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integrali matematica generale dispense
Tipologia: Dispense
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Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche
Appunti del corso di Matematica
Anno Accademico 2015/
abbiamo visto, per potenze razionali (^) dxd xq^ = q xq−^1. Nel nostro caso, vogliamo che q − 1 sia uguale a 12 , da cui q = 32. Infatti: d dx
x
x
x
x.
Questo risultato, a meno della costante 32 e il risultato che vorremmo ottenere. Per ovviare a questo problema sara dunque sufficiente porre:
F (x) =
x (^32) 3 2
x
3 (^2).
La funzione F (x) = 23 x
3 (^2) `e dunque l’antiderivata di f (x) =
x.
In generale ∀r ∈ Q, r 6 = −1 si ha che l’antiderivata di f (x) = xr `e uguale a F (x) = x r+ r+1. Il caso^ r^ =^ −1, corrispondente a^ f^ (x) =^
1 x e particolare, poich´e (^1) x NONe derivata di alcuna potenza. Invece, come e noto, f (x) = (^1) xe la derivata della funzione logaritmo:
d dx
ln(x) =
x
Dunque l’antiderivata di f (x) = (^1) x `e proprio F (x) = ln(x).
Al contrario delle derivate di funzioni elementari, determinare l’antiderivata di una funzione non e sempre banale e, a volte, data una f (x), none possibile trovare una funzione elementare F (x) tale che F ′(x) = f (x). Per esempio le funzioni f (x) = e−x 2 e g(x) =
x sin(x) non ammettono alcuna funzione elementare come antiderivata. Infine, l’antiderivata della funzione esponenziale f (x) = ex^ e la funzione stessa, F (x) = ex. Infatti: F ′(x) = (^) dxd F (x) = ex^ = f (x). Un’interessante proprieta dell’antiderivata `e riassunta nel seguente teorema:
Teorema 1.1. Sia F (x) un’antiderivata della funzione f (x) su (a, b). Allora la funzione G(x) = F (x) + c `e pure un’antiderivata di f (x) su (a, b) ∀c ∈ R.
Dimostrazione.Poich´e la funzione F (x) e derivabile su (a, b) an- che la funzione G(x) = F (x) + ce derivabile su (a, b) in quanto somma di funzioni derivabili (la funzione costante, c, `e derivabile ovunque). Per ipotesi F ′(x) = f (x). Quindi:
d dx
G(x) =
d dx
F (x) +
d dx
c = f (x) + 0 = f (x).
Quindi se una funzione f (x) ammette antiderivata F (x), esiste un’intera classe di funzioni antiderivate del tipo G(x) = F (x) + c con c ∈ R. In
figura 1 e illustrata la tesi del precedente teorema: le rette tangenti in punti aventi la stessa ascissa nelle due funzioni hanno la stessa pen- denza, ovvero le tangenti sono parallele. La separazione tra le due curvee costante e le curve si dicono parallele.
Figura 1. Esempio di due funzioni antiderivate della stessa funzione.
Definizione Sia a < b. Una partizione dell’intervallo [a, b] e un qualunque insieme finito e ordinato di punti distinti di [a, b] di cui il primoe a e l’ultimo `e b. Indicheremo una partizione con il simbolo
P = {x 0 , x 1 , ..., xn},
dove a = x 0 < x 1 < ... < xn = b.
Gli n+1 punti della partizione precedente inducono n sub-intervalli dell’intervallo [a, b]. L’ampiezza dell’i-esimo sub-intervallo `e denotato da ∆xi = xi − xi− 1 (^1) Strettamente parlando, in questa descrizione qualitativa, si dovrebbe parlare
di funzione a valori non negativi
curva. Inoltre, la somma superiore e quella inferiore covergono verso un unico numero (la loro differenza infatti diminuisce all’aumentare di n). Affinch´e una funzione sia integrabile e sufficiente (non necessario) che sia continua. La condizione di continuita non `e necessaria in quanto esistono funzioni non continue ma integrabili (vedremo alcuni esempi quando parleremo di integrali impropri). Ometteremo questa di- mostrazione ed introdurremo questo risultato tramite una definizione.
Definizione di integrale definito di funzioni continue. Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b] L’unico numero I che soddisfa la disuguaglianza:
s(f, P ) ≤ I ≤ S(f, P ), ∀P di [a, b]
e chiamato integrale definito di f su [a, b] ede denotato da ∫ (^) b
a
f (x)dx.
Nell’espressione che denota l’integrale, la variabile x, detta vari- abile di integrazione e una variabile “muta”, nel senso che non ha significato specifico e puo essere sostituita con qualsiasi simbolo. In molti casi, per evitare confusione con l’estremo di integrazione (poich´e a e b possono essere variabili), l’integrale pu`o essere espresso come ∫ (^) b
a
f (u)du, oppure
∫ (^) b
a
f (t)dt.
Il simbolo dx (oppure du o dt) `e detto differenziale della variabile di integrazione.
Come per i limiti, la definizione di integrale puo essere utilizzata per calcolarne il valore. Tuttavia, questoe possibile (o conveniente) solo in alcuni casi specifici.
Esempio 2. Verificare che, se k `e una costante reale allora: ∫ (^) b
a
k dx = k (b − a).
Essendo f (x) = k allora, in ogni sub-intervallo sar`a mi = k = Mi. Di conseguenza s(f, P ) = S(f, P ) = k ∆x 1 + k ∆x 2 + ... + k ∆xn =
= k (∆x 1 + ∆x 2 + ... + ∆xn) = k
∑^ n
i=
∆xi =
= k (b − a).
Esempio 2. Verificare che (^) ∫ (^) b
a
x dx =
(b^2 − a^2 ).
In Fig. 3 `e rappresentato il caso in cui l’integrale deve essere cal- colato su [1, 5]. Si nota facilmente che mi = xi− 1 e Mi = xi. Per esempio nel sub-intervallo [1. 5 , 2], m 2 = 1.5 e M 2 = 2. Pertanto possiamo scrivere s(f, P ) e S(f, P ) nel modo seguente:
s(f, P ) =
∑^ n
i=
xi− 1 ∆xi;
S(f, P ) =
∑^ n
i=
xi∆xi.
Si osservi che, ∀P , risulta:
xi− 1 ≤
(xi− 1 + xi) ≤ xi.
Moltiplicando ogni membro di questa disequazione per la quantit`a positiva ∆xi otteniamo:
∆xi xi− 1 ≤
∆xi (xi− 1 + xi) ≤ xi ∆xi.
Quindi, sommando su i risulta:
s(f, P ) =
∑^ n
i=
∆xi xi− 1 ≤
∑^ n
i=
∆xi (xi− 1 +xi) ≤
∑^ n
i=
xi ∆xi = S(f, P ).
Poich´e, per definizione, ∆xi = xi − xi− 1 allora ∆xi (xi− 1 + xi) = (xi −xi− 1 ) (xi− 1 +xi) = x^2 i −x^2 i− 1. Inoltre, calcolando la sommatoria, abbiamo: 1 2
∑^ n
i=
(x^2 i − x^2 i− 1 ) =
(x^21 − x^20 + x^22 − x^21 + ... + x^2 n − x^2 n− 1 ) =
(x^2 n − x^20 ) =
(b^2 − a^2 ).
Quindi, includendo questo risultato nelle ultime diseguaglianze, risulta: s(f, P ) ≤
(b^2 − a^2 ) ≤ S(f, P ), Quindi I = 12 (b^2 − a^2 ).
L’integrale definito secondo Riemann di una funzione f sull’intervallo [a, b] `e definito come il limite per ||P || → 0 di G(f, P ):
∫ (^) b
a
f (x)dx = lim ||P ||→ 0
G(f, P ) = lim ||P ||→ 0
∑^ n
i=
f (x∗ i )∆xi.
In altre parole, si definisce integrale secondo Riemann di f su [a, b] la quantit`a reale ∫ (^) b
a
f (x)dx
tale che ∀ > 0 ∃δ > 0 tale che ∀P : ||P || < δ allora: ∣ ∣ ∣ ∣G(f, P^ )^ −
∫ (^) b
a
f (x)dx
Si noti che, mentre per funzioni continue la definizione di Darboux e quella di Riemann sono equivalenti, la formulazione di Riemann e piu generale, poich´e consente di definire l’integrale anche di funzione non continue su tutto l’intervallo [a, b]^2.
Figura 4. Rettangoli ottenuti scegliendo punti arbi- trari x∗ i nei sub-intervalli [xi− 1 , xi]
Vediamo ora alcune propriet`a degli integrali.
3.1. Linerit`a dell’integrale. Siano f e g due funzioni continue su [a, b] e siano α e β due numeri reali. Allora: ∫ (^) b
a
[α f (x) + β g(x)] dx = α
∫ (^) b
a
f (x) dx + β
∫ (^) b
a
g(x) dx.
(^2) Questo argomento `e abbastanza delicato e non lo approfondiremo ulterior-
mente, finch´e non parleremo di integrali impropri.
3.2. Additivit`a rispetto all’intervallo di integrazione. Sia f una funzione continua su [a, b] e sia c ∈ [a, b]. Risulta: ∫ (^) b
a
f (x) dx =
∫ (^) c
a
f (x) dx +
∫ (^) b
c
f (x) dx.
3.3. Monotonia. Siano f e g due funzioni continue su [a, b] tali che f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b]. Allora: ∫ (^) b
a
f (x) dx ≤
∫ (^) b
a
g(x) dx.
Come per il calcolo dei limiti, utilizzare la definizione (secondo Dar- boux o secondo Riemann) di integrale per il calcolo dell’integrale di una funzione generica puo risultare molto complicato. Vedremo ora alcuni teoremi propedeutici alla dimostrazione di alcuni risultati fondamentali del calcolo integrale, i quali, a loro volta, ci mostreranno vie molto piu agevoli, rispetto all’utilizzo della definizione, per calcolare l’integrale di una generica funzione.
Teorema 3.1 (della media integrale). Sia f : [a, b] → R una fun- zione continua su [a, b]. Allora ∃c ∈ [a, b] tale che:
f (c) =
b − a
∫ (^) b
a
f (x) dx.
Dimostrazione.Essendo la funzione f continua su [a, b] allora, per il teorema di Weierstrass, essa ammette massimo M e minimo m su [a, b]. Pertanto
m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b].
Per la propriet`a di monotonia dell’integrale (vista sopra) avremo: ∫ (^) b
a
m dx ≤
∫ (^) b
a
f (x) dx ≤
∫ (^) b
a
M dx,
che, tenuto conto della proprieta di linearita dell’integrale (quindi del
fatto che
∫ (^) b a m dx^ =^ m^
∫ (^) b a dx^ =^ m^ (b^ −^ a)), possiamo riscrivere come:
m(b − a) ≤
∫ (^) b
a
f (x) dx ≤ M (b − a),
da cui:
m ≤
(b − a)
∫ (^) b
a
f (x) dx ≤ M.
Poich´e f e (per ipotesi) continua su [a, b] vale il teorema dei valori intermedi (TVI, teorema 1.2 degli appunti sulla continuita) quindi, preso comunque un k in [m, M ] allora esiste c ∈ [a, b] tale che f (c) = k.
Per il teorema della media integrale (visto sopra) ∃c ∈ [x, x + h] tale che: (^) ∫ x+h x f^ (t)^ dt h
= f (c) ⇒
F (x + h) − F (x) h
= f (c).
Inoltre, dato che x ≤ c ≤ x + h, se h → 0, allora c → x. Inoltre, per la continuit`a di f (x), avremo che limc→x f (c) = f (x) e quindi:
F ′(x) = lim h→ 0
F (x + h) − F (x) h
= lim c→x
f (c) = f (x).
Questo teorema e molto importante in quanto stabilisce una con- nessione fra l’integrale e la derivata di una funzione. In particolare, la funzione integrale, F (x),e una anti-derivata della funzione inte- granda, f (x). Infatti, il teorema precedente dimostra proprio che F ′(x) (la derivata della funzione integrale) e uguale a f (x) (la funzione in- tegranda). Ma questae la definizione di anti-derivata, ossia F (x) `e un’anti-derivata di f (x): F ′(x) = f (x). Il risultato di questo teorema fornisce uno strumento alternativo per il calcolo dell’integrale di una funzione continua, alternativo ai metodi di Darboux e Riemann.
Teorema 3.3 (Formula fondamentale del calcolo integrale). Sia f : [a, b] → R una funzione continua su [a, b] e sia, inoltre, F (x) un’anti-derivata di f (x), ossia tale che F ′(x) = f (x). Allora: ∫ (^) b
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
Dimostrazione.Si consideri una partizione P = {x 0 = a, x 1 , ..., xn = b} di [a, b]. Possiamo scrivere che:
F (b) − F (a) = F (xn) − F (x 0 ) = = F (x 1 ) − F (x 0 ) + F (x 2 ) − F (x 1 ) + ... + F (xn) − F (xn− 1 ) =
∑^ n
i=
[F (xi) − F (xi− 1 )].
Essendo F (x) derivabile (per definizione di anti-derivata) allora possi- amo applicare il teorema del valore medio ad F (x) in ogni intervallino [xi− 1 , xi]. Quindi ∀i = 1, ..., n ∃ci ∈ [xi− 1 , xi] tale che
F ′(ci) =
F (xi) − F (xi− 1 ) ∆xi
da cui, ricordando che per ipotesi F ′(ci) = f (ci) e sostituendo nella sommatoria ottenuta sopra per esprimere F (b) − F (a), si ottiene:
F (b) − F (a) =
∑^ n
i=
F ′(ci)∆xi =
∑^ n
i=
f (ci)∆xi.
Si osservi che l’ultima sommatoria `e una sommatoria di Riemann (i punti ci sono gli x∗ i della definizione). Quindi per ||P || → 0 otteniamo:
lim ||P ||→ 0
∑^ n
i=
f (ci)∆xi =
∫ (^) b
a
f (x)dx,
da cui segue la tesi:
F (b) − F (a) =
∫ (^) b
a
f (x)dx.
La formula fondamentale del calcolo integrale permette di calcolare l’integrale “semplicemente” cercando l’anti-derivata (o primitiva) della funzione integranda. Questa ricerca tuttavia, non e sempre semplice; inoltre, per alcune funzioni none possibile esprimere un’anti-derivata tramite una combinazione (finita) di funzioni elementari.
Definizione di integrale indefinito. Si definisce integrale indefinito di una funzione f : I → R l’insieme di tutte le anti-derivate (o primi- tive) di f (x). Indicheremo l’integrale indefinito di f(x) col simbolo ∫ f (x) dx.
Si osserva che due anti-derivate differiscono per una costante ad- ditiva. Per questo motivo, se F (x) `e una primitiva di f (x) si scrive che: (^) ∫
f (x) dx = F (x) + c,
dove c `e una costante arbitraria, che prende il nome di costante di integrazione.
Possiamo riassumere nei seguenti punti i passi necessari per il calcolo dell’integrale definito di una funzione f (x) su un intervallo [a, b]:
(1) Trovare un’anti-derivata, F (x), di f(x). (2) Determinare il valore di F (x) negli estremi di integrazione: F (a) e F (b). (3) L’integrale definito di f (x) su [a, b] sara data dalla differenza F (b) − F (a). IMPORTANTE: un aspetto che finora non abbiamo sottolineatoe che l’integrale di una funzione su un certo intervallo pu`o essere negativo. Questo accade quando la funzione integranda f (x) determina un’area al di sotto dell’asse delle ascisse maggiore di quella che determina al di sopra dell’asse.
