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Statistica. Slide Prof. Marino Marina, Culture digitali e della comunicazione, Federico II di Napoli.
Tipologia: Slide
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Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
Anno accademico 2015-’
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
Le domande da porsi sono:
( )
2
X ~ N μ, σ μ incognita ; σ
2
1
2
n
Campione casuale
Esempio: La stima della media (piccoli campioni)
Quando un intervallo di confidenza può definirsi ottimale?
Come si costruisce un intervallo di confidenza ottimale?
P
X n
σ
n
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
≤ z α
2
= 1 − α
2 2
n
P z X z
n n
α α
σ σ
2 2
n
P z X z
n n
α α
σ σ
μ μ α
2 2
P z z 1
n n
α α
σ σ
μ α
La stima per intervalli
La costruzione di un intervallo di confidenza per un parametro θ è lo sviluppo più naturale
della teoria della stima quando si desidera accompagnare il risultato numerico derivato dal
campione con una misura di affidabilità circa la sua collocazione più probabile.
(Piccolo, pag. 731)
Approccio deduttivo Approccio induttivo
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
( )
2
X ~ N μ, σ μ incognita ; σ
2
1
2
n
Campione casuale
~ (^) ( 0,1)
n
n
− μ
Esempio: La stima della media (piccoli campioni)
Una macchina produce bulloni il cui peso ha distribuzione
Normale con media μ =63 grammi e varianza σ
2 =0,8.
Scegliendo a caso 8 bulloni, qual è l ’ intervallo che con
probabilità 0,95 comprenderà la loro media?
Una macchina produce bulloni il cui peso ha distribuzione
Normale con media μ =incognita e varianza σ
2 =0,8.
Scelti a caso 8 bulloni, il loro peso medio è risultato pari a
62,6 grammi. Qual è l ’ intervallo che, con probabilità 0,95,
contiene il parametri incognito μ?
0,89 0,
62,6 1,96 62,6 1,96 0,
8 8
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
0, 89 0, 89
63 1, 96 63 1, 96 0,
8 8
n
P X
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) 63 0,62 63 0,62 0, n
P − ≤ X ≤ + =
( ) 62,38 63, 62 0, 95 n
P ≤ X ≤ =
2 2
n
P z X z
n n
α α
σ σ
2 2
n
P z X z
n n
α α
2 2
P z z 1
n n
α α
μ α
La stima per intervalli
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
Esempio: La stima della media (piccoli campioni)
2
σ
μ
X
La stima per intervalli
( )
2
X ~ N μ, σ μ nota; σ
2
1
2
n
Campione casuale
Caso 1:
Approccio deduttivo
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
Esempio: La stima della media (piccoli campioni)
?
X
2
σ
μ
La stima per intervalli
( )
2
X ~ N μ, σ μ incognita ; σ
2
1
2
n
Campione casuale
2 2
P z z 1
n n
X X α α
σ σ
μ α
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ ⋅ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
z
n
X α
σ − ⋅ 2
z
n
X α
σ
Caso 2:
Approccio induttivo
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
Esempio: La stima della media (piccoli campioni)
?
X
2
σ
μ
2 2
P z z 1
n n
X X α α
σ σ
μ α
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ ⋅ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
z
n
X α
σ − ⋅
2
z
n
X α
σ
La stima per intervalli
( )
2
X ~ N μ, σ μ incognita ; σ
2
1
2
n
Campione casuale
Caso 2:
Approccio induttivo
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
2 2
P z z 1
n n
α α
σ σ
μ α
( )
2
X ~ N μ, σ μ incognita ; σ
2 nota
1
2
n
Campione casuale
2
n
P z
n
α σ
( )
n
σ
− μ
= 1 − α
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con
distribuzione Normale, con media incognita e varianza pari a 10,66.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 58 matricole e si misura l’altezza
media, che risulta pari a 175,4 cm. Si definisca l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 90,
del 95 e del 99 per cento contenga il parametro incognito della popolazione.
X ~ N ( μ ; 10,66) n = 58 x =175, 4 cm
0,
1 0,
0,
α
⎧
⎪
− = ⎨
⎪
⎩
≤ μ ≤
( ) P 175, 4 − 0,705 ≤ μ ≤ 175, 4 + 0,705 =0, ( ) P 174,70 ≤ μ ≤ 176,11 =0,
Esempio: La stima della media (piccoli campioni)
La stima per intervalli
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con
distribuzione Normale, con media incognita e varianza pari a 10,66.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 58 matricole e si misura l’altezza
media, che risulta pari a 175,4 cm. Si definisca l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 90,
del 95 e del 99 per cento contenga il parametro incognito della popolazione.
( ) X ~ N μ ; 10,66 n = 58 x =175, 4 cm
0,
1 0,
0,
α
⎧
⎪
− = ⎨
⎪
⎩
3,265 3,
175, 4 1,96 175, 4 1,96 0,
58 58
P μ
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3,265 3,
175, 4 1,64 175, 4 1,64 0,
58 58
P μ
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
P ( 175, 4 − 0,705 ≤ μ≤ 175, 4 + 0,705) =0,
( ) P 175, 4 − 0,840 ≤ μ≤ 175, 4 + 0,840 =0,
3,265 3,
175, 4 2,58 175, 4 2,58 0,
58 58
P μ
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
P (175, 4 − 1,106 ≤ μ≤ 175, 4 + 1,106) =0,
Esempio: La stima della media (piccoli campioni)
La stima per intervalli
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
( )
2
X ~ N μ ; σ
n
X
n
σ
− μ
X
n
− μ
s
n
s =
1
n − 1
x
i
− x ( )
2
i = 1
n
∑
La stima della media
con distribuzione nota e varianza incognita
X k ⋅
σ
n
La stima per intervalli
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
( )
2
X ~ N μ ; σ
n
X
n
σ
− μ
X
n
− μ
s
n
s =
1
n − 1
x
i
− x ( )
2
i = 1
n
∑
1
~ n
t −
La stima della media
con distribuzione nota e varianza incognita
X k ⋅
σ
n
La stima per intervalli
P X − t α
2
⋅
s
n
≤ μ ≤ X + t α
2
⋅
s
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 0 , 95
simmetrica, con valore medio pari a 0, ed assume una
forma molto simile a quello della Normale
standardizzata alla quale tende assai velocemente al
crescere dei gradi di libertà.
caratterizza per una curtosi leggermente più elevata e
per code più “pesanti” della v.c. Normale.
μ X
f(x)
X
f(x)
( ) 0 ;^ ( )
2
n
E X Var X
n
= =
−
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
Esempio
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con
distribuzione Normale, con media e varianza incognite.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 18 matricole e si misura l’altezza media, che
risulta pari a 175,4 cm, con sqm campionario corretto pari a 4,4 cm. Si definisca l’intervallo che, ad un
livello di fiducia del 95% contenga il parametro incognito della popolazione.
La stima per intervalli
( )
2
X ~ N μ ; σ
n
X
n
σ
− μ
X
n
− μ
s
n
s =
1
n − 1
x
i
− x ( )
2
i = 1
n
∑
1
~ n
t −
La stima della media
con distribuzione nota e varianza incognita
X k ⋅
σ
n
P X − t α
2
⋅
s
n
≤ μ ≤ X + t α
2
⋅
s
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 0 , 95
( )
2
s = 4 , 4 cm
Area nella coda di destra Gradi di libertà
- 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0, Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
La stima della media
X k ⋅
σ
n
( )
μ
σ
n − 1
?
si
si
no
no
n grande
no
si
σ
μ
2
La distribuzione di X e della sua standardizzata
Si applica
la proprietà riproduttiva
della Normale
Si applica
il teorema limite centrale
La stima per intervalli
Lezione 21 – La stima per intervalli M. Marino
La stima della media
con distribuzione incognita
X k ⋅
σ
n
X ~
Esempio
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con
distribuzione, media e varianza incognite.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 18 matricole e si misura l’altezza media, che
risulta pari a 175,4 cm, con sqm campionario corretto pari a 4,4 cm. Si definisca l’intervallo che, ad un
livello di fiducia del 95% contenga il parametro incognito della popolazione.
1. Se X ~ N e σ **è noto: k=1,
La stima per intervalli