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Funzione reale di variabile reale
Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di . Si chiama funzione reale di variabile reale , di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento (^) x A uno e un solo elemento (^) y B. In simboli:
f : A B
- A è detto dominio
- è detto codominio (può coincidere con B)
- x è detta variabile indipendente - y è detta variabile dipendente
L'elemento y = f(x) si dice anche immagine dell'elemento x tramite f; mentre l'elemento x A si chiama anche controimmagine di y.
- Si chiama grafico di una funzione f di A in B, l'insieme:
- Una funzione si dice matematica se può essere espressa analiticamente da un insieme di operazioni matematiche ben definite che, applicate in un certo ordine a x, fanno determinare il corrispondente valore di y.
Dati due numeri reali a, b con a < b, si chiama:
- intervallo aperto l'insieme di tutti i numeri reali x tali che: a < x < b e si indica con ]a; b[
A f B
x 1
x 2 x 4 x 3
y 3
y 2
f (A)
y 1 y 5 y 4
- intervallo chiuso l'insieme di tutti i numeri reali x tali che: a x b e si indica con [a; b]
- intervallo aperto a destra l'insieme di tutti i numeri reali x tali che: a x b e si indica con [a; b[ - intervallo aperto a sinistra l'insieme di tutti i numeri reali x tali che: a x b e si indica con ]a; b]
In ogni caso l'ampiezza dell'intervallo è il numero b-a
Dato un numero reale a qualunque, si chiamano:
- intervalli illimitati superiormente (rispettivamente, aperti e chiusi) gli insiemi:
x \ x a , x \ x a e si indicano con: ] a ,[e[ a ,[
- intervalli illimitati inferiormente (rispettivamente, aperti e chiusi) gli insiemi:
x \ x a , x \ x a e si indicano con: ] , a [ , ] , a ]
Si chiama:
- intorno completo di un numero reale c un intervallo aperto qualsiasi che contenga c; - intorno destro di un numero reale c un intervallo aperto qualsiasi che abbia come estremo sinistro c; - intorno sinistro di un numero reale c un intervallo aperto qualsiasi che abbia come estremo destro c;
intorno di ogni intervallo aperto illimitato superiormente;
intorno di ogni intervallo aperto illimitato inferiormente;
- Pari , se risulta: f(-x) = f(x), x A
Le incognite hanno esponenti pari
- Dispari , se risulta: f(-x) = - f(x), x A
- Monotona :
- crescente , se risulta: x 1 < x 2 f( x 1 ) < f(x 2 ) x 1 , x 2 A
- decrescente , se risulta: x 1 < x 2 f( x 1 ) > f(x 2 ) x 1 , x 2 A
Dominio
Funzioni razionali intere : D = IR
D = IR
Funzioni razionali fratte del tipo y gf (( xx )) D x \ g ( x ) 0
o
Funzioni irrazionali intere
- del tipo y n^ f ( x ) con n pari: D x \ f ( x ) 0
oppure
- del tipo y n^ f ( x ) con n dispari D D = IR Funzioni irrazionali fratte
- del tipo y n gf (( xx )) con n pari:
^ 0
\ ( )
gx D x f x
oppure
x
Intersezione con l’asse delle y
Per trovare l’intersezione con l’asse delle y (ce ne può essere solo una per definizione di funzione) si deve impostare e poi risolvere il seguente sistema
Es.
Positività
Per sapere in quali intervalli la funzione è positiva si deve risolvere la seguente disequazione di secondo grado. ( Equazione di secondo grado : uguaglianza tra due espressioni algebriche in almeno una della quali deve comparire l’incognita con massimo esponente due)
con e
Formula risolutiva: con delta
Il delta può essere:
2 soluzioni reali e distinte 2 soluzioni reali e coincidenti 2 soluzioni complesse e coniugate
Se il termine di primo grado o il termine noto non compaiono significa che b o c sono uguali a zero.
(Una disequazione razionale intera si dice quadratica, o di secondo grado, quando è riconducibile
alla forma ax^2 bx c 0 , oppure ax^2 bx c 0 , con a 0 )
Dopo aver determinato, se esistono, le soluzioni x 1 e x 2 (con x 1 > x 2 ) dell'equazione associata
ax^2 bx c (^0) , si ha:
a > 0 ax^2 bx c 0 ax^2 bx c 0 > 0 x < x 1 e x > x 2 x 1 < x <x 2 = 0 x^ ^ 2 ba impossibile < 0 Sempre vera Impossibile
Limiti
Forma indeterminata
lim f ( x^ )
x c
Si deve calcolare il limite sinistro e destro
Devo calcolare il limite sinistro e destro
Forma indeterminata
- si scompongono numeratore e denominatore
- si semplifica il fattore comune
- si esegue il calcolo del limite così ottenuto
Consideriamo una funzione del tipo m m m
n n n bx bx b y ax ax a
...
0 1 1
0 1 1
Si cerca di scomporla in modo da ottenete y ^ x x xx q^ xx ba
p
0
0
^
lim ( )
0
f x k x x
Devo cercare di scomporre il numeratore e il denominatore il più possibile attraverso: Raccoglimento a fattor comune Ricordando che dove si trovano con la formula
con delta
Il numeratore è un infinitesimo di ordine minore rispetto al denominatore
Il numeratore e il denominatore sono infinitesimi dello stesso ordine
Il numeratore è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto al denominatore
se p < q se p = q se p > q
3. asintoto orizzontale
Il numeratore è di grado inferiore rispetto al denominatore
Continuità e discontinuità
Funzione continua in un punto
Sia f una funzione definita in un intervallo e un punto interno all’intervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto quando esiste il per e tale limite è uguale al valore di f( ) della funzione calcolata in :
Non è sempre vero che il limite di una funzione per è uguale al valore della funzione calcolata in.
Es. la funzione non è definita in 0: non ha significato l’espressione f(0) e quindi
neanche il
Funzione continua in un intervallo
Una funzione definita in un intervallo si dice continua in tale intervallo se è continua in ogni punto dell’intervallo.
Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite nello stesso insieme A e continue in un punto c A, allora risultano continue nel punto c anche le seguenti funzioni:
1. y kf ( x )
- y f ( x ) g ( x ) 3. y f ( x ) g ( x ) 4. y f (^1 x ) se f ( c ) 0 5. y gf (( xx )) se f ( c ) 0 6. y kf ( x )
- y f ( x ) g ( x ) 8. y f ( x ) g ( x ) 9. y f (^1 x ) se f ( c ) 0 10. y gf (( xx )) se f ( c ) 0
Punti di discontinuità
Un punto di un intervallo si dice punto di dicontinuità per una funzione f(x) se la funzione è definita in tutto l’intervallo , escluso al più e in tale punto non è continua
Punto di discontinuità di prima specie
Un punto si dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x) quando, per , il limite destro e il limite sinistro di f(x) sono entrambi finiti, ma diversi fra loro. La differenza tra il limite destro e il limite sinistro della funzione si chiama salto della funzione in.
L’esempio qui sopra riportato fa vedere come la funzione così definita è discontinua in =2, il punto 2 è un punto di discontinuità di prima specie. La distanza fra i due punti A e B in figura viene chiamato salto.
Punto di discontinuità di seconda specie
Un punto si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f(x) quando, per , almeno uno dei due limiti destro o sinistro di f(x) è infinito, oppure non esiste.
Asintoti
Asintoto verticale Si dice che una retta x = c è un asintoto verticale per il grafico della funzione f(x) se:
lim f ( x^ )
x c
oppure
lim f ( x^ )
x c
Gli asintoti verticali di una funzione vanno ricercati negli estremi finiti del dominio D della funzione che non appartengono a D, oppure nei punti in cui la funzione cambia definizione.
Consideriamo la funzione
Devo trovare il dominio
o
E poi calcolare il limite
Riconosco la forma indeterminata e deduco che è un asintoto verticale.
Asintoto orizzontale Si dice che una retta y = a è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione f(x) se:
lim x f ( x^ )^ a
Consideriamo la funzione
La retta è un asintoto obliquo
Gli eventuali asintoti orizzontali di una funzione (da ricercarsi solo nel caso in cui il dominio della funzione sia illimitato e la funzione non sia periodica) si trovano calcolando i limiti della funzione per x che tende a (^) .
Asintoto obliquo
Se in una funzione del tipo y gf (( xx )) il numeratore ha un grado in più rispetto al denominatore
possiamo cercare l’asintoto obliquo y = mx + q (con m 0 ) dove
^
(^) x Fx x m F x x x
lim ( ) lim ( )^1 e q F x mx
(^) x lim ( )
L’asintoto obliquo della funzione data è
