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13. INTERVALLI DI CONFIDENZA
13.1 Generalità sugli intervalli di confidenza
Da un’indagine campionaria effettuata per conoscere il valore ignoto di un parametro , il campione
osservato fornisce, tramite il calcolo del valore assunto da uno stimatore T , una stima t del parametro
Ovviamente il valore di questa stima dipende da quali unità sono state campionate ed è quindi solo uno
dei possibili valori che T può assumere.
Il valore t assunto dalla v.c. T sul campione osservato è chiamato stima puntuale di ed è chiaro che,
anche se lo stimatore T ha proprietà ottimali, la probabilità di estrarre un campione che fornisca il valore
vero del parametro, ossia la probabilità P( T = ), diminuisce al crescere dei possibili valori di T ed è uguale
a zero se T è una variabile continua. Conviene allora prendere in considerazione, anziché il singolo valore t dello stimatore T , un opportuno
intervallo di valori plausibili Il metodo generale per costruire intervalli di confidenza consiste
nell'individuare una quantità, detta quantità pivotale, 𝜏(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝜃), funzione delle variabili casuali campionarie e di 𝜃 e tale che la sua distribuzione di probabilità sia nota per ogni 𝜃 e non dipenda da nessuna caratteristica incognita della distribuzione di probabilità delle v.c. campionarie. Se la quantità pivotale 𝜏(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝜃) ammette funzione di densità, scelti , nell'intervallo (0,1) si possono determinare gli opportuni quantili t 1 e t 2 di 𝜏(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝜃), affinché P(𝜏(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝜃) ≥ t 2 ) = e P(𝜏(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝜃) ≤ t 1 ) = da cui P( t 1 ≤ 𝜏(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝜃) ≤ t 2 ) = 1- con +. Inoltre, nel caso in cui, per ogni realizzazione campionaria 𝑥 1 , … , 𝑥𝑛, la quantità pivotale è monotona in 𝜃, la disuguaglianza precedente è invertibile rispetto a 𝜃 ed è possibile ottenere l’intervallo di confidenza per 𝜃. In particolare, se la quantità pivotale è monotona crescente in 𝜃, si ottiene P(𝜏−^1 (𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 1 ) ≤ 𝜃 ≤ 𝜏−^1 (𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 2 )) = 1- Quindi l’intervallo casuale [𝜏−1(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 1 ), 𝜏−1(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 2 )] contiene il parametro 𝜃 con probabilità 1-L'intervallo [𝜏−1(𝑥 1 , … , 𝑥𝑛, 𝑡 1 ), 𝜏−1(𝑥 1 , … , 𝑥𝑛, 𝑡 2 )] ottenuto sulla base del campione osservato costituisce la realizzazione di un intervallo casuale
L’intervallo [𝜏−^1 (𝑥 1 , … , 𝑥𝑛, 𝑡 1 ), 𝜏−^1 (𝑥 1 , … , 𝑥𝑛, 𝑡 2 )] costituisce una stima intervallare di , di solito
indicata con la locuzione intervallo di confidenza di al livello 1 -
È sbagliato dire che l’intervallo [𝜏−1(𝑥 1 , … , 𝑥𝑛, 𝑡 1 ), 𝜏−1(𝑥 1 , … , 𝑥𝑛, 𝑡 2 )] contiene il parametro con
probabilità 1 : una volta che l’intervallo è stato costruito sulla base del campione osservato, è contenuto
nell’intervallo oppure non vi è contenuto (non conoscendo non è possibile saperlo). Si può però affermare
che 1 è la probabilità che si ottenga un intervallo che contiene il parametro. Lo scopo dell’indagine
campionaria consiste nel costruire un intervallo [𝜏−1(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 1 ), 𝜏−1(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 2 )] che contenga il
valore vero del parametro con un livello di probabilità sufficientemente elevato, detto anche livello di
confidenza o livello di copertura. Questo livello viene usualmente indicato con la notazione 1 e i valori
più comunemente utilizzati sono 0.90, 0.95 e 0.99. Le quantità pivotali che saranno introdotte nei prossimi paragrafi saranno monotone crescenti. Per questo motivo, non sarà approfondito il caso in cui la quantità pivotale è monotona decrescente in 𝜃. Comunque, in questo caso, valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per quantità pivotale monotona crescente e l’intervallo è [𝜏−1(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 2 ), 𝜏−1(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 1 )], ovvero P(𝜏−^1 (𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 2 ) ≤ 𝜃 ≤ 𝜏−^1 (𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝑡 1 )) = 1-
In teoria si possono costruire infiniti intervalli di confidenza per un prefissato livello di probabilità 1 , a
seconda di come sono scelti e in modo che la loro somma sia , ma è evidente che l’intervallo più
conveniente è quello di minore ampiezza. Si può dimostrare che se 𝜏(𝑋 1 , … , 𝑋𝑛, 𝜃) ha una distribuzione
simmetrica intorno all’origine, l’intervallo di minore ampiezza è quello costruito scegliendo = = /2.
In questo caso i quantili t 1 e t 2 sono tali che t 1 = t 2.
13.2 Intervallo di confidenza di
Per mostrare dettagliatamente l’applicazione del metodo della quantità pivotale, inizialmente si supponga che un campione casuale di numerosità n sia estratto da una popolazione normale di varianza nota. È noto
che per ottenere una stima del parametro si utilizza lo stimatore media campionaria X , che in questo
caso ha distribuzione di probabilità
N μ n
2
,^ . Considerando la v.c. standardizzata, risulta
σ n Z X μ ~ N ^0 ,^1 13.1.
Nella figura 13.1.1 solo quattro intervalli contengono il valore vero del parametro ignoto, mentre uno di
essi ha l'estremo destro inferiore a .
Figura 13.1.
Rappresentazione grafica di alcuni intervalli di confidenza di
Una volta estratto il campione ed ottenuto il valore x di X , l'intervallo di confidenza di è delimitato
dagli estremi
x z 1 α/ 2 σ/ n, x z 1 α/ 2 σ/ n 13.1.
Esempio Da una popolazione con distribuzione normale di parametro ignoto e di varianza ^2 = 4 è stato estratto un campione di 16 elementi la cui media aritmetica è risultata uguale a 5. L'intervallo di confidenza di al livello di probabilità del 95% si costruisce tenendo presente che z 0.975=1.96 e risulta uguale a [4.02, 5.98].
L’intervallo di confidenza costruito sulla base del campione osservato è la realizzazione di un intervallo
casuale che contiene il parametro con probabilità Sembrerebbe preferibile scegliere 1- più grande
possibile ma all’aumentare di aumenta l’ampiezza dell’intervallo di confidenza risultando meno
informativo. Se non si fosse disposti ad accettare la possibilità di commettere errori, infatti, si potrebbe solo
affermare con certezza che il parametro di una popolazione normale è compresa tra e +, ma questa
conclusione sarebbe del tutto inutile. D’altra parte, se si riduce l'ampiezza dell'intervallo, si riduce la probabilità che l’intervallo casuale contenga il parametro e quindi la probabilità che il procedimento fornisca un intervallo di valori che contenga il parametro.
In generale, dalla 13.1.4 si nota che l’ampiezza di un intervallo di confidenza di per una popolazione di
varianza nota aumenta al crescere del livello di probabilità 1 e del valore di ^2 mentre diminuisce
all’aumentare del numero di unità statistiche rilevate.
È stato determinato l'intervallo di confidenza di sotto la condizione che sia nota la varianza della
popolazione, ma nelle situazioni reali questo parametro è generalmente ignoto, per cui la funzione 13.1.
non è una quantità pivotale. La varianza ^2 può essere però stimata in modo corretto e coerente mediante
lo stimatore (^) S c^2 per cui, al posto della 13.1.1, si può utilizzare la seguente funzione delle variabili casuali
campionarie e del parametro
S n
X μ c
~ tn -1 13.2.
che è una quantità pivotale. Infatti, si osservi che
S n
X μ c
𝑋̅−𝜇𝜎 √𝑛 √(𝑛−1) S c^2 (𝑛−1)^ 𝜎^2
si distribuisce come una t di Student con n 1 gradi di libertà, poiché la v.c. ( n -1) S c^2 / ^2 ha una distribuzione
𝜒𝑛−1^2 ed è indipendente dalla v.c. X. Seguendo lo stesso procedimento utilizzato in precedenza, dato che
anche la t è simmetrica rispetto allo 0, si ottiene l’intervallo di confidenza di , i cui estremi dipendono dai
quantili della tn 1 di ordine /2 e di ordine 1/2 anziché dai quantili di ordine /2 e di ordine 1/2 della
normale standard. Quindi
[𝑥̅ − 𝑡𝑛−1,1−𝛼 2 √𝑛^ 𝑠𝑐 , 𝑥̅ + 𝑡𝑛−1,1−𝛼/2 √𝑛𝑠𝑐] 13.2.
è l’intervallo di confidenza per assumendo che la variabile di interesse, e quindi le v.c. campionarie,
abbia distribuzione normale con varianza non nota.
Esempio 13.2. Si costruisca l’intervallo di confidenza di al livello di probabilità del 95% sulla base di un campione di numerosità 10 su cui sono state ottenuti 𝑥̅ =10.8 e 𝑠𝑐^2 = 4.01̅ Dato che t 9,0.975 = 2.262, l’intervallo di confidenza è dato da
10.80 2.262 4.0 101 ,10.802.262 4.0 101
In questo caso l’intervallo così determinato contiene il valore vero della media della popolazione che è uguale a 10.
(^)
13.3 Intervallo di confidenza di
Assumendo che la variabile di interesse abbia distribuzione di Bernoulli di paramentro l’intervallo di
confidenza di si basa sulla distribuzione dello stimatore media campionaria, chiamata anche proporzione
campionaria e indicata con P ˆ. Il teorema limite centrale consente di approssimare la distribuzione di P ˆ
con una distribuzione normale di valore atteso e di varianza pari a π^ ^1 n ^ π .
La funzione di e delle variabili casuali campionarie
n
π π
P π
non è tuttavia una quantità pivotale, in quanto dipende dalla varianza della proporzione campionaria, che a
sua volta dipende dalla varianza della variabile casuale di Bernoulli che coincide con π 1 π . Per stimare
la varianza si considera la varianza campionaria, che nel caso di variabili casuali campionarie con distribuzione di Bernoulli poiché X (^) i^2 Xi risulta
𝑆^2 =^1 𝑛 ∑(𝑋𝑖 − 𝑃̂)^2 =
𝑛
𝑖=
2 − 𝑃̂ 2 =^1
𝑛 ∑ 𝑋𝑖^ − 𝑃̂
𝑛
𝑖=
𝑛
𝑖=
Sostituendo al denominatore la varianza campionaria al posto della varianza, si ottiene la seguente quantità pivotale
n
P P
P π ˆ 1 ˆ
che al crescere della numerosità campionaria tende a una distribuzione normale standard. In analogia a quanto visto in precedenza risulta
^ ^ ^ ^ ^ ^
(^) P P ˆ^ z 1 / 2 P ˆ^1 n P ˆ P ˆ z 1 / 2 P ˆ^1 nP^ ˆ 1 13.3.
per cui l’intervallo di confidenza di al livello di copertura approssimato 1 è il seguente
n p z p p n p ˆ^ z p ˆ^1 p^ ˆ , ˆ ˆ^1 ˆ 1 / 2 1 / 2
Esempio In occasione di un referendum abrogativo viene effettuato un sondaggio preliminare su un campione di 1000 individui. Sapendo che su 1000 intervistati 650 sono favorevoli all’abrogazione della legge, la proporzione campionaria di
persone favorevoli all’abrogazione è ˆ p 0. 65 e l’intervallo di confidenza per ad un livello di confidenza del 99%
è delimitato dagli estremi
(^) 1000 , 0. 65 2. 576 0.^650.^35 1000
- 65 2. 576 0.^650.^35.
L’intervallo di confidenza al livello approssimato del 99% è quindi [0.6111, 0.6889]. Si osservi che rappresenta la probabilità che unindividuo scelto casualmente si dichiari favorevole all’abrogazione.
