INTERVALLI DI CONFIDENZA 0
GLI INTERVALLI DI
CONFIDENZA
VALERIO MORBELLI
MATRICOLA 539062
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Intervalli di confidenza: guida completa con esempi, Appunti di Statistica
Breve relazione su Intervalli di confidenza
Tipologia: Appunti
2021/2022
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GLI INTERVALLI DI
CONFIDENZA
VALERIO MORBELLI
MATRICOLA 539062
Il modo migliore per scoprire se ci si può fidare di qualcuno è di dargli fiducia.
ERNEST HEMINGWAY
INDICE
(^1) Cosa è un intervallo di confidenza? Pag. 1
2 I parametri della popolazione Pag. 2
3 Perché si usano gli intervalli di confidenza Pag. 2
(^4) La stima campionaria Pag. 3
5 L’errore standard Pag. 5
6 Variabile casuale e valori critici Pag. 6
7 Intervallo di confidenza Pag. 8
8 Come calcolare gli intervalli di confidenza Pag. 10
9 Osservazioni sull’ampiezza degli intervalli di confidenza e del cambiamento della numerosità
Pag. 11
(^10) Il cambiamento della varianza e del livello di confidenza
Pag.
11 Utilizzo degli intervalli di confidenza Pag.
12 Riassumendo Pag.
Quind i se il campione è rappresentativo, gli intervalli di confidenza lo aiutano a scoprire il vero valore che sta cercando nella popolazione.
4. La stima campionaria
Per calcolare gli intervalli di confidenza per il parametro reale della popolazione dobbiamo avere la stima di tale parametro (*). Ad esempio, se si deve stimare la media della popolazione si utilizzerà la media campionaria, ovvero la somma delle osservazioni del campione fratto il numero di osservazioni. Se, invece, si deve trovare l’intervallo di confidenza per la differenza tra due medie, la stima che dovrà essere utilizzata sarà la differenza delle medie campionarie di ciascuno dei due campioni, e così via. Qui sotto viene presentata una tabella con l’elenco delle stime puntuali (seconda colonna) per ciascun parametro della popolazione (prima colonna). Qui ne sono state messe solo quattro, ma possono essere molte di più.
5. L’errore standard
Un altro tassello fondamentale per la costruzione di una stima intervallare è l’errore standard della stima (SE = Standard Error), ovvero l’errore che si commette considerando il valore campionario * piuttosto che quello dell’intera popolazione.
6. Variabile casuale e valori critici
Considerati i parametri noti e non noti della popolazione in esame, ottieni una variabile casuale, di cui si conosce la distribuzione di probabilità e a partire dalla quale puoi ricavare i cosiddetti valori critici, utili ai fini del calcolo degli intervalli di confidenza.
Questi valori critici, ±z1-/2 sono i valori estremi sulla curva della distribuzione che delimitano l’area sottesa centrale con probabilità (1-)% da quelle sottese nelle due code ciascuna corrispondente ad (/2)%.
7. Intervallo di confidenza
Per capire meglio il concetto, guarda il grafico qui sotto che rappresenta la funzione di densità della media della popolazione, che segue una distribuzione normale .Avendo scelto un livello di fiducia del 95%, il valore critico 1,96 si trova andando a consultare la tavola statistica della distribuzione normale standard. Questo significa che la probabilità che il valore medio della popolazione sia compresa tra -1,96 e 1,96 deviazioni standard è del 95%; di contro hai una probabilità del 5% (suddivisa tra le due code) che la media della popolazione rimanga al di fuori di tale intervallo.
L’esempio grafica è stato fatto con la normale standardizzata (Z) ma vale lo stesso principio per la t-student (T).
Il margine di errore
A questo punto, si deve moltiplicare l’errore standard calcolato al punto 2 per il valore critico trovato al punto 3.
L'estremo inferiore e l'estremo superiore
Per trovare l’estremo inferiore devi sottrarre il margine d’errore dalla stima. Per trovare l'estremo superiore devi sommare il margine d’errore alla stima.
9. Osservazioni sull’ampiezza degli intervalli di confidenza e del cambiamento della numerosità
Si può osservare che modificando la dimensione campionaria e/o il livello di confidenza, si modifica l’ampiezza dell’intervallo e di conseguenza anche l’accuratezza della stima e se si aumenta la dimensione campionaria n → l’errore standard diminuisce → il margine di errore diminuisce pure → i due estremi dell’intervallo si avvicinano alla stima → l’intervallo si restringe.
In particolare, se si quadruplica n nel caso specifico di un intervallo per la media della popolazione :
nel caso 4n l’intervallo si è dimezzato.
10. Il cambiamento della varianza e del livello di confidenza
Se la varianza σ2 dei dati diminuisce, diminuisce pure l’errore standard e quindi ricadi nel caso 1. Ma cosa succede se cambi il livello di confidenza? Si prenda in esame l’intervallo di confidenza al 95% e si confronti con quello al 99%. Per il primo si ha un valore critico pari a z1-/2 = 1,96 mentre per il secondo z1-/2 = 2,576.
Quindi si può osservare che se il valore critico aumenta → aumenta anche il margine di errore → aumenta l’ampiezza dell’intervallo. Al crescere del livello di confidenza aumenta anche l’ampiezza dell’intervallo, ma un intervallo più ampio, dal punto di vista statistico, indica una stima meno accurata.
Per esempio, si può facilmente indovinare il range in cui si trova il reddito annuale di un individuo dicendoti che esso sta tra 0 e 10 miliardi e la stima è sicuramente corretta, ma poco precisa dato, che gli estremi del range si allontanano molto dal suo reddito reale. Possiamo quindi affermare , a parità di condizioni, che:
gli intervalli di confidenza aumentano quando diminuisci il livello alfa di significatività, generando più probabilità nel trovare il parametro della popolazione ma al tempo stesso creando più imprecisione della stima. gli intervalli di confidenza diminuiscono quando aumenti il livello alfa di significatività, generando meno probabilità nel trovare il parametro della popolazione ma al tempo stesso creando più precisione della stima.
11. Utilizzo degli intervalli di confidenza
Gli intervalli di confidenza sono spesso utilizzati nella scienza e nell’ingegneria , come stime degli intervalli per i parametri della popolazione, per test di ipotesi, controllo statistico dei processi e analisi dei dati per vedere quanto bene un determinato parametro si adatta a un determinato set di dati. Sebbene sia possibile calcolare manualmente gli intervalli di confidenza ( per alcune applicazioni, come le popolazioni normalmente distribuite con medie e varianze note, le equazioni utilizzate per calcolare gli intervalli di confidenza sono facilmente disponibili così come le tabelle da utilizzare per trovare i valori per zα/2)in genere ) quando i set di dati sono estremamente grandi, è più semplice e molto più veloce utilizzare programmi di statistica specializzati o calcolatori grafici avanzati specialmente in ingegneria e nel mondo scientifico quando si richiedono metodi di calcolo più sofisticati.
12. Riassumendo a) Gli intervalli di confidenza stimano uno parametro o più parametri incogniti della popolazione analizzata. b) Per stimare il vero parametro della popolazione si sceglie l’opportuna stima campionaria che varia in base al parametro. c) Per calcolare gli intervalli di confidenza, oltre alla stima, sono necessari il valore critico proveniente dalla distribuzione della variabile casuale e l’errore standard della stima. d) L’ampiezza degli intervalli di confidenza variano al variare di dimensione del campione, varianza e livello di confidenza.