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LL’’iippeerrbboollee
L’
i
i p
p e
e r
r b
b o
o l
l e
e è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la
differenza delle distanze da due punti fissi detti ffuuoocchhii.
Come si evince del grafico, la differenza delle distanze ܲܨ
ଵ
ଶ
è:
positiva se ܲ è più vicino a ܨ
ଶ
negativa se ܲ è più vicino a ܨ ଵ
Pertanto, per includere entrambi i casi occorre utilizzare il valore assoluto.
ଵ
ଶ
Il punto medio del segmento ܨ ଵ
ଶ
è detto cceennttrroo dell’iperbole.
La distanza fra i fuochi ܨ ଵ
e ܨ
ଶ
è detta d
d i
i s
s t
t a
a n
n z
z a
a f
f o
o c
c a
a l
l e
e.
I
I
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h
h
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n
n
e
e
n
n
t
t
i
i
a
a
l
l
l
l
a
a
s
s
s
s
e
e
x
x
Consideriamo l’iperbole che ha il centro nell’origine degli assi cartesiani e
i fuochi ܨ ଵ
e ܨ
ଶ
sull’asse ݔ.
Dalla definizione si ha che:
ଶ
ଵ
(avendo indicato con 2 ܽ > 0 la differenza costante).
In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due. Pertanto,
nel triangolo ܲ ܨ ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
Indicato con ܲ ሺݔ ; ݕሻ un generico punto del piano si ha:
ଶ
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Risolviamo la prima equazione: ඥሺܿ+ ݔ ሻ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
; elevando ambo i membri al quadrato
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
; elevando ambo i membri al quadrato
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Essendo ܿܽ ; ܿ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Pertanto si può porre ܿ
ଶ
ଶ
ଶ
sostituendo si ha:
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
= 0 ; dividendo per ܽ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
EEqquuaazziioonnee ccaannoonniiccaa o nnoorrmmaallee dell’iperbole a centro con i fuochi appartenenti all’asse ݔ.
Si perviene a questa forma anche risolvendo la seconda equazione: ඥሺܿ+ ݔ ሻ
ଶ
ݕ +
ଶ
− ඥሺܿ− ݔ ሻ
ଶ
ݕ +
ଶ
= − 2 ܽ ;
ݔඥ
ଶ
ܿ+
ଶ
ଶ
ଶ
ܿ+
ଶ
− 2 ܿ ݕ + ݔ
ଶ
;
ݔ
ଶ
ܿ+
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ܿ+
ଶ
ଶ
ݔ =
ଶ
ܿ+
ଶ
− 2 ܿ ݕ + ݔ
ଶ
;
4 ܿ ݔ 4 ܽ
ଶ
ଶ
ܿ+
ଶ
ଶ
= 0 ; 4 ܿ + ݔ 4 ܽ
ଶ
= − 4 ܽ ඥݔ
ଶ
ܿ+
ଶ
ଶ
;
ܿܽ+ ݔ
ଶ
ܽ− = ඥݔ
ଶ
ܿ+
ଶ
ଶ
; ܿ
ଶ
ݔ
ଶ
ܽ+
ସ
ଶ
ܿ ܽ= ݔ
ଶ
ሺݔ
ଶ
ܿ+
ଶ
ଶ
ሻ ;
ܿ
ଶ
ݔ
ଶ
ܽ+
ସ
ଶ
ܿ ܽ= ݔ
ଶ
ݔ
ଶ
ܽ+
ଶ
ܿ
ଶ
ଶ
ܿ ܽ+ ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
; ܿ
ଶ
ݔ
ଶ
ܽ+
ସ
ܽ−
ଶ
ݔ
ଶ
ܽ−
ଶ
ܿ
ଶ
ܽ−
ଶ
ݕ
ଶ
= 0 ;
ሺ ܿ
ଶ
− ܽ
ଶ
ሻ ݔ
ଶ
− ܽ
ଶ
ݕ
ଶ
− ܽ
ଶ
ሺ ܿ
ଶ
− ܽ
ଶ
ሻ = 0 ; ponendo ܿ
ଶ
− ܽ
ଶ
= ܾ
ଶ
si ottiene ܾ
ଶ
ݔ
ଶ
− ܽ
ଶ
ݕ
ଶ
− ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
= 0 ;
௫
మ
మ
−
௬
మ
మ
= 1.
Proprietà 1
L’iperbole è una curva ssiimmmmeettrriiccaa rispetto all’asse ݔ, all’asse ݕ e all’origine.
Infatti, poiché nell’equazione dell’iperbole sia la variabile ݔ sia la variabile ݕ compaiono solo elevate a potenza pari, se
un punto ܲ ଵ
ሺݔ ; ݕሻ è un punto dell’iperbole, lo sono anche i punti ܲ
ଶ
ଷ
ସ
ሺݔ− ; ݕ−ሻ perché le loro
coordinate ne verificano l’equazione, dato che ሺ∓ݔሻ
ଶ
ଶ
e ሺ∓ݕሻ
ଶ
ଶ
Proprietà 2
I fuochi dell’iperbole hanno coordinate ܨ
ଵ
ଶ
ଶ
; 0 ൯ e ܨ
ଶ
ଶ
ଶ
L’iperbole interseca l’asse ݔ nei punti ܸ ଵ
ሺܽ ; 0ሻ e ܸ
ଶ
ሺܽ− ; 0ሻ detti v
v e
e r
r t
t i
i c
c i
i dell’iperbole.
L’iperbole non interseca l’asse ݕ. I punti ܸ ଷ
e ܸ
ସ
sono detti vveerrttiiccii nnoonn rreeaallii dell’iperbole.
Il segmento ܸ
ଵ
ଶ
= 2 ܽ è detto a
a s
s s
s e
e t
t r
r a
a s
s v
v e
e r
r s
s o
o. Il segmento ܸ
ଷ
ସ
= 2 ܾ è detto a
a s
s s
s e
e n
n o
o n
n t
t r
r a
a s
s v
v e
e r
r s
s o
o.
Infatti risolvendo i due sistemi:
ቐ
ݔ
ଶ
ܽ
ଶ
−
ݕ
ଶ
ܾ
ଶ
= 1
= ݕ 0
ቐ
ݔ
ଶ
ܽ
ଶ
= 1
= ݕ 0
൜
ݔ
ଶ
ܽ=
ଶ
= ݕ 0
൜
= ݔ ∓ܽ
= ݕ 0
൝
ݔ
ଶ
ܽ
ଶ
−
ݕ
ଶ
ܾ
ଶ
= 1
= ݔ 0
൝
ݕ
ଶ
ܾ
ଶ
= − 1
= ݔ 0
∄ሺݔ; ݕሻ ∈ R
ଶ
Proprietà 3
L’iperbole è una ccuurrvvaa iilllliimmiittaattaa.
Riscrivendo l’equazione sotto la forma ݕ
ଶ
మ
మ
ଶ
ଶ
ሻ si deduce che: ݔ
ଶ
ଶ
0 cioè ܽ− ݔ ∨ ܽ ݔ.
I punti della curva si trovano quindi al di fuori della striscia limitata delle rette ܽ− = ݔ e ܽ= ݔ , e quindi è formata da
due rami.
Proprietà 4
La relazione ܿ
ଶ
ଶ
ଶ
può essere interpretata come la relazione del teorema
di Pitagora applicata al triangolo ܸܱ ଵ
Proprietà 5
L’iperbole ha per a
a s
s i
i n
n t
t o
o t
t i
i le rette ݕ = ∓
Consideriamo le intersezioni dell’iperbole con una retta generica passante per l’origine:
௫
మ
మ
௬
మ
మ
si ottengono le soluzioni ቀ = ݔ ∓
√
మ
ି
మ
మ
√
మ
ି
మ
మ
Queste soluzioni sono reali solo se ܾ
ଶ
ଶ
ଶ
0 cioè se −
L’iperbole è quindi intersecata da rette passanti per l’origine
che si trovano all’interno dei due angoli opposti al vertice
formati dalle rette = ݕ ∓
ݔ e contenenti l’asse x.
Osserviamo inoltre che, assegnando al coefficiente angolare
݉ , valori sempre più vicini a ∓
l’espressione a
denominatore ܾ
ଶ
ଶ
ଶ
diventa sempre più piccola, di
conseguenza le frazioni = ݔ ∓
√
మ
ି
మ
మ
e = ݕ ∓
√
మ
ି
మ
మ
diventano sempre più grandi.
In casi come questi si dice che le rette = ݕ ∓
ݔ intersecano
la curva all’infinito (tali rette sono dette asintoti per la curva).
Proprietà 6
L’eecccceennttrriicciittàà dell’iperbole è il rapporto: ݁ =
ଶ
ଶ
Proprietà 2
I fuochi dell’iperbole hanno coordinate ܨ ଵ
ଶ
ଶ
൯ e ܨ
ଶ
ଶ
ଶ
L’iperbole interseca l’asse ݕ nei punti ܸ ଷ
ሺ 0 ; ܾ ሻ e ܸ
ସ
ሺ 0 ; ܾ− ሻ detti v
v e
e r
r t
t i
i c
c i
i dell’iperbole.
L’iperbole non interseca l’asse ݔ. I punti ܸ ଵ
e ܸ
ଶ
sono detti vveerrttiiccii nnoonn rreeaallii dell’iperbole.
Il segmento ܸ
ଷ
ସ
= 2 ܾ è detto a
a s
s s
s e
e t
t r
r a
a s
s v
v e
e r
r s
s o
o. Il segmento ܸ
ଵ
ଶ
= 2 ܽ è detto a
a s
s s
s e
e n
n o
o n
n t
t r
r a
a s
s v
v e
e r
r s
s o
o.
Proprietà 3
L’iperbole è una ccuurrvvaa iilllliimmiittaattaa.
Riscrivendo l’equazione sotto la forma ݔ
ଶ
మ
మ
ଶ
ଶ
ሻ si deduce che: ݕ
ଶ
ଶ
0 cioè ܾ− ݕ ∨ ܾ ݕ.
I punti della curva si trovano quindi al di fuori della striscia limitata delle rette ܾ− = ݕ e ܾ= ݕ , e quindi è formata da
due rami.
Proprietà 4
La relazione ܿ
ଶ
ଶ
ଶ
può essere interpretata come la relazione del teorema di
Pitagora applicata al triangolo ܸܱ ଵ
Proprietà 5
L’iperbole ha per a
a s
s i
i n
n t
t o
o t
t i
i le rette ݕ = ∓
Consideriamo le intersezioni dell’iperbole con una retta generica
passante per l’origine:
௫
మ
మ
௬
మ
మ
si ottengono le soluzioni
√
మ
మ
ି
మ
√
మ
మ
ି
మ
Queste soluzioni sono reali solo se ܽ
ଶ
ଶ
ଶ
0 cioè se
L’iperbole è quindi intersecata da rette passanti per l’origine che si
trovano all’esterno dei due angoli opposti al vertice formati dalle
rette = ݕ ∓
ݔ e contenenti l’asse x.
Osserviamo inoltre che, assegnando al coefficiente angolare ݉ ,
valori sempre più vicini a ∓
l’espressione a denominatore
ଶ
ଶ
ଶ
diventa sempre più piccola, di conseguenza le frazioni
√
మ
మ
ି
మ
e = ݕ ∓
√
మ
మ
ି
మ
diventano sempre più grandi.
In casi come questi si dice che le rette = ݕ ∓
ݔ intersecano la
curva all’infinito (tali rette sono dette asintoti per la curva).
Proprietà 6
L’eecccceennttrriicciittàà dell’iperbole è il rapporto: ݁ =
ଶ
ଶ
P
P o
o s
s i
i z
z i
i o
o n
n i
i d
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a r
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e t
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o a
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u n
n ’
’ i
i p
p e
e r
r b
b o
o l
l e
e
Per stabilire la posizione di una retta di equazione ܽ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
= 0 rispetto a un’iperbole di equazione
௫
మ
మ
௬
మ
మ
occorre considerare il sistema formato dalle due equazioni:
ᇱ
ᇱ
ᇱ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
- Se l’equazione risolvente è di II grado, si studia il segno del discriminante:
Se ∆ > 0 , la retta è secante l’iperbole in due punti;
Se ∆ = 0 , la retta è tangente l’iperbole in un punto;
Se ∆ < 0 , la retta è esterna all’iperbole;
- Se l’equazione risolvente è di I grado, la retta è secante l’iperbole in un solo punto.
La retta è secante l’iperbole in due punti
La retta è tangente l’iperbole in un punto
(la retta non è parallela agli asintoti)
La retta è esterna all’iperbole
La retta è secante l’iperbole in un punto
(la retta è parallela a un asintoto)
I
I p
p e
e r
r b
b o
o l
l e
e t
t r
r a
a s
s l
l a
a t
t a
a
TTEEOORREEMMAA
L’equazione di una iperbole con centro nel punto ܱ ’ሺ ; ݍሻ
e assi paralleli agli assi cartesiani è del tipo :
ଶ
ଶ
Dimostrazione
Consideriamo l’iperbole a centro di equazione:
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Effettuiamo la traslazione di vettore ݒԦ ሺ , ݍሻ della
iperbole portando il centro dell’iperbole ܱ ሺ0 ; 0ሻ nel
punto ܱ ′ሺ ; ݍሻ.
Le equazioni della traslazione sono: ൜
ᇱ
ᇱ
Utilizzando le equazioni inverse: ൜
ᇱ
ᇱ
si ottiene l’equazione:
ᇱ
ଶ
ଶ
ᇱ
ଶ
ଶ
Eliminando gli apici, si ottiene
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Il c
c e
e n
n t
t r
r o
o di simmetria ha coordinate: ܱ ’
Gli aassiinnttoottii hanno equazioni: ݕ − ݍ = +
ሺݔ − ሻ e ݕ − ݍ = −
I
v
v e
e r
r t
t i
i c
c i
i hanno coordinate:
ଵ
ଶ
ଷ
ସ
I ffuuoocchhii hanno coordinate: ܨ ଵ
ଶ
L’equazione ottenuta può essere riscritta anche in altra forma:
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ponendo
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
si ottiene l’equazione࢞
࢞ + ࢟ࡰ + ࡱ + = con A e B discordi.
L’equazione dell’iperbole traslata è un’equazione di II grado in ݔ e ݕ con i coefficienti dei termini di secondo grado di
segno opposto ሺA ܾ=
ଶ
e B ܽ− =
ଶ
Gli aassssii ddii ssiimmmmeettrriiaa hanno equazione: ݔ = −
Le coordinate del c
c e
e n
n t
t r
r o
o d
d i
i s
s i
i m
m m
m e
e t
t r
r i
i a
a sono: ܱ
ᇱ
Infatti:
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
మ
ଶ
ଶ
మ
ଶ
Il medesimo ragionamento è valido per l’iperbole con l’asse trasverso parallelo all’asse y.
Matematica www.mimmocorrado.it 8
T
T
E
E
O
O
R
R
E
E
M
M
A
A
I
I
N
N
V
V
E
E
R
R
S
S
O
O
Dimostriamo adesso il teorema inverso, cioè che:
ଶ
ଶ
con A e B discordi
rappresenta l’equazione di una iperbole con gli assi paralleli
agli assi cartesiani
Dimostrazione
Consideriamo l’equazione: ݔܣ
ଶ
ଶ
Sostituiamo ܣ = ܾ
ଶ
e ܤ = −ܽ
ଶ
per avere evidenti informazioni sui segni dei due coefficienti:
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Raccogliamo parzialmente: ܾ
ଶ
ଶ
మ
ଶ
ଶ
ି
మ
Sommiamo e sottraiamo il quadrato della metà del coefficiente del termine di primo grado:
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Poniamo:
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
otteniamo:
ܾ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Si possono verificare tre casi:
Dividiamo i due membri per +ߜ > 0
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Dividiamo i due membri per −ߜ > 0
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Iperbole con asse trasverso
parallelo all’asse x
Centro in ቀ−
ଶ
మ
ିଶ
మ
cioè nel punto ܱ
ᇱ
ଶ
ଶ
Iperbole con asse trasverso
parallelo all’asse y
Centro in ቀ−
ଶ
మ
ିଶ
మ
cioè nel punto ܱ
ᇱ
ଶ
ଶ
Iperbole degenere
Coppia di rette passanti per il
punto ቀ−
ଶ
మ
ିଶ
మ
cioè per il punto ቀ−
ଶ
ଶ
Esempio 2
Traccia il grafico della curva di equazione: ࢞
Metodo - Completamento del quadrato
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
= −1 ; ܿ݁ℎ è ݈݁݀ ݅ݐ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Si tratta di una iperbole con asse trasverso parallelo all’asse y immagine dell’iperbole
௫
మ
ସ
௬
మ
଼
= − 1 nella traslazione
di vettore ݒԦ
Il centro di simmetria ha coordinate: ܱ ’
cioè ܱ ’
I vertici reali hanno coordinate:
ଷ
ସ
ሺ; ܾ− ݍ ሻ cioè ܸ
ଷ
ସ
ሺ2; − 4 − 2 ሻ cioè ܸ
ଷ
ସ
Gli asintoti hanno equazione:
Il suo grafico è il seguente:
Esempio 3
Traccia il grafico della curva di equazione: ࢞ૢ
Metodo - Completamento del quadrato
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Dimostrazione
Effettuiamo una rotazione di 45° in senso antiorario
dell’iperbole equilatera riferita agli assi con i fuochi
sull’asse ݔ (ramo verde).
Per effetto della rotazione il vertice ܸ
ଵ
ሺܽ ; 0ሻ viene
portato nel punto ܸ
ଵ
ᇱ
tale che ܸܱ ′
ଵ
ଵ
rappresenta la diagonale del quadrato di lato
Pertanto:
ଵ
ᇱ തതതതത
Quindi: ܸ
ଵ
ᇱ
√ଶ
√ଶ
ቁ e ܸ
ଶ
ᇱ
√ଶ
√ଶ
Per effetto della rotazione il vertice ܨ
ଵ
viene
portato nel punto ܸ
ଵ
ᇱ
tale che ܱܨ ′
ଵ
ଵ
rappresenta la diagonale del quadrato di lato
Pertanto:
ଵ
ᇱ
തതതതത
Quindi: ܨ
ଵ
ᇱ
= ሺܽ ; ܽ ሻ e ܨ
ଶ
ᇱ
Applicando la definizione di iperbole
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଶ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ସ
ଷ
ଶ
ଶ
ସ
ଷ
ଶ
ସ
ସ
ଶ
ଶ
Ponendo
మ
ଶ
݇= si ottiene l’equazione ݇= ݕݔ con ݇> 0.
Dalla posizione
మ
ଶ
݇= si ottiene: ܽ= √
ଵ
ᇱ
= ൫√ 2 ݇ ; √ 2 ݇ ൯ e ܨ
ଶ
ᇱ
ଵ
ᇱ
= ൫√݇ ; √݇ ൯ e ܸ
ଶ
ᇱ
Effettuando una rotazione di 45° in senso orario dell’iperbole equilatera riferita agli assi con i fuochi sull’asse ݔ si
ottiene invece l’altra equazione ݔ ∙ ݇= ݕ con ݇ < 0.
F
F u
u n
n z
z i
i o
o n
n e
e o
o m
m o
o g
g r
r a
a f
f i
i c
c a
a
La funzione omografica è un’iperbole equilatera con gli asintoti paralleli agli assi cartesiani.
La sua equazione è:
Se ܿ= 0 il grafico è una retta.
Infatti l’equazione diventa = ݕ
ௗ
ௗ
Se ݀ܽ= ܾܿ− 0 il grafico è una retta parallela
all’asse ݔ, privata del punto ቀ−
ௗ
Infatti se ݀ܽ = ܾܿ− 0 ; ⇒
ௗ
௫ା
௫ାௗ
ቀ௫ା
್
ೌ
ቁ
ቀ௫ା
ቁ
ቀ௫ା
್
ೌ
ቁ
ቀ௫ା
್
ೌ
ቁ
ௗ
ௗ
è una retta parallela all'asse ݔ
privato del punto ݔ = −
ௗ
Dimostrazione
Dimostriamo che, se ്ܿ 0 ∧ ്ܾ݀ܽܿ− 0 l’equazione = ݕ
௫ା
௫ାௗ
rappresenta un’iperbole equilatera traslata.
Effettuiamo pertanto la traslazione che porta il centro di simmetria C della funzione omografica nell’origine.
Le equazioni della traslazione sono: ൝
ᇱ
ௗ
ᇱ
utilizzando le equazioni inverse ൝
ᇱ
ௗ
ᇱ
si ottiene: ݕ
ᇱ
ቀ௫
ᇲ
ା
ቁା
ቀ௫
ᇲ
ା
ቁାௗ
Eliminando gli apici ininfluenti si ha:
ቀ௫ି
ቁା
ቀ௫ି
ቁାௗ
௫ି
ೌ
ା
௫ିௗା
௫
௫
ି
ೌ
ା
௫
ି
ೌ
ା
௫
షೌశ್
ି ௗା
మ
Ponendo ݇ =
ଶ
si ottiene la forma ݕݔ =݇
VVeerrttiiccii ܸ ଵ
ௗ
ଶ
ௗ
ଵ
ௗ
ଶ
ௗ
FFuuoocchhii ܨ ଵ
ௗ
ଶ
ௗ
ଵ
ௗ
ଶ
ௗ
C Ceennttrroo ddii ssiimmmmeettrriiaa ܱ ’ ቀ −
ௗ
ቁ AAssiinnttoottii ݕ =
ௗ
Nota
Pur essendo l’equazione della funzione omografica = ݕ
௫ା
௫ାௗ
costituita da quattro parametri: ܽ , ܾ , ܿ, ݀ , per determinare la
sua equazione occorrono soltanto tre parametri indipendenti.
Infatti, essendo l’equazione definita per ്ܿ 0 è possibile dividere numeratore e denominatore per ്ܿ 0.
; ponendo:
si ottiene la forma: ࢟ =
