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Statistica. Slide Prof. Marino Marina, Culture digitali e della comunicazione, Federico II di Napoli.
Tipologia: Slide
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Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino Lezione: Argomento: 20 Teoria della stima Anno accademico 2015-’ Corso di laurea in Economia e Commercio ( CLEC ) Marina Marino Corso di Statistica (L-Z) www.docenti.unina.it/marina.marino [email protected]
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino L’inferenza Pop C Estrazione casuale
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino Sebbene ogni esperimento sia unico e irripetibile, è indispensabile individuare, e provare a controllare, aspetti che possono essere considerati come comuni. Più precisamente, ogni inferenza si basa sulla specificazione accurata dei seguenti elementi (Piccolo, pag. 493) :
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino Stimatori e stime Supporremo che sulla popolazione sia definita una variabile X la cui distribuzione, seppure incognita, è completamente caratterizzata da un parametro θ o da un insieme di parametri Θ. L’obiettivo è trovare, sulla base di un campione casuale X 1 , X 2 , …, Xn , un valore, o un insieme di valori, per θ (o per Θ ) che siano la migliore approssimazione possibile del valore incognito della popolazione. Le n osservazioni campionarie X 1 ,…Xn sono altrettante variabili casuali la cui distribuzione e i cui parametri sono uguali a quelli della variabile X. Una funzione delle osservazioni campionarie è essa stessa una variabile casuale che, nel caso della stima di un parametro, viene definita stimatore. Il valore che lo stimatore assume nello specifico campione estratto costituisce la realizzazione campionaria della variabile casuale e costituisce la stima.
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino
Pop
Universo dei possibili campioni di dimensione n Campione estratto
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino La scelta dello stimatore
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino
T n = T X 1 ,…, X ( (^) n ) ( ) θ E Tn Distorsione Dato uno stimatore Tn=T(X 1 , X 2 , …, Xn) del parametro θ, diremo che Tn è corretto se: E T ( (^) n ) = θ Se E(Tn)≠ θ, diremo che lo stimatore Tn è uno stimatore distorto per θ, con fattore di distorsione: D T ( (^) n (^) ) = E T ( (^) n )− θ Proprietà degli stimatori
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino
1 1 n i i X X n (^) = = (^) ∑ E (^) ( X )
Ciascuna variabile casuale Xi (osservazione campionaria) ha la stessa distribuzione e gli stessi parametri (μ, σ^2 )della variabile X nella popolazione. 1 1 n i i E X n (^) = ⎛ ⎞ = (^) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 1 1 n i i E X n (^) = ⎛ ⎞ = (^) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (^ ) 1 1 n i i E X n (^) = = (^) ∑ 1 n n = ⋅ ⋅ μ =^ μ Proprietà degli stimatori
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino
( ) 2 2 1 1 n i i S X X n (^) = = (^) ∑ − Varianza
campione (^) X 1 X (^2) S 2 1° (^) 5 5 5,0 0, 2° (^) 5 7 6,0 1, 3° (^) 5 10 7,5 6, 4° (^) 7 5 6,0 1, 5° (^) 7 7 7,0 0, 6° (^) 7 10 8,5 2, 7° (^) 10 5 7,5 6, 8° (^) 10 7 8,5 2, 9° (^) 10 10 10,0 0, Somma 66 66 66 19 Media 7,333 7,333 7,333 2, Var 4,222 4,222 2, Sqm 2,055 2,055 1,
La varianza campionaria è uno stimatore distorto della varianza della popolazione ( ) 2 2 n^1 E S n σ ⎛ − ⎞ = ⋅ (^) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Proprietà degli stimatori Pop.: 7 5 10 N=3 μ = 7,33 σ^2 = 4, n=
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino
( ) 2 2 1 1 n i i S X X n (^) = = (^) ∑ − Varianza
campione (^) X 1 X (^2) S 2 1° (^) 5 5 5,0 0, 2° (^) 5 7 6,0 1, 3° (^) 5 10 7,5 6, 4° (^) 7 5 6,0 1, 5° (^) 7 7 7,0 0, 6° (^) 7 10 8,5 2, 7° (^) 10 5 7,5 6, 8° (^) 10 7 8,5 2, 9° (^) 10 10 10,0 0, Somma 66 66 66 19 Media 7,333 7,333 7,333 2, Var 4,222 4,222 2, Sqm 2,055 2,055 1,
La varianza campionaria è uno stimatore distorto della varianza della popolazione ( ) 2 2 n^1 E S n σ ⎛ − ⎞ = ⋅ (^) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2 1 n S n ⎛ ⎞ ⎜ ⋅ ⎟ ⎝ − ⎠ Proprietà degli stimatori Pop.: 7 5 10 N=3 μ = 7,33 σ^2 = 4, n=
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino
( ) 2 2 1 1 n i i S X X n (^) = = (^) ∑ − Varianza
campione (^) X 1 X (^2) S 2 1° (^) 5 5 5,0 0, 2° (^) 5 7 6,0 1, 3° (^) 5 10 7,5 6, 4° (^) 7 5 6,0 1, 5° (^) 7 7 7,0 0, 6° (^) 7 10 8,5 2, 7° (^) 10 5 7,5 6, 8° (^) 10 7 8,5 2, 9° (^) 10 10 10,0 0, Somma 66 66 66 19 Media 7,333 7,333 7,333 2, Var 4,222 4,222 2, Sqm 2,055 2,055 1,
La varianza campionaria è uno stimatore distorto della varianza della popolazione ( ) 2 2 n^1 E S n σ ⎛ − ⎞ = ⋅ (^) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) (^12 ) 1 i i E x x n σ ⎡ ⎤ ⎢ ⋅^ −^ ⎥ = ⎣ − ⎦ ∑ La varianza campionaria “ corretta ” è, invece, uno stimatore corretto della varianza della popolazione Proprietà degli stimatori Pop.: 7 5 10 N=3 μ = 7,33 σ^2 = 4, n=
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino E (^) ( X )= μ La media campionaria è uno stimatore^ non distorto^ della media della popolazione Media campionaria X Mediana campionaria
2 X (^) n + 2 2 1
n dispari n pari E X ( n +^1 ) 2 ! "
$ % & & = μ = μ 2 21 2 X (^) n Xn E
⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Per distribuzioni simmetriche:
Proprietà degli stimatori
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino μ^ Tn Mediana campionaria Media campionaria ( ) ( ) 1 2
Esempio: La stima di μ in una popolazione Normale T 1 Media campionaria T 2 Mediana campionaria (Schema di campionamento con reintroduzione)
Var T ( 1 (^) ) 2 n σ = Var T ( 2^ ) 2 n 2 σ π = ⋅ ( ) ( ) 1 2 Var T Var T 2 2 2 n n σ σ π = ⋅ 1 1,5707... = (^) = 0, 6366 Proprietà degli stimatori
Lezione 20 – Teoria della stima M. Marino
Da una popolazione su cui è definita una variabile X con media μ incognita, si estrae un
Si definiscano le proprietà dei seguenti stimatori per μ: 1 1 1 n i i T X n (^) = = (^) ∑ 2 ( 1 ) 1 2 T = X + Xn T 3 (^) = X 2 4 ( 2 8 ) 1 3 T = X + X ( ) 1 i i E X n = (^) ∑ 1 n n = ⋅ μ=^ μ 1 2 = (^) ⎡⎣ μ +μ⎤⎦ = μ = μ 1 3 = (^) ⎡⎣ μ +μ⎤⎦ 2 3 = μ ≠ μ ( 1 ) 1 1 n i i E T E X n (^) = ⎛ ⎞ = (^) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ( 2 ) =^ ⎡⎣^ ( 1 ) + ( )⎤⎦ 1 2 E T E X E Xn E T ( 3 (^) ) = E (^) ( X 2 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 8 ) 1 3 E T = ⎡ E X + E X ⎤ ⎣ ⎦ Proprietà degli stimatori
