(
∑
𝜇&
,∑
𝜎%&)
Consegue
→1111𝑍&
)
=1&
)
$23
.
√
,111111~𝑁(0,1)
se non conosco
𝜎 → #𝑇 = # #
$
%&'
3
√
511111~𝑡𝑛−1
(curva a campana, continua, centrata sempre sullo 0,
𝜇
e
𝜎!
legati ai gdl, n>30 approssimo
a N, in caso contrario non si può approssimare, perché la t da più peso agli eventi estremi,
le code del grafico, con N si potrebbero sottostimare questi eventi estremi)
Stima per intervallo
intervallo di confidenza
𝑃
(
𝑙 < 𝜃 < 𝐿
)
1111=11111−𝛼
livello di confidenza
(se aumenta
→
intervallo + ampio e +, - precisione)
Metodo del pivot (Q) (
1 − 𝛼
fissato)
1. Q deve dipendere dagli elementi del campione
2. Q deve dipendere da
𝜃
3. Q non deve dipendere parametri incogniti di disturbo
4. Q deve avere distribuzione nota
se sono soddisfatti:
intervallo per
𝜇
e
𝜎%1
𝑃
T
𝑦
A
111−𝑧7
%∙𝜎
√
𝑛≤1µ1≤𝑦
A
11+𝑧7
%∙𝜎
√
𝑛
Z
=1− 𝛼
intervallo per
𝜇
e NON
𝜎%
(ma solo se n<30)
𝑃
[
𝑦
A
111−𝑡*
#,'$# ∙-
√
'≤1µ1≤𝑦
A
11+𝑡*
#,'$# ∙-
√
'
\
=1− 𝛼
1111111
𝑆 =
√
0∙23
4!
",$%&
"
intervallo per la proporzione p
𝑃
-
)𝑝
/
))−𝑧7
8∙
2
𝑝
/
(1−𝑝
/
)
𝑛≤)𝑝)≤)𝑝
/
))+𝑧7
8∙
2
𝑝
/
(1−𝑝
/
)
𝑛
7
=1−𝛼
#
(per teorema del limite centrale, se
𝑛 ≥ 100
)
*Ampiezza
𝐴 = 𝐿− 𝑙 = 2𝑀𝐸
𝐿 = 𝑝
D
+𝑀𝐸111111𝑙 = 𝑝
D
−𝑀𝐸
"𝑀𝐸 =567
!=8
!
*Mergine d’errore
11𝑀𝐸(𝑦) = 1𝑧*
#∙+
√
'
𝑀𝐸(𝑦)−𝑡*
#,'$# ∙-
√
'
e
𝑀𝐸
(
𝑝
)
=𝑧"
#∙
:
9
:
(;<9
:
)
=
*Ampiezza campionari
𝑛
(
𝑦
)
=192∙2;*9∙
#
#2+#
<#=𝑧*
#
%∙
_
+
=>
`
%
e
𝑛
(
𝑝
)
=1𝑧*
#
%∙𝑝
0
(1−𝑝
0
)
𝑀𝐸2
(se non ho
𝑝
B, lo sostituisco con 0.05, situa di max incertezza, approssimazione buona, simmetrico)
