FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE
f:E
→
F con E,F spazi metrici,
x
₀
∈
E, f si dice continua in x
₀
se:
x
₀
è un punto isolato
x è un punto di accumulazione
e lim x
→
x
₀
f(x)=f(x
₀
)
∈
F
f è continua in x
₀
⇔
∀V intorno di f(x
₀
)
∃U intorno di x
₀
tale che f(U)⊆V
f si dice continua su E'⊆E se è continua ∀x
₀
∈
E'
I intervallo f:I
→
ℝ è continua se ∀x
∈
I vale: ∀
ε
>
0 ∃
𝛿
>0: ∀y
∈
I (|x-y|<
𝛿
⇒
|f(x)-f(y)|<
ε
)
PROPRIETÀ
ALGEBRICHE f,g:E
→
ℝ continue in x
₀
, allora
sono continue in x
₀
anche
f±g
f·g
f/g se g(x
₀
)≠0
c·f ∀c
∈
ℝ
TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO f(x) continua in x
₀
con f(x
₀
)>0
⇒
∃U intorno di x
₀
tale che f(x)>0 ∀x
∈
U
INSIEME DELLE FUNZIONI CONTINUE {f:E
→
ℝ | f è continua}:=C(E), o C
⁰
(E), è uno
spazio vettoriale su ℝ di dimensione infinita
TEOREMA DI COMPOSIZIONE
f:E\{x
₀
}
→
F, E,F spazi metrici, x
₀
pt. di acc.
lim x
→
x
₀
f(x)=y
₀
, g:F
→
G continua in y
₀
⇒
la funzione g°f:E\{x
₀
}
→
G ha limite in x
₀
e si
ha lim x
→
x
₀
(g°f)(x)=g(y
₀
), cioè
lim x
→
x
₀
f(x)=lim y
→
y
₀
g(y)
Sia V intorno di g(y
₀
)
⇒∃
U intorno di y
₀
tale che g(U)⊆V
⇒
∃W intorno di x
₀
tale
che f(W)⊆U
⇒
(g°f)(W)⊆V
Con questo teorema possiamo fare la
sostituzione nei limiti y=f(x)
COROLLARIO f: E
→
F continua in x
₀
g:F
→
G continua in f(x
₀
)
⇒
g°f continua in x
₀
TEOREMA DI WEIRSTRASS f:E
→
ℝ continua, E spazio metrico compatto
⇒
f ammette MASSIMO e MINIMO
Si mostra che ∃x
𝑚
di minimo, la
dimostrazione del massimo è analoga
𝓁
=inf f(x), y
𝑛
∈
f(E) con y
𝑛
→
𝓁
⇒
y
𝑛
=f(x
𝑛
)
per qualche x
𝑛
∈
E ma siccome E è compatto ci sarà una
sottosuccessione convergente a x
𝑚
∈
E e siccome f è
continua f(x
𝑚
)=lim f(x
𝑛𝑘
)=lim y
𝑛𝑘
=
𝓁
TEOREMA DEGLI ZERI f:[a,b]
→
ℝ continua, f(a)·f(b)<0
⇒∃
x
₀
∈
(a,b) tc f(x
₀
)=0
TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI f:[a,b]
→
ℝ continua
⇒
f([a,b])⊇[min(f(a),f(b)), max(f(a),f(b))]
f([a,b])=[min(f), max(f)]
f continua
manda connessi (per archi) in connessi (per archi)
manda intervalli in intervalli
+ invertibile
⇒
f
⁻
¹
continua
FUNZIONI LIPSCHITZIANE
DEFINIZIONE f:E
→
ℝ, f è L-Lipschitziana
⇔
|f(x)-f(y)|≤Ld(x,y) ∀x,y
∈
E
CONTINUITÀ f L-Lip.
⇒
f continua
Basta dimostrare che lim x
→
x
₀
|f(x)-f(x
₀
)|=0
0≤|f(x)-f(x
₀
)|≤Ld(x,y)
0≤ : per il valore assoluto
≤Ld(x,y) : per definizione di Lip.
Passando al limite si ha:
lim 0=0≤lim |f(x)-f(x
₀
)| =
𝓁
≤lim L|x-x
₀
|=0
Per i 2 carabinieri:
𝓁
=0
LOCALMENTE LIP.
f:E
→
ℝ è localmente Lipschitziana
⇔
∀a
∈
E
∃L>0, ∃U intorno di a tale che f|U è L-Lip.
f localmente Lip.
⇒
f continua a
∈
E, U int. di a, L>0, f|U è L-Lip.
⇒
lim x
→
a f(x)-f(a)=0
⇒
f è continua
ESEMPI x↦√x
Non è Lip. su [0,+∞) e nemmeno (0,+∞) 1/√x
→
+∞ per x
→
0
È loc. Lip. su (0,+∞) e continua su [0,+∞) se x
₀
>0 [a,+∞) è intorno di x
₀
su cui f è L-Lip
⇒
f è loc. Lip. su (0,+∞)
È L-Lip. su [a,+∞) con a>0 e L=1/2√a
DISCONTINUITÀ
f:E
→
ℝ, disc(f)={x
∈
E | f non è continua in x}
TIPI DI DISCONTINUITÀ
ELIMINABILE se ∃lim x
→
x
₀
f≠f(x
₀
) ES: f(x)={1 se x=0; 0 se x≠0}
𝖨
SPECIE (A SALTO) se ∃lim x
→
x
₀
⁺⁻
f=
𝓁
⁺⁻
ma
𝓁
⁺
≠
𝓁
⁻
ES: sgn(x)
𝖨𝖨
SPECIE
se è di
𝖨
specie e almeno
uno dei due è ±∞
ES: f(x)={1/x se x≠0; 0 se x=0}
𝖨𝖨𝖨
SPECIE se ∄ né limite destro né limite sinistro
ES: f(x)={sin(1/x) se x≠0; 0 se x=0}
funzione di DIRICHLET: f(x)={1 x
∈
ℚ, 0 x
∈
ℚ} disc(f)=ℝ e non esiste nessun limite
f monotona
⇒
|disc(f)|=|ℕ|
CONTRAZIONI
f:M
→
M è una contrazione se è
Lipschitziana con costante c<1
PUNTO FISSO
M spazio metrico completo, f:M
→
M contrazione
⇒
∃!
𝑥
∈
M tale che f(
𝑥
)=
𝑥
. Inoltre ∀x
₀
∈
M
la succ. per ricorrenza x
𝑛
₊
₁
=f(x
𝑛
) con dato
iniziale x
₀
converge a
𝑥
UNIFORME CONTINUITÀ
DEFINIZIONE
I intervallo f:I
→
ℝ è uniformemente continua
⟺
∀
ε
>0 ∃
𝛿
>0: ∀x,y
∈
I (|x-y|<
𝛿
⇒
|f(x)-f(y)|<
ε
)
SIGNIFICATO GEOMETRICO
Dal punto di vista geometrico vuol dire che una
funzione continua in I non può mai impennarsi o
oscillare eccessivamente
DIFFERENZE CON LA CONTINUITÀ
ESEMPI
La funzione costante, l'identità o una qualsiasi funzione lineare sono funzioni
uniformemente continue; altri esempi sono le funzioni derivabili in un insieme
convesso la cui derivata è limitata (ad esempio le funzioni seno e coseno)
I polinomi di grado maggiore di 1 non sono funzioni uniformemente continue
sull'intera retta reale, sebbene lo siano sugli insiemi limitati
La funzione f(x)=1/x non è uniformemente continua nell'intervallo (0,1],
mostrando che funzioni continue su un insieme limitato non sono
necessariamente uniformemente continue
Neppure aggiungendo l'ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono
funzioni uniformemente continue: ad esempio la funzione f(x)=sin(1/x)
nell'intervallo (0,1] non è uniformemente continua
Ogni funzione lipschitziana f è uniformemente continua: dato
ε
>0, si può
scegliere
𝛿
:=
ε
/K dove K>0 è una costante di Lipschitz di f
La lipschizianità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'
uniforme continuità: f(x)=1/x
³
è Lip in (-∞,a)
∪
(a,+∞) con a>0 (ha derivata
limitata) ma non in tutto ℝ
⇒
f(x) è UC in questi intervalli. Per HC f(x) è UC
anche in [-a,a]
⇒
f(x) è UC su tutto ℝ pur non essendo Lip.
f:ℝ
→
ℝ continua e lim x
→
+∞ f=
𝓁
, lim x
→
-∞ f=
𝓂
,
𝓁
,
𝓂
∈
ℝ
⇒
f è
UC (in generale se ammette limite agli estremi è UC)
f
₀
,f:ℝ
→
ℝ, f
₀
UC, f continua tali che lim x
→
±∞ (f(x)-f
₀
(x))=0
⇒
f è UC
TEOREMA HEINE-CANTOR
f: [a,b]
→
ℝ continua
⇒
f è anche UC Si dimostra per assurdo
Basta che la funzione sia continua su su un insieme
compatto (in ℝⁿ un insieme chiuso e limitato)
MODULO DI CONTINUITÀ
Sia
ω
:[0,+∞]
→
[0,+∞], tale che
①
ω
(0)=0
②
ω
monotona crescente (debolmente)
③
lim t
→
0
⁺
ω
(t)=0
①
f:C⊆ℝ
→
ℝ, dico che
ω
è un modulo di continuità per f se:
✧
ω
soddisfa le tre proprietà
✧
|f(x)-f(y)|≤
ω
(|x-y|)
②
f ammette un MdC se esiste
ω
che è un MdC per f
f è UC
⟺
f ammette un MdC
