IPERBOLE !
Definizione: Assegnati nel piano 2 punti, F¹ e F₂, si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti P del piano che
hanno costante la differenza delle distanze da F¹ e da F₂.
Fuochi: F¹ e F₂ Centro: punto medio del segmento F¹F₂. Distanza Focale: distanza tra F¹ e F₂, pari a 2c.
Simmetrie: Le variabili x e y sono elevate al quadrato, perciò l’iperbole è una curva simmetrica rispetto all’asse x,
all’asse y e all’origine. L’equazione canonica dell’iperbole indica un’iperbole riferita ai propri assi.
Iperbole con i fuochi sull’asse x: x²/a² - y²/b²=1
Vertici: Vertici reali: intersezione dell’iperbole con l’asse x. A¹(-a;0) A₂(a;0) Asse trasverso: segmento A¹A₂. È
pari a 2a. I fuochi si trovano sull’asse trasverso. Semiasse trasverso: pari ad a. Vertici non reali: non sono punti
di intersezione dell’iperbole e l’asse delle y perché l’iperbole non ha punti di intersezione sull’asse y ma sono utili al
disegno. B¹(0;-b) B₂(0;b) Asse non trasverso: segmento B¹B₂. È pari a 2b. Semiasse non trasverso: pari a b.
Fuochi: c= √a²+b² F¹(-c;0) F₂(c;0).
Eccentricità: rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse traverso. e= c/a.
Iperbole con i fuochi sull’asse y: x²/a² - y²/b²=-1
Vertici: Vertici reali: intersezione dell’iperbole con l’asse y. B¹(0;-b) B₂(0;b) Asse trasverso: segmento B¹B₂. È
pari a 2b. I fuochi si trovano sull’asse trasverso. Semiasse trasverso: pari ad b. Vertici non reali: non sono punti di
intersezione dell’iperbole e l’asse delle x perché l’iperbole non ha punti di intersezione sull’asse x ma sono utili al
disegno. A¹(-a;0) A₂(a;0) Asse non trasverso: segmento A¹A₂. È pari a 2a. Semiasse non trasverso: pari a a.
Fuochi: c= √a²+b² F¹(o;-c) F₂(0;c).
Eccentricità: rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse traverso. e= c/b.
Asintoti: rette sulle quali giacciono le diagonali del rettangolo. Passano per l’origine e i punti (a;b) e (a;-b) Equazione
asintoti: y= (b/a)x e y=-(b/a)x.
IPERBOLI E RETTE: Possono essere secanti in 2 punti, tangenti in 1 punto o non intersecarsi in alcun punto o se la
retta è parallela a un asintoto, intersecarsi in un punto. Per stabilire la posizione di una retta rispetto ad un’iperbole,
poniamo a sistema le 2 equazioni e studiamo l’equazione risolvente:
1) Se l’equazione è di 2ºgrado, studiamo il segno del discriminante △.
•△>0; il sistema ha 2 soluzioni reali, la retta è secante nei 2 punti.
•△=0; il sistema ha 2 soluzioni reali e coincidenti e la retta è tangente al l’iperbole nel punto.
•△<0; il sistema non ha soluzioni, la retta è esterna.
2) Se l’equazione è di 1ºgrado, la retta è secante al l’iperbole in un solo punto.
TANGENTI A UN’IPERBOLE: A seconda della posizione del punto ci possono essere 2, 1 o nessuna tangente. Se il
punto appartiene ad un asintoto , fra le tangenti si trova anche l’equazione dell’asintoto stesso. Per determinare
l’equazione di eventuali tangenti dobbiamo porre △=0 e risolvere il sistema tra l’equazione della retta generica pausante
per P e l’equazione dell’iperbole.
FORMULA DI SDOPPIAMENTO: per determinare l’equazione della retta tangente all’iperbole in un suo punto P(x₀,
y₀). xx₀/a² - yy₀/b²=±1
IPERBOLE EQUILATERA: Si dice così un iperbole in cui a=b. L’equazione dell’iperbole è x²- y²=a² per l’asse x e x²-
y²=-a² per l’asse y.
Asintoti: y=x e y=-x, questi coincidono con le bisettrici dei quadranti e sono perpendicolari tra di loro.
Distanza focale: c= a√2 Eccentricità: e= a√2/a che semplificato rimane e=√2
RIFERITA AGLI ASINTOTI: prendiamo gli asintoti, X e Y come sistema di riferimento per l’iperbole. Si dimostra che
l’equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è xy=k. Questa equazione indica che fra le variabili y e x
c’è proporzionalità inversa e k è la costante di proporzionalità.
k= ±a²/2 se K>o, i rami dell’iperbole sono nel 1º e 3º quadrante. Se K<0, i rami dell’iperbole sono nel 2º e 4º quadrante.
