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Introduzione alla derivata
17 Plot 17
18 Linearizzazione 17
1 Retta tangente
La nozione di retta tangente ad una curva è un concetto geometrico abbastanza intuitivo: chiunque saprebbe distinguere in quali di queste quattro figure
(a) (b)
(c) (d)
la retta disegnata è tangente alla curva (in (c) e (d)) ed in quali no (in (a) e (b)).
La retta tangente non può essere caratterizzata come quella retta che ha un solo punto a comune con la curva.
In (b) la retta (verticale) ha un solo punto a comune con la curva, ma non è tangente
...
In (d) la retta è tangente ma ha più di un punto a comune con la curva.
...
x
3 Gli zoom
Esaminiamo ora molto da vicino il grafico di 𝑓 in prossimità del punto (𝑎, 𝑓(𝑎)) = (3, −4); ingrandendo l’immagine diminuendo 𝑑 e mantenendo il display sempre centrato su (𝑎, 𝑓(𝑎)).
a
Con fattore di zoom 𝑥𝑓 = 2 e con 𝑛 = 5 ingrandimenti si ha un ingrandimento complessivo
- 1 Retta tangente Indice
- 2 Esempio guida
- 3 Gli zoom
- 4 Definizione provvisoria
- 5 Definizione accettabile in pratica.
- 6 E finalmente…
- 7 Quoziente di Newton
- 8 Velocità di variazione 𝑚ℎ → 𝑚
- 10 Crescita di popolazioni
- 10.0.1 Tasso di interesse
- 10.0.2 Variazione di pressione con la quota
- 11 Derivata approssimata con il quoziente di Newton
- 12 Regola dei tre punti
- 13 Problemi numerici
- 14 Regola dei 3 punti per tabelle di valori
- 15 Cambio di unità di misura
- 16 Δ casi Piemonte (dati) - −5.00 1.00 5.00 9.
- −12.
- −10.
- −8.
- −6.
- −4.
- −2.
- −1.00 2.00 4.00 6. b - −8. - −7. - −6. - −5. - −4. - −3. - −2. - −1. - 0. - 1.00 2.00 3.00 4.00 5. c - −6. - −5. - −5. - −4. - −4. - −3. - −3. - −2. - −2.
- −5.
- −4.
- −4.
- −4.
- −4.
- −3.
- −3.
- −3.
- −3. - 2.50 2.75 3.00 3.25 3. e - −4. - −4. - −4. - −4. - −4. - −3. - −3. - −3. - −3. - 2.75 2.88 3.00 3.12 3. f - −4. - −4. - −4. - −4. - −4. - −3. - −3. - −3. - −3.
−2 −1 0 1 2
−
0
1
2
(a)
0.29 0.30 0.31 0.
(b)
0.3049980.093023 0.305000 0.
(c)
5 Definizione accettabile in pratica.
La tangente al grafico di una funzione 𝑓 in punto (𝑎, 𝑓(𝑎)) è la retta che, a seguito di un opportuno zoom-in, è (visualmente) indistinguibile dalla curva, e rimane stabile a seguito di ulteriori zoom-in.
...
Pertanto possiamo sostanzialmente assumere che, a seguito di zoom-in sempre maggiori, la curva (o perlomeno quelle di interesse per noi) diventi indistinguibile da una retta che resta la stessa da un certo zoom-in in poi.
6 E finalmente…
Nella situazione della definizione accettabile diremo che:
geometricamente la retta 𝑟 che passa per (𝑎, 𝑓(𝑎)) con pendenza 𝑚 è la retta tangente al grafico di 𝑓 nel punto di ascissa 𝑎
...
numericamente il numero 𝑚 è la derivata di 𝑓 in 𝑎,
...
formalmente la funzione 𝑓 è derivabile in 𝑎.
E’ fondamentale ricordare che la derivata 𝑚 di 𝑓 in 𝑎 è esattamente la pendenza della retta tangente al grafico di 𝑓 nel punto di ascissa 𝑎. Si scrive pure: 𝑚 = 𝑓′(𝑎)
Interpretiamo meglio quanto osservato. La retta 𝑟, che passa per il punto (𝑎, 𝑓(𝑎)), deve avere un’equazione del tipo 𝑟(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑚 (𝑥 − 𝑎) (1)
o anche esplicitando la dipendenza dallo spostamento (incremento) ℎ = 𝑥 − 𝑎 𝑟(𝑎 + ℎ) = 𝑓(𝑎) + 𝑚 ℎ (2)
Se ℎ = 𝑥 − 𝑎 è sufficientemente piccolo la differenza Δ tra curva e retta spostandoci di ℎ dal punto 𝑎
diviene trascurabile in scala ℎ (rispetto ad ℎ)
...
−
−
0
−5 −3 −1 1 3 5 7 9 11
∆/h = −0.61h ∆ −
−
−
−
−
1.0 2.0 3.0 4.0 5.
∆/h = −0.356h ∆
−4.
−4.
−3.
2.500 2.750 3.000 3.250 3.
∆/h = −0.133h ∆ −4.
−4.
−3.
2.8750 2.9375 3.0000 3.0625 3.
∆/h = −0.038h ∆
∆y
h=∆x
m h=∆y/∆x
rappresenta geometricamente la pendenza della retta che passa per i due punti
(𝑎, 𝑓(𝑎)) e
(𝑎 + ℎ, 𝑓(𝑎 + ℎ))
del grafico di 𝑓.
Derivata ≈ Quoziente di Newton
L’approssimazione può essere usata in due modi:
- 𝑚 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑖 𝑚ℎ per approssimare il termine di destra (il quoziente di Newton) con quello di sinistra (la derivata), il che avviene di norma a livello concettuale, nella costruzione dei modelli matematici
- 𝑚ℎ 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑖 𝑚 per approssimare la derivata con il quoziente di Newton, il che viene utilizzato di norma per scopi di calcolo numerico.
8 Velocità di variazione 𝑚ℎ → 𝑚
Consideriamo una grandezza fisica 𝒴 la cui misura 𝑦 = 𝑦(𝑥) è funzione della misura 𝑥 di una grandezza indipendente 𝒳.
...
Ad una variazione Δ𝑥 della misura di 𝒳 da 𝑥 a 𝑥 + Δ𝑥 corrisponde una variazione Δ𝑦 della misura di 𝒴, da 𝑦(𝑥) a 𝑦(𝑥 + Δ𝑥).
...
Il rapporto fra le due variazioni
Δ𝑦 Δ𝑥
è esattamente il quoziente di Newton di 𝑦(𝑥) in 𝑥.
...
Se Δ𝑥 è sufficientemente piccolo si approssima (concettualmente) Δ𝑦/Δ𝑥 con la derivata 𝑦′(𝑥) il cui valore è la velocità di variazione (rate of change) di 𝒴 rispetto a 𝒳.
Di frequente 𝒳 è il tempo e 𝒴 una grandezza che varia nel tempo, assumendo la misura 𝑦(𝑡) al tempo 𝑡.
...
Un caso di immediata applicazione alla fisica è quello di un piccolo corpo (punto materiale) che si muove su una retta sulla quale vi sia un sistema di ascisse, trovandosi al tempo 𝑡 nel punto di ascissa 𝑦(𝑡). In questo caso la grandezza 𝒴 è la distanza (relativa) del corpo dall’origine fissata sulla retta, ed il quoziente di Newton Δ𝑦/Δ𝑡 è la velocità media.
Se Δ𝑡 è sufficientemente piccolo rispetto ai tempi caratteristici del moto in questione, possiamo approssimare il quoziente di Newton con la derivata 𝑦′(𝑡) che rappresenta la velocità istantanea del corpo al tempo 𝑡.
11 Derivata approssimata con il quoziente di Newton
D’altra parte 𝑓′(𝑥) ≈ Quoziente di Newton
può essere usata da sinistra a destra →
𝑚ℎ 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑖 𝑚
per approssimare (numericamente) la derivata di 𝑓 in 𝑎 con il quoziente di Newton di 𝑓 in 𝑎. Si deve scegliere ℎ piccolo (si spera a sufficienza), per esempio ℎ = 0.001, e in luogo del valore numerico di 𝑓′(𝑎) si usa il quoziente di Newton
𝑓(𝑎 + 0.001) − 𝑓(𝑎)
12 Regola dei tre punti
Se ℎ > 0 questo però tiene conto solo dei valori di 𝑓 a destra di 𝑎. Nel calcolo numerico si preferisce quindi calcolare due quozienti di Newton, con due valori di ℎ opposti nel segno (per esempio 0.001 e −0.001, o in astratto ℎ e −ℎ con ℎ > 0) e farne la media aritmetica. Si ottiene così la cosiddetta differenza centrale
che è l’espressione comunemente utilizzata per l’approssimazione numerica della derivata 𝑓′(𝑎):
𝑓′(𝑎) ≈
e che è detta formula dei tre punti.
13 Problemi numerici
Attenzione! Nell’uso pratico della formula dei tre punti non conviene esagerare e prendere ℎ piccolissimo, in quanto la formula porterebbe alla divisione fra due numeri ≈ 0 con risultati imprevedibili. Di norma, ℎ = 0.001, o qualcosa di meno, ha la piccolezza pratica adeguata.
13.0.1 Con R
f= function (x) (4x+8)/(-2x+1) a= h=0. (f(a+h)-f(a))/(h)
[1] 0.
(f(a+h)-f(a-h))/(2*h)
[1] 0.
h=10^- (f(a+h)-f(a))/(h)
[1] 0
(f(a+h)-f(a-h))/(2*h)
[1] 0
14 Regola dei 3 punti per tabelle di valori
Talvolta, nella formula dei tre punti, si è costretti a prendere ℎ grande: è il caso delle funzioni tabulate a passo costante, ovvero di quelle funzioni 𝑦 = 𝑓(𝑥) per le quali è nota unicamente una tabella (o tavola) di valori 𝑦 0 , 𝑦 1 , 𝑦 2 , …, 𝑦𝑘, … assunti in corrispondenza di valori 𝑥 0 , 𝑥 1 = 𝑥 0 + ℎ, 𝑥 2 = 𝑥 0 + 2 ℎ, …, 𝑥𝑘 = 𝑥 0 + 𝑘 ℎ, …, della variabile 𝑥, essendo ℎ il passo della tabulazione (costante). Supponiamo ad esempio che per una funzione 𝑔 sia nota la tabella:
Ricordiamo che se 𝑁 (𝑡) è il numero di individui della popolazione in esame al tempo 𝑡, la velocità di crescita al tempo 𝑡 è esattamente la derivata 𝑁 ′(𝑡), mentre il quoziente 𝑁 ′(𝑡)/𝑁 (𝑡) è il tasso istantaneo di crescita. Possiamo pensare che dati rappresentino una tabulazione di 𝑁 (𝑡) a passo costante 𝑡 = 10 (se si misura il tempo in anni).
...
Quindi una stima per la velocità di crescita della popolazione residente italiana al 25 ottobre 1981 è (formula dei tre punti)
= 132074.2 [individui / anno]
...
Il tasso istantaneo di crescita alla stessa data è
= 0.23% annuo
15 Cambio di unità di misura
Si osservi che l’unità di misura della velocità di crescita è individui / anno, e quindi l’unità di misura del tasso di crescita è
individui / anno individui = anno−
Scrivendo +0.23% annuo si intende +0.23% anno −1. Se invece dell’anno scegliamo il mese, quello che abbiamo è una tabulazione di 𝑁 (𝑡) a passo costante 𝑡 = 120 ed il tasso di crescita mensile della popolazione al 25 ottobre 1981 diventa
56778031 − 54136547 240
= 11006.18 [individui / mese]
ed il tasso istantaneo di crescita (su base mensile) diventa 0.00019 = +0.019% mensile (cioè 1/12 di quello annuo).
data DeltaCasiSett totale_casi totale_positivi 1732554000 24 1820140 59969 1731949200 26 1819975 59994 1731344400 42 1819790 60026 1730739600 65 1819493 60044 1730134800 108 1819038 59970 1729530000 179 1818283 59853
16 Δ casi Piemonte (dati)
17 Plot
0
5000
10000
2020 2022 2024 data
incrementosett
18 Linearizzazione
La linearizzazione non riesce sempre. Sia
𝑓(𝑥) = ∣
e scegliamo 𝑎 = 1 e 𝑓(𝑎) = 0.
Il grafico per −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 è
Non è questione di risoluzione, in quanto è possibile mostrare che questo spigolo rimane per quanto potente sia il sistema di calcolo che si usa la funzione 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|/|𝑥 + 1| non è derivabile in 𝑎 = 1, ovvero il suo grafico non ha retta tangente nel punto spigoloso (1, 0). (Questa funzione è comunque derivabile in ogni altro punto dove sia definita.)
Per quanto abbiamo visto è ovvio che:
... La derivata di una retta 𝑟(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞 in un qualunque punto 𝑎 è sempre la stessa ed è uguale alla pendenza 𝑚. In particolare la derivata di una funzione costante (una retta orizzontale) in un qualunque punto 𝑎 è uguale a zero.
Riassumendo il contenuto fondamentale di oggi, la derivata di una funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) in 𝑎 è un numero 𝑚 = 𝑓′(𝑎), che possiamo interpretare in vari modi. L’interpretazione fondamentale è quella geometrica: 𝑓′(𝑎) è la pendenza della retta tangente al grafico di 𝑦 = 𝑓(𝑥) nel punto di ascissa 𝑎. Vi è poi un’interpretazione fisica, in cui 𝑓′(𝑎) è la velocità (istantanea) di variazione della grandezza 𝑦 rispetto alla grandezza 𝑥. Noi abbia- mo accostato all’interpretazione geometrica anche un’interpretazione grafica, secondo la quale 𝑓′(𝑎) è la pendenza della retta con la quale si confonde graficamente il grafico di 𝑦 = 𝑓(𝑥) quando questo venga visto al microscopio in una finestra grafica centrata nel punto (𝑎, 𝑓(𝑎)); questa retta è naturalmente sempre la retta tangente in (𝑎, 𝑓(𝑎)).
