Scarica Iperbole matematica 4 superiore e più Dispense in PDF di Matematica solo su Docsity!
IPERBOLE
1) Definizione di iperbole come luogo geometrico. L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante, in valore assoluto, la differenza delle distanze di tali punti da due punti fissi dati detti fuochi.
2) Trova l’equazione canonica di un’iperbole con i fuochi sull’asse delle x e simmetrici rispetto all’origine del piano cartesiano, sapendo che la differenza, in valore assoluto, delle distanze dei punti dell’iperbole dai due fuochi misura 2a e che la distanza tra i due fuochi misura 2c.
Il problema è risolvibile solo se il valore dell’espressione 2c risulta essere maggiore dell’espressione 2a. Infatti, osservando la figura disegnata a fianco, il lato F 1 F 2 di misura 2c, per un noto teorema della geometria euclidea, è sempre maggiore della differenza in valore assoluto degli altri due lati, diffrenza che misura 2a.
Imponendo che |PF 1 -PF 2 |=2a, calcolando le
distanze tra i punti e risolvendo l’equazione irrazionale trovata ( passaggi simili a quelli dell’ellisse), si arriva a scrivere l’equazione dell’iperbole che avrà la seguente formula:
𝑥 2 𝑎 2 −
dove𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎 2
Nota bene: Il termine a 2 può essere minore, uguale o maggiore di b 2
3) Qual è l’equazione canonica di una iperbole con i fuochi sull’asse y e simmetrici rispetto all’ origine? Indicando sempre con 2a l’espressione che identifica la differenza delle distanze dei punti dell’iperbole dai due fuochi, cioè |PF 1 -PF 2 |=2a e con 2c che identifica la distanza tra i due fuochi, con analoghi passaggi si determina l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse y 𝑦 2 𝑎 2 −
sempre con 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎 2
4) Studia le principali caratteristiche dell’iperbole di equazione 𝑥 2 𝑎 2 −
E’ una iperbole perché i termini collegati a x 2 e y 2 hanno segni discordi è poiché l’equazione è scritta in forma canonica con il segno – davanti al termine y^2 , l’iperbole ha i fuochi sull’asse x.
Caratteristiche:
Asse trasverso =2a ( sull’asse dei fuochi – asse delle x)
Asse non trasverso= 2b ( sull’asse delle y) Vertici sull’asse x = V1,2(±a;0) -> soluzione del sistema � (^) 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒𝑦^ = 0 (𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒^ 𝑥)
Fuochi asse x 𝐹 1 , 2 �√𝑎 2 + 𝑏 2 ; 0�, poiché 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎 2 → 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 e quindi 𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2
Asintoti: 𝑦 = ± 𝑏𝑎 𝑥
