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Studio di funzione
Nelle lezioni che seguono viene spiegato come effettuare lo studio di funzione e come disegnare il grafico qualitativo : è un argomento, o tipologia di esercizio, che è molto richiesto agli ultimi anni delle Scuole Superiori e nei corsi di Analisi Matematica 1 delle varie facoltà universitarie. Questo semplicemente perchè richiede la conoscenza della gran parte degli argomenti che si studiano in Analisi Matematica.
Saper studiare una funzione significa aver capito l'80% degli argomenti studiati, dunque puoi intuire subito quanto sia importante essere in grado di risolvere questo tipo di esercizi. In cosa consiste uno studio di funzione?
Si tratta di un procedimento che consiste di diversi passaggi, ognuno dei quali ci permette di dedurre una specifica informazione sulla funzione data. L'obiettivo finale è mettere assieme tutte le proprietà e le caratteristiche studiate per disegnare un grafico qualitativo.
Questa lezione speciale contiene l'elenco di tutti i passaggi, ed ogni punto dell'elenco è collegato alla rispettiva lezione. Tra l'altro, quando affronterai gli esercizi, potrai confrontare i risultati dei tuoi studi di funzione usando il tool per disegnare il grafico di una funzione qualsiasi.
Disclaimer
Noi di YM sconsigliamo sempre, quando si studia un qualsiasi argomento della Matematica, di saltare direttamente alle conclusioni senza imparare le nozioni e i prerequisiti con calma, pazienza e buona volontà. Questo perchè, così facendo, è difficile capire tutto bene ed è molto difficile apprezzare il significato dell'argomento trattato. E così si rischia di arrivare alla situazione: "la Matematica è noiosa e fa schifo", di conseguenza tutto sembra più complicato e aumentano le probabilità di insuccesso.
D'altra parte sappiamo come funziona la mente studentesca e non vogliamo fare inutili prediche. Per questo motivo, nelle spiegazioni puoi trovare i link alle lezioni strettamente necessarie per la comprensione.
La morale della favola è: una sintesi è una sintesi, e va usata con cautela!
Passaggi da effettuare nello studio di funzione
I passaggi da svolgere per conoscere vita, morte e miracoli di un'assegnata funzione reale di variabile reale y=f(x) sono quelli che trovi nell'elenco a fondo pagina. Cliccando sui titoli puoi passare alle relative lezioni.
Esempio guidato sullo studio di funzione
Nel frattempo, studieremo a titolo esemplificativo la funzione
e ad ogni passaggio mostreremo lo svolgimento pratico.
Step 1: dobbiamo trovare il dominio della funzione
Il dominio di una funzione (insieme di definizione) è quel sottoinsieme di in cui y=f(x) è definita. Per farlo, è sufficiente guardare in quali punti o intervalli di la funzione non è definita, cioè non ha senso calcolarla.
In particolare:
- se ci sono denominatori, ponili diversi da zero;
- se ci sono logaritmi, poni i loro argomenti maggiori strettamente di zero;
- se hai radici con indice pari, poni i radicandi maggiori o uguali a zero.
Una volta determinate tutte le condizioni, mettile a sistema. Mettere a sistema in Matematica significa che le condizioni devono valere contemporaneamente.
Una volta risolto il sistema, scrivi il dominio di f, che in notazione standard puoi chiamare D oppure Dom(f), nella forma di unione di intervalli.
Come si trova il dominio nel nostro esempio?
La funzione considerata presenta due logaritmi naturali, che però sono uguali, e un denominatore. Per il logaritmo, dobbiamo porre l'argomento maggiore strettamente di zero; per il denominatore, dobbiamo porlo in blocco diverso da zero. Queste due condizioni vanno messe a sistema:
quindi
Per vedere se la funzione è pari, dispari oppure nè pari nè dispari, calcoliamo
ed essendo f(-x)≠f(x) e f(-x)≠-f(x), si conclude che la funzione non è nè pari nè dispari.
Step 3: troviamo le intersezioni con gli assi
Sapere dove la funzione y=f(x) considerata interseca gli assi serve a garantire dei buoni punti di riferimento per cominciare a disegnare il grafico della funzione.
Intersezioni con l' asse delle ascisse (asse delle x)
Poniamo f(x)=0 e risolviamo questa equazione, in cui sostanzialmente ci chiediamo quali valori x rendono l'ordinata y=f(x) nulla. Quindi, sull'asse delle x.
Intersezioni con l' asse delle ordinate (asse delle y)
Calcoliamo f(0), dunque sostituiamo nell'espressione y=f(x) della funzione zero al posto della x. Così facendo, possiamo appunto vedere se e a quale valore di ordinata la funzione passa per l'asse delle ordinate, che ha equazione x=0.
Nota bene: ci possono essere una, più o nessuna intersezione con l'asse delle ascisse, mentre ci possono essere o una o nessuna intersezione con l'asse delle y (nessuna in particolare se x=0 non appartiene al dominio della funzione Dom(f)). Ciò è dovuto alla stessa definizione di funzione reale di variabile reale: è una applicazione che associa ad un valore x uno e un solo valore y, dove è definita.
Nel nostro esempio
Per trovare le intersezioni con l'asse delle x, poniamo
e dunque risolviamo l'equazione
e non dobbiamo imporre alcuna condizione di esistenza delle soluzioni, perchè queste sono già incluse nel dominio. Possiamo così cancellare il denominatore, ottenendo
dunque da cui
Ne deduciamo che y=f(x) interseca l'asse delle x in x=0.
Per trovare le intersezioni con l'asse delle y, calcoliamo
che è un calcolo in realtà superfluo perchè y=f(x) interseca l'asse delle x in x=0, dove ha ordinata y=0 (altezza dell'asse delle x). Ricorda che ci può essere al massimo una intersezione con l'asse delle y; la funzione può invece avere una, diverse o nessuna intersezione con l'asse delle x.
Step 4: studiamo il segno della funzione
Studiare il segno della funzione y=f(x) assegnata serve a capire dove la funzione è positiva o negativa, e quindi a capire in quali intervalli del suo dominio il grafico si trova al di sopra dell'asse delle ascisse e dove al di sotto di essa. Nelle intersezioni con l'asse delle x, invece, la funzione cambia segno.
Per conoscere il segno della funzione, basta risolvere la disequazione
e ricordare che bisogna prendere in considerazione solamente le soluzioni che rientrano nel dominio della funzione Dom(f). Tutte le altre vanno scartate.
Questo argomento viene trattato nel dettaglio nell'articolo segno di una funzione, in cui puoi trovare esercizi con suggerimenti e svolgimenti.
In tal caso, con estremi del dominio si intendono -∞, a, b, c, +∞.
Si tratta ora di capire come la funzione si comporta in corrispondenza dei punti in cui non è definita. Non potendo valutare la funzione in tali punti, l'unica cosa che possiamo fare è valutarne il comportamento in corrispondenza di essi, ovvero in un loro intorno (sinistro, destro o completo a seconda dei casi). Nell'esempio calcoliamo:
e
come anche
Con i limiti per x tendente all'infinito possiamo vedere se la funzione ha asintoti orizzontali, oppure obliqui, oppure nessun asintoto. Con i limiti per x tendente ai suddetti valori finiti possiamo vedere se vi sono asintoti verticali (vale a dire una discontinuità di seconda specie) oppure altri punti di discontinuità (prima o terza specie) senza asintoti verticali.
Qui è difficile essere ultra-sintetici e ridurre all'osso le lezioni che trattano nel dettaglio gli argomenti correlati. Di sicuro servono le lezioni su asintoti orizzontali, su quelli verticali e su quelli obliqui. Anche lì, oltre alle spiegazioni teoriche dettagliate, troverai esercizi correlati, con suggerimenti e soluzioni. Per quanto riguarda i limiti.......ti arrabbi se ti mettiamo qui il link alla
categoria delle lezioni sui limiti?
Nel nostro esempio
Calcoliamo i seguenti limiti:
quindi y=-1 è asintoto orizzontale per y=f(x).
quindi x=-1 è un punto di discontinuità di terza specie per y=f (x).
a sinistra del punto
a destra, quindi x=e -2^ -1 è asintoto verticale per la funzione.
Step 6: Studio della derivata prima della funzione
Ora dobbiamo capire:
- dove la funzione cresce e decresce (ovvero, dove la funzione è monotona crescente e dove è monotona decrescente);
- quali sono i punti di massimo e minimo relativi o assoluti della funzione (i punti in cui cambia la monotonia!)
Per scoprirlo, in accordo con i teoremi sulle derivate, calcoliamo la derivata prima della funzione
e ne determiniamo il dominio Dom(f'). Fatto ciò, dobbiamo risolvere la disequazione
I punti in cui la derivata prima si annulla (vale a dire le soluzioni dell'equazione f'(x)=0) sono i candidati massimi o minimi della funzione y=f(x) , detti altrimenti punti estremanti della funzione. Per sapere se tali punti x che annullano la derivata prima sono massimi, minimi oppure
no, dobbiamo risolvere la disequazione e studiare il segno della derivata prima. Per vedere come, supponiamo per fissare le idee che x 1 sia tale da annullare la derivata prima: f ' (x (^) 1)=0.
- se la derivata y=f ' (x) è positiva prima di x 1 e negativa poi , allora x 1 è punto di massimo della funzione y=f(x);
- se la derivata y=f ' (x) è negativa prima di x 1 e positiva poi , allora x 1 è punto di minimo della funzione y=f(x);
Nota bene : dato un punto x 1 per dire che è un punto di massimo o di minimo per la funzione y=f(x) le condizioni "annullare la derivata prima" e "alternanza del segno della derivata prima" devono valere contemporaneamente. Può infatti capitare, ad esempio in corrispondenza di un punto x 0 in cui è presente un asintoto verticale, che la funzione cresca prima e decresca dopo di esso: per avere un'idea f(x)→+∞ per x→x 0 -^ e f(x)→+∞ per x→x 0 +. In tal caso avremo sicuramente alternanza del
Calcoliamo la derivata prima della funzione. Per farlo, dobbiamo applicare la regola di derivazione del rapporto di funzioni:
Il dominio della derivata prima si determina nel solito modo. Osserviamo che, rispetto al sistema di condizioni da imporre sulla funzione y=f(x) qui dobbiamo aggiungere la condizione x+1≠0, vale a dire x≠-1, punto che però è già escluso dal dominio della funzione che stiamo studiando. Quindi
Per quanto riguarda i candidati a punti di massimo o minimo, se imponiamo l'equazione f'(x)= abbiamo
che però non ammette soluzioni (-2=0 impossibile). Ora il segno della derivata prima ci dirà su quali intervalli di ascissa la funzione y=f(x) cresce e dove decresce: per scoprirlo, risolviamo la disequazione
ossia
impossibile (linea tratteggiata)
: il primo fattore conduce a , il secondo è invece un quadrato ed è quindi non
negativo (l'unico punto in cui il denominatore si annulla è già escluso dal dominio).
Il grafico dei segni per la disequazione è allora
Morale: la funzione decresce su tutto il proprio dominio.
Step 7: convessità e punti di flesso con la derivata seconda
Siamo giunti all'ultimo passaggio dello studio di funzione, dopodichè dovremo solamente disegnare il grafico. La prima cosa da fare è calcolare la derivata seconda della funzione y=f(x), ossia calcoliamo la derivata prima della derivata prima:
Dopo averla calcolata, diamo un rapido sguardo al suo dominio Dom(f''), e controlliamo quali sono i punti o gli intervalli di Dom(f'') che non appartengono all'intersezione tra il dominio della funzione y=f(x) e al dominio della derivata prima y=f'(x). All'atto pratico infatti ciò che ci interessa è l'intersezione
Ora calcoliamo gli zeri della derivata seconda, quindi risolviamo l'equazione
Le soluzioni x di tale equazione saranno i candidati punti di flesso della funzione y=f(x), ossia i punti in cui si ha una variazione della convessità della funzione che stiamo studiando. Per capire quali tra questi valori sono effettivamente punti di flesso e quali no, e soprattutto come varia la convessità, dobbiamo risolvere la disequazione
e, giusto per fissare le idee, supponiamo di trovarci di fronte ad una situazione del seguente tipo
Dato che il denominatore è complicato e noioso, osserviamo che il primo fattore è ovunque positivo in Dom(f), e lo stesso dicasi per parte del secondo fattore, che consideriamo come
al posto dei due quadrati, ovunque positivi sull'insieme di definizione di f, scriveremo Den.
Il dominio della derivata seconda coincide con il dominio della funzione y=f(x), quindi siamo tranquilli, non accadrà nulla di strano. Cerchiamo i candidati punti di flesso risolvendo l'equazione
ossia, eliminando direttamente il denominatore
da cui ricaviamo come unica soluzione
Per conoscere come cambia la convessità della funzione, risolviamo la disequazione
Il termine Den del denominatore possiamo trascurarlo perchè è sempre positivo su Dom(f), gli unici punti in cui si annulla infatti non appartengono al dominio della funzione. Ci basta risolvere
separatamente
se e solo se
se e solo se
Su è negativa e dunque è concava, sulla restante parte del dominio è invece convessa. Step finale: disegnamo il grafico della funzione
Riprendiamo, passo passo, tutte le informazione che abbiamo determinato nei vari passaggi per tracciare il grafico della funzione: e sappiate che dopo averlo disegnato potrete verificarne la correttezza con il nostro tool per il disegnare il grafico di funzioni. Un metodo che funziona bene consiste dei seguenti punti:
1) Disegna gli assi cartesiani e segna le intersezioni con gli assi.
2) Guardando le informazione desunte sul segno della funzione, cancella le zone sotto gli intervalli dell'asse delle x in cui la funzione deve essere positiva. Analogamente, cancella le zone sopra gli intervalli dell'asse delle x in cui la funzione deve essere negativa.
3) Traccia gli eventuali asintoti orizzontali, verticali o obliqui e segna, anche in maniera approssimativa, il comportamento della funzione in corrispondenza di essi.
4) Segna i punti di massimo e minimo che hai trovato.
5) Segna i punti di flesso, cuspidi, punti angolosi e flessi a tangente verticale che hai determinato.
6) Tenendo a mente gli intervalli in cui la funzione deve crescere o decrescere e gli intervalli in cui la funzione e concava o convessa, disegna il grafico.
7) Non farti venire paranoie o blocchi psicologici: nello studio di funzione i valori e i dati che hai trovato devono essere corretti e il grafico deve rispecchiarli. Il grafico che devi disegnare, però, si chiama qualitativo : deve essere abbastanza preciso, non deve essere un da Vinci.
Importante : tracciare il grafico di una funzione è un tipo di esercizio che ha un pregio molto poco apprezzato (il perchè è un mistero...). Infatti, a meno di sfighe o errori clamorosi, se hai sbagliato qualcosa troverai sicuramente un passaggio che entra in contraddizione con l'errore.
Fatto questo, siamo veramente pronti per disegnare il grafico della funzione:
Nota bene : questo grafico è precisissimo perchè fatto a computer. Anche grafici ben più grezzi vanno bene!
