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Analisi matematica
Calcolo combinatorio
Disposizioni semplici Dn,k=n(n-1)(n-2).....(n-k+1)= ( )!
n k
n −
(0≤ k ≤n) diff. Per un elemento o per l’ordine
con ripetizione D r n,k=n
k k∈N 0 diff. Per due el. Dist. Che occupano lo stesso posto
Permutazioni semplici Pn=Dn,n=n!
elementi ripetuti ! !...
α β
α β n Pn =
Combinazioni semplici k
nk nk P
D
k
nn n k k
n C , , !
= diff. Per un elemento
con ripetizione
( )( ) ( ) !
k
n k n k n n k
n k C (^) nk
! ( )!
k n k
n k
n −
⎛ n ⎟⎟ ⎠
n k
n k
n
Stifel (^) ⎟⎟ ricorrenza ⎠
1 k
n k
n k
n 1 + 1
n k k
n k
n
∑ = r
n k r
m k
m n k
r 0
( ) k
n
k
n ankb k
n a b ∑ =
− ⎟⎟ ⎠
0
n n
n n n 2 0 1
Limiti
Per il calcolo dei limiti ( x tende ad un numero finito o all'infinito ), si utilizzano le formule seguenti quando sono noti i limiti finiti l e m. Noti: lim f(x)=l e lim g(x) = m
[ ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( )] ( ( )) ( ) (^ )
( ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) a
a a
fx l
pera usare a e a
fx Per fx usare fx
m fx gx lm fx l l e e m
l gx
fx fx gx l m
ln ln
ln log :log
lim lim 0 lim limln ln 0 lim
= =
⎥= ≠ ⋅ = = > = ⎦
⎤ ⎢ ⎣
⎡ ± = ±
Nei casi esclusi dalle regole precedenti o per limiti infiniti si possono applicare le seguenti relazioni formali.
Somma: l ± ∞=±∞; +∞+∞=+∞; −∞−∞=−∞
Prodotto: l ⋅^ (^ ±∞)^ =±∞ ( l^ ≠^0 )^ ;^ (^ ±∞) (⋅^ ±∞)^ =±∞; Vale la regola dei segni.
Quoziente: ( ) =∞
∞ = ∞ ≠ 0
0 ; 0
l
l 0
0 0 ; = ±∞
= ±∞
l
Esponenziale:
⎪(^ )
⎩
⎪ ⎨
⎧
=+∞ −∞
+∞ = < < ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
= −∞
+∞=+∞ > l
l l l
l l
0 ; 0 1 0
1
( )(^ )
( )(^ )
⎪
⎪ ⎩
⎪
⎪ ⎨
⎧
−∞ =+∞
+∞−∞ =
+∞ =
<
⎪
⎪ ⎩
⎪
⎪ ⎨
⎧
+∞=
+∞+∞=+∞
+∞ =+∞
>
0
0
0
; 0
0 0
0
m
m
m
m
Logaritmo:
⎩
⎨
⎧ < < ⇒ <
> ⇒ >
=−∞ +∞ =+∞
0 1 ln 0
1 ln 0 ln
ln log : log
ln 0 ; ln
a a
a a a
f x Per afx usare af x
Limiti notevoli
α
α (^) α α
→
=
→
⎟ = ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛
→∞
⎟ = ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛
→ ∞ x
x x x
x x
xx e x
e
x
x x
e
x
x x
ln 1 0
1 ; 5 ) lim
ln 1 0
; 4 ) lim
1 1 0
; 2 ) lim 1 ; 3 ) lim
1 1 ) lim 1
ae
a x
ax x
x x e x x
x
x x
ex x log
1 ln
1 0
ln 0 ; 0 ; 8. 1 ) lim 0
0 ; 8 ) lim
ln 6 ) lim ; 7 ) lim = =
− →
⋅ = ∀ ∈ℜ ∀ > → +
= →+∞
=+∞ →+∞
β α α β β
α
β
= ∈ℜ
= = ∈ℜ+−
→
=
− →
=
− →
k k x
xk x
a a ae x
a x fx x
efx x fx
ex x
;
1 1 0
; 1 ; 12 ) lim ln
1 log
log 1
0
1 ; 11 ) lim
1 0
1 ; 10 ) lim
1 0
9 ) lim
2
1 2
1 cos^2 0
1 ; 17 ) lim 1 cos 0
1 ; 16 ) lim tan 0
1 0 ; 15 ) lim sen 0
1 ; 14 ) lim sen 0
13 ) lim = − →
= − →
= →
= ≠ →
= → (^) x
x x x
x x x
x x
a ax
ax x x
x x
( xingradi )
x
x x
x x
x x
x x
x x
poichèx x
x x^180
sen 0
(^2) sen (^2002) sen (^22) ; 20 ) lim 0
; 19 ) lim
1 0 sen
1 sen 0
18 ) lim
π π π
→
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ = ≤ ≤ → ⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛ = < →
Forme indeterminate
1,2) ∞
∞ e 0
0 si applica la formula di De L'Hopital
g ( ) x
f x gx
f x '
' lim =lim
Per le funzioni razionali fratte con ⎩
⎨
⎧ den inatoredigrado d
numeratoredigradon om ⎪
⎪ ⎩
⎪ ⎪ ⎨
⎧
<
=
∞ >
=
→±∞ pern d
pern d b
a
pern d
bxd
axn x 0
...
... lim
3) 0 ⋅ ∞ Si riconduce al caso ( ) ( )
f ( ) x
gx oppure fx gx
gx
fx o fx gx 1
() 1
() 0
0 ⇒ ⋅ = ⋅ = ∞
∞
4,5,6) 00 ;∞ 0 ; 1 ∞ Si trasforma usando
[ ( ) ( )] ( ) ( ) (^ )^
lim gx ln f x = l formaind. 0 ⋅∞;⇒lim f xgx =lim egx ln fx = el ( l anche +∞,−∞)
- ∞−∞ Si riporta ad uno dei precedenti casi:
⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟ = − = − ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛
− = ⇒ − = fx
gx formaind sel oppure fx gx fx
fx
fx
gx
l fx gx fx
g x 1 1 0
0 . 1
1 lim
Se ci sono radicali si può razionalizzare: si moltiplica e si divide per lo stesso fattore, che elimina la differenza (o somma) fra
radicali; ad es. se la funzione è del tipo ± , si moltiplica e si divide per m
Studio di funzione
Affinché una funzione y = f(x) sia continua nel punto x = c devono verificarsi contemporaneamente le seguenti
condizioni:
- esistenza del valore della funzione per x = c;
2) esistenza del limite finito l della funzione per x → c (cioè f x f x l
x c x c
→−^ →+
lim ( ) lim (^ ) );
- coincidenza tra l e f(c). Quando anche una sola delle tre condizioni non è verificata si dice che la funzione è discontinua e che x = c è un punto
di discontinuità per la funzione (o anche punto singolare ).
Punti di discontinuità di prima specie Si dice che per x=c la funzione y = f(x) ha un punto di discontinuità di prima specie , quando esistono e sono finiti e
diversi tra loro i limiti dalla destra e dalla sinistra della funzione, a prescindere dall’eventuale valore della f(x) per
x = c lim f^ ( x ) lim f ( x )
x → c −^ x → c +
Punti di discontinuità di seconda specie Si dice che per x=c la funzione y = f(x) ha un punto di discontinuità di seconda specie , quando non esiste , o non esiste
finito, uno almeno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di c.
Punti di discontinuità di terza specie Si dice che per x=c la funzione y = f(x) ha un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile , quando esiste
finito , il limite per x → c di f(x), ma f(c) o non esiste o è diversa dal valore del limite.
Grafico probabile di una funzione a) determinare il dominio individuando dove f è continua b) determinare le eventuali intersezioni del suo grafico con gli assi coordinati
c) studiare il segno della funzione individuando l’insieme di positività e negatività
d) calcolare i limiti della funzione per x → ∞ e in corrispondenza ai suoi punti di discontinuità, deducendo gli
eventuali asintoti orizzontali e verticali e) tracciare, tenendo conto degli elementi acquisiti, il grafico probabile della funzione.
Flessi a tg. orizzontale
Ricerco la 1a^ derivata ≠ 0
f ' ( x 1 ) f ' '( x 1 ) f ' ''( x 1 ) f iV^ ( x )
1 ordine pari
f x
V
ord. dispari =0 >0 min <0 max =0 =0 >0 fl. asc. <0 fl. disc. =0 =0 =0 >0 min <0 max =0 =0 =0 =0 >0 fl. asc. <0 fl. disc.
Per ricercare tutti i flessi anche quelli a tg. Obliqua f ' '( x )= 0 (condizione necessaria non sufficiente)
f ' ( x 1 ) f ' '( x 1 ) f ' ''( x 1 ) ordine dispari
f IV ( x 1 ) ordine pari ≠ 0 = 0 ≠ 0 fl. obliq. ≠ 0 = 0 =0 ≠ 0 ne min. ne max. ne flessi. la curva volge la concavità verso l’alto > 0 la curva volge la concavità verso il basso < 0
f'(xi) > 0 Î funz.crescente f''(xi) > 0 Î concavità verso l'alto f'(xi) < 0 Î funz decrescente f''(xi) < 0 Î concavità verso il basso
per trovare i flessi si pone f''(x) = 0 , si studia il segno di f''(x) nell'intorno dei valori trovati, se f''(x) cambia segno tra
destra e sinistra del punto considerato si ha un flesso altrimenti no.
Se si ha un max o un min a tg orizzontale Î f'(x 0 ) = 0
Condizione necessaria, non sufficiente, affinchè vi sia un flesso in x 0 è che f''(x 0 )= Per trovare i flessi perciò si deve porre f''(x)= Si studia quindi il segno della f''(x) nell'intorno dei valori trovati Se f''(x) cambia di segno a destra e a sinistra del punto considerato si ha un flesso altrimenti no.
Se f'(x 0 ) > 0 Æ funzione crescente in x 0 Se f''(x 0 ) > 0 Æ concavità verso l'alto
Se f'(x 0 ) < 0 Æ funzione decrescente in x 0 Se f''(x 0 ) < 0 Æ concavità verso il basso
Massimi e minimi : se si ha un massimo o minimo relativo a tangente orizzontale Æ f'(x 0 ) = 0
x 0
Minimo relativo - + Segno f'(x) x 0
Massimo relativo (^) + - Segno f'(x)
Tabella delle primitive
∫ +^ (^ ≠−)
= +^ , 1
x c n n
x ndx n
∫ dx^ =^ x + c ∫ xdx^ =^ x + c
2 2
∫ xdx^ =^ x + c
2 3
∫ dx =^ x + c x
∫ (^) x dx =^ − x + c
2
dx x c x ∫ =ln +
∫ sen^ xdx^ =^ −cos x + c ∫ axdx^ =^ − a cos ax + c
sen
∫ cos^ xdx^ =^ sen x + c ∫ axdx^ =^ a sen ax + c
cos
∫ (^) cos^2 xdx =^ tgx + c
∫ (^) sen^2 xdx =^ − ctgx + c
∫ tgxdx^ =^ −lncos x + c
∫ cot g^ xdx =^ lnsen x + c
∫ e^ dx =^ e + c
x x
∫ a^ dx =^ aa + c
x x ln
∫ = + −
dx x c x
arcsen 1
2
∫ (^1) + x dx =arctg x + c
2
∫ = + −
c a
x dx a x
arcsen
2 2
∫ = +^ (^ ≠ )
arctg , 0
2 2 c a a
x a
dx a x
∫ = + +
dx x a c x a
x (^) 2 2
. ( 0 ) 2 2
∫ dx a x c a a x
x
∫ (^) − +
c a x
a x a
dx a x
ln 2
2 2
∫ (^) + +
c x a
x a a
dx x a
ln 2
2 2
dx x x a c x a
∫
2 2 2 2 ln
c ecx ctgx c
x dx tg x ∫ = + =lncos − + 2
ln sen
∫ ⎟+ = + + ⎠
= + c x tgx c
x dx tg x
lnsec 2 4
ln cos
∫ xdx^ =^ (^ x −sen x cos x )^ + c 2
sen 2
∫ xdx^ =^ (^ x +sen x cos x )+ c 2
cos 2
x a x c a
x a x dx a ⎟+ ⎠
∫ 2 −^2 =^2 arcsen +^2 −^2 2
∫ shxdx =^ chx + c
∫ chxdx =^ shx + c
∫ (^) ch^2 xdx =^ thx + c
∫ (^) sh^2 xdx =^ − cthx + c
Formula di Archimede per l'area di un segmento parabolico 3 6
S = ad
