Dispensa di Educazione logico matematica
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piccola dispensa sui concetti base delle operazioni in matematica
Tipologia: Dispense
2020/2021
1 / 19
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Dispensa di Educazione Logico Matematica
- Due numeri si dicono divisibili tra loro quando il secondo è contenuto esattamente un numero intero di volte nel primo (es. 12 e 3; 120 e 60)
- Il maggiore dei due numeri è detto multiplo ed il secondo sottomultiplo
- Un numero si dice primo quando è divisibile solo per se stesso e per 1. I più comuni numeri primi sono : 2; 3; 5; 7; 13; 17; 19; 23; 29;31; 37; 41; 43…… L’unico numero primo pari è il 2 Due o più numeri sono primi fra loro quando non hanno divisori in comune, a parte l’ (separatamente possono essere anche non primi).
DIVISIBILE PER 2:
o Un numero è sempre divisibile per 2 se l’ultima sua cifra a destra è zero o un numero pari. Es. 180 126 138
DIVISIBILE PER 3: o Un numero è sempre divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è 3 o un suo multiplo (6; 9; 12; 15; 18; …..) Es. 12 (1+2=3) 27 (2+7=9) 379254..(3+7+9+2+5+4=30)
DIVISIBILE PER 5: o Un numero è sempre divisibile per 5 se l’ultima sua cifra a destra è zero o 5 Es. 120 40 1760 25 105 39475
DIVISIBILE PER 11: o Un numero è sempre divisibile per 11 quando la differenza fra la somma delle cifre di posizione pari e la somma delle cifre di posizione dispari è zero, o undici o un suo multiplo (22; 33; 44; 55…) Es. 121 d 1+1=0 p 2 differenza 2-2= 1903 d 1+0=1 p 9+3 differenza 12-1= 729080 d 7+9+8=0 p 2+0+0=2 differenza 24-2=
I numeri primi ed il concetto di divisibilità
I criteri di divisibilità
Il m.c.m. di due o più numeri è il più piccolo dei multipli comune dei numeri presi in esame
- Ricerca del m.c.m: dopo aver scomposto in fattori i primi numeri dati, si prendono i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, col maggior esponente Es. m.c.m. (15; 28 ; 42)
15 3 28 2 42 2 5 5 14 2 21 3 1 7 7 7 7 1 1
Quindi: 15 = 3 × 5 28= 22 × 7 42=2 × 3 × 7
Per cui il m.c.m. tra 15 ; 28 e 42 è : mcm = 22 × 3 × 5 × 7 = 420
La frazione è un operatore che divide l’intero in parti uguali e ne prende in considerazione alcune. 5 numeratore Linea di frazione 8 denominatore
- Il denominatore rappresenta le parti uguali in cui è stato diviso l’intero; il numeratore le parti considerate ; la linea di frazione rappresenta l’operazione di divisione (il valore del numero si ottiene dividendo il numeratore per il denominatore 5:8= 0,625).
- Una frazione non può mai avere lo zero al denominatore perché non si può dividere un numero per zero. Tutte le frazioni che hanno zero al numeratore sono uguali a zero
- Addizione:
- somma di due o più frazioni con lo stesso denominatore:
il risultato è una frazione che ha per denominatore il denominatore
comune e per numeratore la somma dei numeratori
Es.
5 +^
5 +^
5 =^
5 =^
MINIMO COMUNE MULTIPLO m.c.m.
Le frazioni
Le quattro operazioni con le frazioni
- somma di due o più frazioni con denominatore diverso ( riduzione a denominatore comune):
ricavare il m.c.m. fra tutti i denominatori e dividere il m.c.m. trovato per i
denominatori delle singole frazioni, dopo averle ridotte eventualmente ai
minimi termini e moltiplicare i risultati per i numeratori delle frazioni date
Es.
3 +^
12 +^
16 =^
48 +^
48 +^
48 =^
48 =^
In pratica: si calcola il mcm dei denominatori e lo si scrive al denominatore; si
divide, quindi tale denominatore per ogni denominatore moltiplicando il risultato
per il relativo numeratore, i numeri così ottenuti si sommano per ottenere il
numeratore della frazione risultante:
3 −^
12: 4 × 5 + 12: 3 × 2 − 12: 6 × 7
12 =^
- Sottrazione:
- Differenza fra due o più frazioni di uguale denominatore:
il risultato è una frazione che ha per denominatore il denominatore
comune e per numeratore la differenza dei numeratori
Es.
4 −^
4 −^
4 =^
4 =^
- differenza fra due o più frazioni con diverso denominatore (riduzione a denominatore
comune):
ricavare il m.c.m. fra tutti i denominatori e dividere il m.c.m. trovato per i
denominatori delle singole frazioni, dopo averle ridotte eventualmente ai
minimi termini e moltiplicare i risultati per i numeratori delle frazioni date
Es.
6 −^
10 =^
30 −^
30 =^
30 =^
In pratica: si calcola il mcm dei denominatori e lo si scrive al denominatore; si
divide, quindi tale denominatore per ogni denominatore moltiplicando il risultato
per il relativo numeratore, i numeri così ottenuti si sommano per ottenere il
numeratore della frazione risultante:
- Numeri relativi
Lo zero non ha segno
Due numeri relativi si dicono:
Concordi se hanno lo stesso segno;
Discordi se hanno segni diversi;
Uguali se hanno segno e stesso modulo;
Opposti o contrari se hanno stesso modulo e segni diversi
Tutti i numeri positivi sono maggiori di zero:
Tutti i numeri negativi sono minori di zero:
Tutti i numeri positivi sono maggiori zero:
Tra due numeri positivi è sempre maggiore quello con modulo maggiore:
Tutti due numeri negativi è sempre maggiore quello con modulo minore:
Qualsiasi numero positivi è maggiore di qualsiasi numero negativo:
Somma algebrica di numeri relativi
Per somma algebrica di due o più numeri relativi s’intende quell’operazione che
si vuole eseguire scrivendoli l’uno di seguito all’altro, e che , a seconda dei casi, può
essere una vera e propria addizione o sottrazione
o +6+3= +
o
3
8 +^
5
6 =^
9+
24 =^
29 24
Somma di numeri concordi è uguale ad un numero relativo avente come segno lo stesso segno e come modulo la somma dei moduli
- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Numeri negativi (^) Numeri positivi
o +6-3 = + o -5+3 =-
o +20-3+9-15 = 29-18 = 11
o +20-20 = 0 o -7/8+7/8 = 0
Una parentesi contenente una somma algebrica e preceduta dal segno + si può
eliminare procedendo nel seguente modo:
si toglie il segno +, si toglie la parentesi e si scrivono i suoi termini con i segni invariati
Esempio : -3 +(-2)= -3 -2 = - 4+(-7+2-9) = 4-7+2-9 = 6-16 = -
Una parentesi contenente una somma algebrica e preceduta dal segno - si può
eliminare procedendo nel seguente modo:
si toglie il segno -, si toglie la parentesi e si scrivono i suoi termini con i segni cambiati
Esempio : -3 -(-1)= -2 +1 = -
Prodotto di due numeri relativi:
o ( +6) ×(+3)= +
o (-6) ×(-3)= +
o ( +6) ×(-3)=-
o (-6) ×(+3)=-
Esempio : (-3) ×(-5)(+2) ×(-4)-(+1) ×(8=
=+15+(-8)-(+8)= 15-8-8= 1
CONCORDI
+ × + = +
- × - = -
Somma di numeri discordi è uguale ad un numero relativo avente come modulo la differenza dei moduli e come segno il segno del numero avente modulo maggiore
prodotto di numeri concordi = prodotto dei valori assoluti e segno sempre positivo Prodotto di numeri discordi = prodotto dei valori assoluti e segno sempre negativo
Somma di più numeri con segni diversi: può convenire sommare prima fra loro tutti i numeri positivi e tutti i negativi.
La potenza è uguale al prodotto di tanti fattori tutti uguali alla base, tanti quanti ne indica l’esponente esponente
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
base
Potenze con base positiva:
se la base è positiva il risultato della potenza è positivo:
Es. :(3)^2 = 9
7
2
49 25
Potenze con base negativa:
se la base è negativa il risultato della potenza è positivo quando l’esponente è pari; mentre è negativo quando l’esponente è dispari:
Es. :(−1)^15 = − 1
3
4 �^
3
27 64
Potenze con esponente negativ0:
una potenza con esponente negativo è uguale all’inverso della potenza, senza il segno – all’esponente.
In pratica basta fare l’inverso della base e togliere il segno meno all’esponente:
Es. : 2 −2^ = � 12 �
2
3
4 �^
−
4
3 �^
2
16 9
Le potenze
Come in aritmetica anche in algebra:
una potenza con esponente 0 vale sempre 1
Es. : 10 = 1 310 = 1 (−8)^0 = 1
una potenza con esponente 1 sono uguali a se stessi
Es. : 31 = 3 311 = 31 (−8)^1 = 8
lo zero con un qualsiasi esponente è sempre uguali a zero
Es. : 01 = 0 015 = 0 (−0)^1 = 0
l’1 con un qualsiasi esponente è sempre uguali a uno