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5 giugno 2014
Istituzioni e didattica della matematica
Nome Cognome
Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte.
1. Sulla guida del Touring c’e una piantina del centro di Parigi in scala 1 : 10 000 e un’altra piantina, di un’area piu vasta, in scala 1 : 20 000. Un edificio nella prima piantina e rappresentato approssimativamente da un quadrato di lato 0, 5 cm. a) Come sara rappresentato questo edificio nella seconda piantina? b) Qual e l’area dell’edificio nelle due piantine? c) E nella realta? 2. Considerare le figure A e B :
A
B
Esistono isometrie che mandano la figura A nella figura B? Se sı, quante sono? Di quale tipo sono? Quali sono gli elementi che le individuano? (Esempio: per una traslazione, quale il vettore che la individua? per una rotazione, quali sono centro e angolo? e cos`ı via... )
3. Qual `e il gruppo di simmetria della seguente figura?
(Dire qual `e il tipo di gruppo di simmetria e elencarne esplicitamente gli elementi.)
4. Una possibile definizione corretta di “rombo” `e “quadrilatero con tutti i lati uguali”. Dire ( giu- stificando ciascuna risposta ) quale o quali fra le seguenti costituiscono altre possibili definizioni corrette di rombo: a) parallelogramma con le diagonali uguali fra loro, b) parallelogramma con le diagonali perpendicolari.
Scienze della Formazione Primaria Istituzioni e didattica della matematica
24 giugno 2014
Istituzioni e didattica della matematica
Nome Cognome
Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte.
1. Sulla guida del Touring ci sono due piantine del centro di Parigi, la prima in scala 1 : 10 000 e la seconda in scala 1 : 5 000. Un edificio nella prima piantina e rappresentato approssimativamente da un quadrato di lato 0, 5 cm. a) Come sara rappresentato questo edificio nella seconda piantina? b) Qual e l’area dell’edificio nelle due piantine? c) E nella realta? 2. Considerare le figure A e B :
A
B
Esistono isometrie che mandano la figura A nella figura B? Se sı, quante sono? Di quale tipo sono? Quali sono gli elementi che le individuano? (Esempio: per una traslazione, quale il vettore che la individua? per una rotazione, quali sono centro e angolo? e cos`ı via... )
3. Qual `e il gruppo di simmetria della seguente figura?
(Dire qual `e il tipo di gruppo di simmetria e elencarne esplicitamente gli elementi.)
4. Una possibile definizione corretta di “rombo” `e “quadrilatero con tutti i lati uguali”. Dire ( giu- stificando ciascuna risposta ) quale o quali fra le seguenti costituiscono altre possibili definizioni corrette di rombo: a) quadrilatero con le diagonali uguali che si incontrano nei rispettivi punti medi, b) quadrilatero con le diagonali perpendicolari che si incontrano nei rispettivi punti medi.
Scienze della Formazione Primaria Istituzioni e didattica della matematica
8 settembre 2014
Istituzioni e didattica della matematica
Nome Cognome
Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte.
1. Sulla guida del Touring ci sono due piantine del centro di Praga, la prima in scala 1 : 50 000 e la seconda in scala 1 : 2 500. Un edificio nella prima piantina e rappresentato approssimativamente da un quadrato di lato 1 cm. a) Come sara rappresentato questo edificio nella seconda piantina? b) Qual e l’area dell’edificio nelle due piantine? c) E nella realta? (Dare una piena giustificazione delle risposte) 2. Considerare le figure A , B e C :
A B C
a) Esistono isometrie che mandano la figura A nella figura B? Se sı, quante sono? Di quale tipo sono? Quali sono gli elementi che le individuano? (Esempio: per una traslazione, quale il vettore che la individua? per una rotazione, quali sono centro e angolo? e cosı via... ) b) Esistono isometrie che mandano la figura _B_ nella figura _C_? Se sı, quante sono? Di quale tipo sono? Quali sono gli elementi che le individuano? c) Dalle risposte ai punti a) e b) si pu `o dedurre che esistono isometrie che mandano la figura A nella figura C? ( Giustificare la risposta .)
3. Qual `e il gruppo di simmetria della seguente figura?
(Dire qual `e il tipo di gruppo di simmetria e elencarne esplicitamente gli elementi.)
4. Sono sempre simili oppure no: a) due triangoli con due lati rispettivamente uguali? b) due triangoli con due angoli rispettivamente uguali? (Dare una piena giustificazione delle risposte)
Scienze della Formazione Primaria Istituzioni e didattica della matematica
20 Gennaio 2015
Istituzioni e didattica della matematica
Nome Cognome
Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte.
1. Sulla guida del Touring c’e una piantina del centro di Milano in scala 1 : 10 000 e un’altra piantina, di un’area piu vasta, in scala 1 : 20 000. Un edificio nella prima piantina e rappresentato approssimativamente da un triangolo rettangolo di cateti di 0, 3 e 0, 4 cm. a) Come sara rappresentato questo edificio nella seconda piantina? b) Qual e l’area dell’edificio nelle due piantine? c) E nella realta? 2. Considerare le figure A e B :
A
B
Esistono isometrie che mandano la figura A nella figura B? Se sı, quante sono? Di quale tipo sono? Quali sono gli elementi che le individuano? (Esempio: per una traslazione, quale il vettore che la individua? per una rotazione, quali sono centro e angolo? e cos`ı via... )
3. Qual `e il gruppo di simmetria della seguente figura?
(Dire qual `e il tipo di gruppo di simmetria e elencarne esplicitamente gli elementi.)
4. Una possibile definizione corretta di “parallelogramma” `e “quadrilatero con lati opposti pa- ralleli”. Dire ( giustificando ciascuna risposta ) quale o quali fra le seguenti costituiscono altre possibili definizioni corrette di rombo: a) rombo con le diagonali uguali fra loro, b) trapezio avente lati opposti di ugual lunghezza.
Scienze della Formazione Primaria Istituzioni e didattica della matematica
3 giugno 2015
Istituzioni e didattica della matematica
Nome Cognome
Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte. NOTA BENE : in questo esame sara valutata la capacita di argomentare e dare una giustificazione e non semplicemente il raggiungimento di un risultato corretto in quanto quest’ultimo aspetto e gia stato verificato con la prova preliminare informatizzata.
1. Indicare il gruppo di simmetria di ciascuno dei seguenti simboli:
✭ H
T ✯
Z
(Dire qual `e il tipo di gruppo e elencarne esplicitamente gli elementi.)
2. Fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, considerare la trasformazione f che a ogni punto P di coordinate ( x , y ) associa il punto f ( P ) di coordinate f ( x , y ) = ( x + 1, − y ). a) Fornire la definizione di isometria e mostrare che f e una isometriab) Determinare gli eventuali punti fissi di _f_ c) Determinare l’immagine tramite _f_ dei vettori aventi estremo iniziale nell’origine ed estremi finali rispettivamente (1, 0) e (0, 1) d) Mostrare che _f_ definisce una glissoriflessione e calcolare _f_^2 , la composizione di _f_ con s´e stessa. Che trasformazionee? 3. Sia Q un quadrato di lato 1 m a) Fornire la definizione di similitudine tra figure b) Determinare tutte e sole le figure simili a Q c) Come varia l’area di queste figure in funzione del rapporto di similitudine? 4. Su una cartina turistica in scala 1 : 200 000 una regione e rappresentata da un quadrato di lato circa 1 cm. Se consideriamo invece una seconda cartina in scala 1 : 400 000 come sara rappresentata la stessa regione? Qual e l’area della regione nelle due piantine? E nella realta?
Scienze della Formazione Primaria Esame di Istituzioni e didattica della matematica
22 giugno 2015
Istituzioni e didattica della matematica
Nome Cognome
Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte. NOTA BENE : in questo esame sara valutata la capacita di argomentare e dare una giustificazione e non semplicemente il raggiungimento di un risultato corretto in quanto quest’ultimo aspetto e gia stato verificato con la prova preliminare informatizzata.
1. Indicare il gruppo di simmetria di ciascuno dei seguenti simboli:
N
H
(Dire qual `e il tipo di gruppo e elencarne esplicitamente gli elementi.)
2. Fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, considerare la trasformazione f che a ogni punto P di coordinate ( x , y ) associa il punto f ( P ) di coordinate f ( x , y ) = ( y , − x ). a) Dimostrare che f e una isometriab) Determinare gli eventuali punti fissi di _f_ c) Determinare l’immagine del triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 2) e stabilire se _f_ inverte o preserva l’orientazione d) Determinare il tipo di isometria di _f_ sfruttando i punti precedenti e calcolare se esiste un intero _n_ positivo tale che _f n_ , la composizione di _f_ con s´e stessa _n_ volte,e la trasformazione identica 3. Sia R un rombo avente diagonali di lunghezze rispettivamente 6 e 8 a) Determinare le lunghezze dei lati di R b) Stabilire se R e un rettangoloc) Descrivere l’immagine di _R_ rispetto ad una qualsiasi similitudine di rapporto (^12) **4.** Su una cartina turistica in scala 1 : 200 000 una regionee rappresentata da un quadrato di area circa 2 cm^2. Se consideriamo invece una seconda cartina in scala 1 : 400 000 come sara rappresentata la stessa regione? Quale l’area della regione nella seconda piantina? E nella realt`a?
Scienze della Formazione Primaria Esame di Istituzioni e didattica della matematica
14 settembre 2015
Istituzioni e didattica della matematica
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Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte. NOTA BENE : in questo esame sara valutata la capacita di argomentare e dare una giustificazione e non semplicemente il raggiungimento di un risultato corretto in quanto quest’ultimo aspetto e gia stato verificato con la prova preliminare informatizzata.
1. Sia r una retta e O un punto su tale retta. Sia σr la riflessione rispetto a r e ρO ,90 la rotazione attorno al punto O di 90 gradi in senso orario. a) Disegnare due figure che ammettano σr e ρO ,90 nel loro gruppo di simmetria. b) Se una figura F ha nel suo gruppo di simmetria σr e ρO ,90, qual e l’ordine minimo del gruppo di simmetria di _F_? **2.** Fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, considerare la trasformazione _f_ che a ogni punto _P_ di coordinate ( _x_ , _y_ ) associa il punto _f_ ( _P_ ) di coordinate _f_ ( _x_ , _y_ ) = ( _y_ + 1, − _x_ ). a) Dimostrare che _f_ e una isometria b) Determinare gli eventuali punti fissi di f c) Determinare l’immagine del triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 2) e stabilire se f inverte o preserva l’orientazione d) Determinare il tipo di isometria di f sfruttando i punti precedenti e stabilire se esiste un intero n positivo tale che f n , la composizione di f con s´e stessa n volte, sia la trasformazione identica 3. Sono sempre simili oppure no: a) due parallelogrammi con un angolo uguale? b) due rombi con un angolo uguale? 4. Su una cartina turistica in scala 1 : 100 000 una regione e rappresentata da un quadrato di area circa 2 cm^2. Se consideriamo invece una seconda cartina in scala 1 : 200 000 come sara rappresentata la stessa regione? Qual e l’area della regione nella seconda piantina? E nella realta?
Scienze della Formazione Primaria Esame di Istituzioni e didattica della matematica
26 gennaio 2016
Istituzioni e didattica della matematica
Nome Cognome
Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte. NOTA BENE : in questo esame sara valutata la capacita di argomentare e dare una giustificazione e non semplicemente il raggiungimento di un risultato corretto in quanto quest’ultimo aspetto e gia stato verificato con la prova preliminare informatizzata.
1. Indicare il gruppo di simmetria di ciascuno dei seguenti simboli:
✾ Y ✯ ✭
(Dire qual `e il tipo di gruppo e elencarne esplicitamente gli elementi.)
2. Fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, considerare la trasformazione t che a ogni punto P di coordinate (x, y) associa il punto t(P) di coordinate t(x, y) = (x + 1, y + 1 ) e la trasformazione s che a ogni punto P di coordinate (x, y) associa il punto s(P) di coordinate s(x, y) = (x, −y) a) Calcolare s(t(P)) e t(s(P)), dove P ha coordinate (x, y) b) Dedurre che le funzioni composte s ◦ t e t ◦ s sono diverse c) Determinare i punti fissi delle funzioni del punto precedente d) Mostrare che sono entrambe glissoriflessioni e trovarne i relativi assi 3. Sia T un triangolo isoscele avente due altezze di lunghezza rispettivamente 6 e 8. a) Determinare le possibili lunghezze della restante altezza b) Stabilire se T e equilateroc) Descrivere il piu dettagliatamente possibile la figura ottenuta ruotando T rispetto ad un arbitrario punto del piano di un angolo di 60◦ 4. Su una cartina turistica in scala 1 : 30 000 una regione e rappresentata da un’area che misura circa 4 cm^2. Se consideriamo invece una seconda cartina in scala 1 : 15 000 come sara rappresentata la stessa regione? Qual e l’area della regione nella seconda piantina? E nella realta?
Scienze della Formazione Primaria Esame di Istituzioni e didattica della matematica
23 febbraio 2016
Istituzioni e didattica della matematica
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Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte. NOTA BENE : in questo esame sara valutata la capacita di argomentare e dare una giustificazione e non semplicemente il raggiungimento di un risultato corretto in quanto quest’ultimo aspetto e gia stato verificato con la prova preliminare informatizzata.
1. Fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, considerare la riflessione r rispetto all’asse delle x e la traslazione t di vettore v = (2, 2). a) Scrivere esplicitamente r(x, y), ossia le coordinate dell’immagine del punto P di coordinate (x, y) b) Scrivere l’equazione della retta L parallela all’asse di r passante per il punto (0, 1) c) Detta g la composizione t ◦ r, mostrare che g(L) = L d) Mostrare che la distanza di P da g(P) vale 2 per ogni punto P di L 2. Siano a e b due rette che formano tra loro un angolo di 30◦. Sia F una figura che ammette come simmetrie le due riflessioni di assi a e b. a) Qual e il numero minimo di elementi del gruppo di simmetria di F? b) Fornire esempi di possibili figure F cosı fatte, il cui gruppo di simmetria non contiene trasla- zioni non banali. 3. Su una cartina turistica in scala 1 : 50 000 una regione e rappresentata da un’area che misura circa 3 cm^2. Se consideriamo invece una seconda cartina in scala 1 : 25 000 come sara rappresentata la stessa regione? Qual e l’area della regione nella seconda piantina? E nella realta? 4. Una possibile definizione corretta di “rombo” `e “quadrilatero con tutti i lati uguali”. Dire ( giu- stificando ciascuna risposta ) quale o quali fra le seguenti costituiscono altre possibili definizioni corrette di rombo: a) l’unione di due triangoli isosceli; b) un quadrilatero con le diagonali perpendicolari.
Inserire \ccl{...} nel preamble o in un file di configurazione
CCL Esame di Istituzioni e didattica della matematica
20 settembre 2016
Istituzioni e didattica della matematica
Nome Cognome
Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte. NOTA BENE : in questo esame sara valutata la capacita di argomentare e dare una giustificazione e non semplicemente il raggiungimento di un risultato corretto in quanto quest’ultimo aspetto e gia stato verificato con la prova preliminare informatizzata.
1. Determinare l’equazione della retta r parallela alla retta s di equazione y = 2 x + 3 e passante per il punto P di coordinate (0, − 1 ). 2. Fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, considerare l’isometria f che a ogni punto P di coordinate ( x , y ) associa il punto f ( P ) di coordinate ( x + 1, − y ). a) Sia g = f ◦ f , la composizione di f con se stessa. Se P e il punto di coordinate( _x_ , _y_ ), quali sono le coordinate del punto _g_ ( _P_ )? b) Mostrare che _g_ e una traslazione non banale. c) Quali isometrie hanno la proprieta che la composizione con se stessae una traslazione non banale? Da questo possiamo dedurre che f e una... ?` 3. Si considerino le rette r e s in figura.
r s
Una figura F ammette nel suo gruppo di simmetria la riflessione σr rispetto alla retta r e la rifles- sione σs rispetto a s. Il gruppo di simmetria di F e finito?`
4. Un poligono e _rosso_ se _ha tutti gli angoli uguali_ e un poligonoe verde se ha tutti gli angoli retti. Dire se a) esiste un triangolo rosso e esiste un triangolo verde? b) esiste un quadrilatero rosso? esiste un quadrilatero verde? esiste un quadrilatero verde ma non rosso? e un quadrilatero rosso ma non verde? c) esiste un pentagono rosso? esiste un pentagono verde? esiste un pentagono sia rosso che verde? 5. a) Si scriva la definizione di similitudine del piano. b) Si diano due esempi significativi di trasformazioni f e g che illustrino il concetto di similitu- dine del piano.
Scienze della Formazione Primaria Esame di Istituzioni e didattica della matematica
Commenti testo esame scritto 20 settembre 2016 2
Esercizio 3 Si considerino le rette r e s in figura.
r s
Una figura F ammette nel suo gruppo di simmetria la riflessione σr ri- spetto alla retta r e la riflessione σs rispetto a s. Il gruppo di simmetria di F e finito?`
Per affrontare questo quesito e` fondamentale rispondere alla do- manda
- cosa
e il gruppo di simmetria di una figura? Il gruppo di simmetria di una figu- ra come prima cosae un insieme di isometrie (che soddisfano una cer- ta condizione, quale?). Inoltre un gruppo di simmetria e un _gruppo_ nel senso matematico del termine (si veda il testo _Galleria di metamor- fosi_ ). Questo in particolare signifi- ca chee dotato di una operazione e questa stessa operazione permette di costruire tutti gli elementi (cioe le isometrie) che appartengono al gruppo. Quanto appena scritto, in questo caso significa che se _σr_ appartiene al gruppo e _σs_ appartiene al gruppo, allora anche _σr_ ◦ _σs_ appartiene al gruppo (e questo senza avere la minima idea di come sia fatta effettiva- mente _F_ , possiamo ragionare in astratto sulle isometrie, non abbiamo bisogno di alcun disegno). Che tipo di isometriae σr ◦ σs? Osserviamo che σr ◦ σs e una traslazione non banale (perch´e?) di un certo vettore _v_ (comee fatto questo vettore?). Quindi il gruppo di simmetria di F contiene una traslazione non banale. E possibile che un gruppo checontiene una traslazione non banale sia finito, cioe sia formato da un numero finito di elementi?
Esercizio 4 Un poligono e _rosso_ se _ha tutti gli angoli uguali_ e un poligonoe verde se ha tutti gli angoli retti. Dire se a) esiste un triangolo rosso e esiste un triangolo verde? b) esiste un quadrilatero rosso? esiste un quadrilatero verde? esiste un quadrilate- ro verde ma non rosso? e un quadrilatero rosso ma non verde? c) esiste un pentagono rosso? esiste un pentagono verde? esiste un pentagono sia rosso che verde?
Per rispondere a questo quesito `e fondamentale porsi le domande
- cosa significa mostrare che una figura con certe propriet`a esiste?
- cosa significa invece mostrare che **non
e possibile** **che esista** una figura con certe proprieta? Nel primo caso e sufficiente fornire un esempio, nel se- condo casoe necessario costruire una argomentazione pi u elaborata. Dopo un po’ di prove (“tentativi e er- rori”) caso per caso si deve decidere quale delle due argomentazioni si vuole portare avanti e procedere. Per questo quesitoe sufficiente osservare che gli angoli di triangoli, quadrilateri e pentagoni devono soddisfare certe condizioni (quali?) e ricordare alcune questioni di logica elementare (se “verde” non esiste, allora “rosso e verde” non potra mai essere verificata,... ). In particolare per un quadrilatero la condizione “avere tutti gli angoli uguali” e “avere tutti gli angoli retti”e equivalente (questo significa che “essere rosso” e “essere verde” per un quadrilatero sono la stessa cosa e quindi le condizioni “verde ma non rosso” e “rosso ma non verde” non possono essere soddisfatte).
Esercizio 5 a) Si scriva la definizione di similitudine del piano. b) Si diano due esempi significativi di trasformazioni f e g che illustrino il concetto di similitudine del piano.
Il quesito richiede di dare un senso alla de- finizione di “similitudine del piano” (che trovate nel libro di testo) fornendo esem- pi. Si possono utilizzare semplicemente gli esempi forniti dal libro di testo: so- no similitudini le omotetie, le isometrie, le composizioni di omotetie e isometrie,....
Istituzioni e didattica della matematica (Marina Cazzola, Anno accademico 2015-16) 20 settembre 2016
1 giugno 2016
Istituzioni e didattica della matematica
Nome Cognome
Si svolgano i seguenti esercizi dando una piena giustificazione a tutte le risposte. NOTA BENE : in questo esame sara valutata la capacita di argomentare e dare una giustificazione e non semplicemente il raggiungimento di un risultato corretto in quanto quest’ultimo aspetto e gia stato verificato con la prova preliminare informatizzata.
1. Fissata una qualsiasi unita di misura,e possibile costruire un triangolo con i lati lunghi rispet- tivamente 5, 6 e 7? Se sı, tale triangoloe rettangolo? 2. a) Scrivere la definizione di isometria. b) Fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, considerare la trasformazione f che a ogni punto P di coordinate ( x , y ) associa il punto f ( P ) di coordinate (− y , − x ). Dimostrare che f e una isometria e stabilire se conserva o inverte l’orientazione.` 3. Stabilire se le seguenti definizioni sono equivalenti: a) Quadrilatero avente tutti i lati di ugual lunghezza. b) Quadrilatero avente diagonali perpendicolari. 4. Si consideri il poligono A in figura. a) E possibile costruire un poligono con i vertici sulla quadrettatura (cio`` e in modo che tutti i vertici delle figure cadano esattamente sugli incroci della quadrettatura e non in mezzo ai quadretti) che sia simile a A e che abbia area doppia rispetto a quella di A? b) E che abbia area tripla rispetto a quella di A?
A
5. Nel piano, sia ω una qualsiasi omotetia di rapporto 2 e α una qualsiasi isometria. Sia ω −^1 l’omotetia inversa di ω. La trasformazione ω ◦ α ◦ ω −^1 e una isometria?`
Scienze della Formazione Primaria Esame di Istituzioni e didattica della matematica
Commenti testo esame scritto 1 giugno 2016 1
Commenti testo esame scritto 1 giugno 2016
Questo documento non contiene una risolu- zione del compito, ma vuole piuttosto costi- tuire una traccia per rivedere gli argomenti toccati nei vari esercizi.
Si ricorda che scopo dell’esame scritto e verificare “la capacita di argomentare e dare una giustificazione”.
Esercizio 1 Fissata una qualsiasi unita di misura,e possi- bile costruire un triangolo con i lati lunghi ri- spettivamente 5, 6 e 7? Se sı, tale triangoloe rettangolo?
Le domande sono due (e bisogna rispondere a entram- be): “posso costruire un triangolo” senza porre alcuna condizione sul tipo di triangolo e “posso costruire un triangolo rettangolo”. La risposta alla prima domanda e affermativa (“date tre cannucce di lunghezza _a_ , _b_ e _c_ rispettivamente quando e possibile costruire un triangolo?”) e si basa sulle pro- priet`a dei triangoli descritte nel libro I degli Elementi di Euclide. Per la risposta alla seconda domanda occorre in particolare ricordare che un triangolo rettangolo deve soddisfare il teorema di Pitagora.
Esercizio 2 a) Scrivere la definizione di isometria. b) Fissato un sistema di coordinate carte- siane ortogonali, considerare la trasfor- mazione f che a ogni punto P di coordi- nate ( x , y ) associa il punto f ( P ) di coor- dinate (− y , − x ). Dimostrare che f e` una isometria e stabilire se conserva o inverte l’orientazione.
La definizione richiesta nella prima parte di questi eser- cizi e essenziale per poter svolgere in maniera corret- ta la seconda parte: alcuni errori in quest’ultima parte derivano proprio dall’aver scritto definizioni imprecise (sembrerebbe cioe un tipico esempio in cui le “impreci- sioni” sono proprio lo specchio di confusione di idee sui contenuti). Per la definizione richiesta si rimanda al libro di testo. Alcune osservazioni
una isometria `e una trasformazione che conserva le distanze
e troppo vaga (` quali distanze?) e in alcuni casi sembra proprio aver portato a errori nello svolgimento della seconda parte.
- Ci sono parole che in matematica sono fondamentali e se omesse possono cambiare il significato di quello che si sta scrivendo (“ogni” o i suoi sinonimi, “uno” piuttosto che “uno solo”).
Dopo aver dimostrato che f e una isometria (si vedano esercizi analoghi svolti al lezione e a esercitazione) si possono seguire molte strade per rispondere alla domanda “conserva” o “non conserva” l’orientazione. Meglio entrare nell’ottica di non affidarsi ciecamente a un unico metodo, ma provare a trovare piu strategie diverse perch´e pu o servire come “controprova” della correttezza delle proprie conclusioni (questo per lo meno in brutta e nei propri appunti, per il compito consegnato ovviamente una sola risoluzionee pi `u che sufficiente). Le due principali vie per rispondere alla domanda sono
- osservazione diretta applicando la definizione diretta e osservando cosa succede per 3 punti non allineati (risultato “uno” del libro di testo);
- capire che tipo di isometria sia f (in base alla classificazione delle isometrie del piano) e dal tipo di isometria dire quale sia la propriet`a rispetto all’orientazione.
Istituzioni e didattica della matematica (Marina Cazzola, Anno accademico 2015-16) 1 giugno 2016
Commenti testo esame scritto 1 giugno 2016 2
Attenzione per `o, per seguire la seconda via si deve conoscere una via per stabilire che tipo di isometria sia f senza conoscere se f conserva o meno l’orientazione. Alcune osservazioni
- non
e obbligatorio studiare i punti fissi di _f_ (none richiesto nel testo), alcuni lo hanno fatto senza spiegare quale fosse lo scopo.
Esercizio 3 Stabilire se le seguenti definizioni sono equi- valenti: a) Quadrilatero avente tutti i lati di ugual lunghezza. b) Quadrilatero avente diagonali perpen- dicolari.
Per rispondere a questa domanda `e fondamentale porsi la domanda
cosa significa (in particolare in geometria) che due definizioni sono equivalenti? In questo contesto, due definizioni sono equivalenti se e solo se descrivono lo stesso insieme di figure. Per decidere se due definizioni sono equivalenti oc- corre perci `o utilizzare le tecniche che ci permettono di decidere se due insiemi sono uguali. Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi e due insiemi sono diversi se e solo se riesco a trovare un elemento che sta in uno dei due insiemi, ma non nell’altro.
Esercizio 4 Si consideri il poligono A in figura. a) E possibile costruire un poligono con ivertici sulla quadrettatura (cioe in mo- do che tutti i vertici delle figure cadano esattamente sugli incroci della quadret- tatura e non in mezzo ai quadretti) che sia simile a A e che abbia area doppia rispetto a quella di A? b) E che abbia area tripla rispetto a quella di A?
A
Per affrontare questo esercizio occorre partire dalla de- finizione di figure simili (non c’e altra via!). Due figure sono simili se e solo se esiste una similitudine che manda la prima figura nella seconda. A ogni similitudinee associato un coefficiente reale k > 0 e sappiamo come variano lunghezze, aree (e volumi) rispetto a questo k. Perch´e ci sia una similitudine che trasformi la figura A in una figura di area doppia, tale similitudine deve avere un k tale che k^2 = 2, cio`e k =
√
- Osserviamo che la figura A ha lati di lunghezza 2 quadretti. Se applico tale similitudine, le immagini di tali lati saranno segmenti di lunghezza k × 2 = 2 ×
√
- Per poter rispondere alla domanda posta dall’esercizio occorre perci
o rispondere alla domanda _e possibile disegnare sulla carta a quadretti segmenti di lunghezza_ 2 ×
√ 2_?_ In maniera analoga si pu `o argomentare per la seconda parte.
Esercizio Nel piano, sia ω una qualsiasi omotetia di rap- porto 2 e α una qualsiasi isometria. Sia ω −^1 l’omotetia inversa di ω. La trasformazione ω −^1 ◦ α ◦ ω e una isometria?`
La risposta e affermativa e anche in questo caso ci sono diversi modi per giustificare tale risposta. Un modoe semplicemente ricordare la definizione di isometria (scritta nell’esercizio 2) e verificare se vale o no per ω −^1 ◦ α ◦ ω , e cioe rispondere alla domanda da- ti due qualsiasi punti del piano, quanto vale la distanza tra ( _ω_ −^1 ◦ _α_ ◦ _ω_ )( _P_ ) e ( _ω_ −^1 ◦ _α_ ◦ _ω_ )( _Q_ )? Una seconda possibilita e ricordare che ogni isometriae anche una similitudine, quindi ω −^1 ◦ α ◦ ω `e un prodotto di similitudini. Quanto vale il rapporto k di questa similitudine?
Istituzioni e didattica della matematica (Marina Cazzola, Anno accademico 2015-16) 1 giugno 2016
