Soluzione di Adriana Lanza
Quesito – Sessione ordinaria 2012
Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente
nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due
punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel
determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r.
Si risolva il problema nel modo che si preferisce.
Commento
Si tratta di un problema classico tratto dalla Catottrica, l’opera di Erone sugli
specchi e sul comportamento della luce.
Erone, partendo dall’ipotesi che, nel propagarsi da un punto A a un punto B
nello stesso mezzo, la luce sceglie il percorso più breve, risolve questo
interessante problema di ottimizzazione e dimostra la legge della riflessione:
“l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione”.
Nel secolo XVII Fermat enunciò un principio più generale
“La luce, nel propagarsi da un punto A a un punto B, sceglie i cammini
continui che minimizzano il tempo di percorrenza”
Nel caso in cui la propagazione avviene nello stesso mezzo, quindi con la stessa
velocità, il cammino di minor tempo coincide con il percorso più breve.
Soluzione
Cominciamo con l’osservare che il cammino minimo che congiunge A con B,
toccando r per esempio in C, non può che essere una spezzata composta da
due segmenti, infatti
• I cammini che minimizzano le distanze sono segmenti
• Qualunque cammino che congiunge A e B toccando r è l’unione dei due
cammini parziali, che congiungono A e C e poi C e B
• I cammini parziali sono minimi se e
solo se sono segmenti
Primo metodo
Per trovare il percorso più breve ricorriamo
a una costruzione geometrica.
Si costruisce il punto A’ simmetrico di A
rispetto alla retta r.
Poiché A’C è congruente ad AC, il
problema si riduce a trovare il percorso più
breve per andare da A’ fino a B. In questo
caso il percorso più breve è il segmento
A’B che incontra in C la retta r.
Il punto C, così definito, è anche l’unico punto della retta tale che i segmenti AC e CB
formano angoli uguali con la retta r, In figura:𝛼=𝛽.
Dalla similitudine dei triangoli AEC e BFC, si deduce che la posizione di C è tale che
𝐸𝐶
𝐶𝐹=𝐴𝐸
𝐵𝐹
