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1 © Zanichelli Editore, 2006
� PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f ( x ) � 2 x � 3 x^3
- Disegnate il grafico G di f.
- Nel primo quadrante degli assi cartesiani, considerate la retta y � c che interseca G in due punti distinti e le regioni finite di piano R e S che essa delimita con G. Precisamente: R delimitata dall’asse y , da G e dalla retta y � c e S delimitata da G e dalla retta y � c.
- Determinate c in modo che R e S siano equivalenti e determinate le corrispondenti ascisse dei punti di intersezione di G con la retta y � c.
- Determinate la funzione g il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta y � �
� PROBLEMA 2 ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa BC.
- Dimostrate che la mediana relativa a BC è congruente alla metà di BC.
- Esprimete le misure dei cateti di ABC in funzione delle misure, supposte assegnate, dell’ipotenusa e dell’altezza ad essa relativa.
- Con BC � � 3 � metri , determinate il cono K di volume massimo che si può ottenere dalla rotazione completa del triangolo attorno ad uno dei suoi cateti e la capacità in litri di K.
- Determinate la misura approssimata, in radianti ed in gradi sessagesimali, dell’angolo del settore circolare che risulta dallo sviluppo piano della superficie laterale del cono K.
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO • 2004
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
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� QUESTIONARIO
Trovate due numeri reali a e b , a � b , che hanno somma e prodotto uguali.
Provate che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circo- scritta come 3 sta a 4.
Date un esempio di funzione f ( x ) con un massimo relativo in (1, 3) e un minimo relativo in (� 1, 2).
Dimostrate che l’equazione e x^ � 3 x � 0 ammette una e una sola soluzione reale.
Di una funzione g ( x ), non costante, si sa che: lim x � 2 g ( x ) � 3 e g (2) � 4. Trovate una espressione di g ( x ).
Verificate che le due funzioni f ( x ) � 3log x e g ( x ) � log(2 x )^3 hanno la stessa derivata. Quale giustifica- zione ne date?
Un triangolo ha due lati e l’angolo da essi compreso che misurano rispettivamente a, b e �. Quale è il valore di � che massimizza l’area del triangolo?
La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradi sessagesimali , i radianti , i gradi centesimali. Quali ne sono le definizioni?
Calcolate: �
1 0
arcsen x dx.
Considerate gli insiemi A � {1, 2, 3, 4} e B � {a, b, c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Durata massima della prova: 6 ore È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
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� PROBLEMA 1
1) Il dominio della funzione f , come tutte le funzioni polinomiali, è l’intero asse reale; f è continua e derivabile e, poiché è somma di soli termini con esponenti dispari, si ha che f (� x ) � � f ( x ), ov- vero f è simmetrica rispetto all’origine degli assi. Poiché f non presenta punti di discontinuità gli unici limiti che ha senso considerare sono quelli per x che tende a � � e � �. Come per tutte le parabole cubiche il risultato di tali limiti non può che essere �, di cui si deve determinare il segno; esso dipende dal segno del termine di grado massimo che in questo caso vale � 3; pertanto c’è un’inversione del segno dell’infinito a cui tende la x con quello a cui tende la funzione; ovvero:
x lim��� f^ ( x )^ � � �^ e^ x lim ��� f^ ( x )^ � � � La f interseca l’asse delle ascisse in x � 0, come tutte le funzioni simmetriche rispetto all’origine, e
in x � � ��
�� e risulta positiva per x � � ��
�� � 0 � x � ��
La derivata prima, f �( x ) � 2 � 9 x^2 , è positiva per ��
� � x � �
� e pertanto la f è crescente in
tale intervallo con un minimo relativo in �� �
�� e un massimo relativo
in ��
La derivata seconda f �( x ) � � 18 x è positiva per ogni x � 0 e pertanto la f ha la concavità verso l’alto in tale intervallo, con un punto di flesso nell’origine; per un disegno accurato del grafico di f è utile calcolare l’inclinazione della tangente nel punto di flesso sostituendo l’ascissa del punto di flesso nella f �( x ); si ottiene così f �(0) � 2. Con queste informazioni è possibile disegnare il grafico di f (figura 1).
SOLUZIONE DELLA PROVA D’ESAME
CORSO DI ORDINAMENTO • 2004
x
y
4 2 –––– 9
- 2 –––– 3 - 4 2 ––––– 9
2 –– 3 2 3 –
2
- (^) 3 – O
� (^) Figura 1.
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4) La misura di un angolo in radianti è pari al rapporto tra la lunghezza dell’arco e il raggio; lo svilup- po piano della superficie laterale del cono K origina un settore circolare compreso tra un arco, la cui misura è pari alla misura della circonferenza della base di K (2� 2 ��), e due raggi che misurano quanto l’apotema del cono K, ovvero � 3 �. Pertanto l’angolo � sarà:
� � �
� � 6 �� � 5,1 radianti o, in gradi sessagesimali, � g � �
� QUESTIONARIO
Indicato con m sia la somma dei due numeri cercati sia il loro prodotto, tali numeri saranno le radici dell’equazione:
x^2 � mx � m � 0 ovvero: a � �
m � � m � 2
(^2) � (^) � � 4 m � � e b � �
m � � m � 2
�^2 �� � 4 m � �
con la condizione, dovendo essere a e b numeri reali diversi tra loro, che il discriminante sia positi- vo, ovvero: m � 0 � m � 4.
La superficie totale di un cilindro equilatero, avente cioè l’altezza uguale al diametro 2 r della base, è: 6 � r^2 mentre il volume della sfera circoscritta al cilindro, ovvero una sfera di raggio r � 2 �, ha una su-
perficie pari a 8� r^2 ; il rapporto tra le due superficie è, quindi, �
La funzione più semplice è da ricercare all’interno delle funzioni polinomiali; una funzione con un minimo relativo per x � � 1 e un massimo relativo per x � 1 è crescente per valori interni a tale in- tervallo e, pertanto, la derivata prima contiene il fattore (1 � x^2 ); la presenza di un fattore costante non altera il risultato e pertanto la derivata prima può essere:
f �( x ) � a (1 � x^2 ) che integrata fornisce: f ( x ) � ax � �
a 3
� x^3 � c
Imponendo il passaggio della funzione per i punti forniti dal quesito si ottiene il sistema:
che ha soluzione:
da cui: f ( x ) � � �
x 4
3 � � �
� x � �
Le soluzioni dell’equazione: e x^ � 3 x � 0 sono rappresentate dalle intersezioni della funzione f ( x ) � e x^ � 3 x con l’asse delle ascisse; tale funzione ha derivata prima: f �( x ) � e x^ � 3, positiva per qualunque x reale, e pertanto f ( x ) risulta essere monotona crescente e, come tale, assume una e una sola volta tutti i valori del suo codominio; essendo il codominio ] ��, � � [ la f ( x ) assumerà una e una sola volta il valore y � 0, intersecando quindi una e una sola volta l’asse delle ascisse.
Le funzioni che soddisfano le condizioni indicate dal quesito sono infinite ma tutte devono presenta- re un punto di discontinuità di terza specie in x � 2; un esempio di g ( x ) è il seguente:
g ( x ) � �
x � 1 per x � 2 4 per x � 2
5
4
a � �
c � �
� a � c
2 � � �
� a � c
3
2
1
