Ammortamento di Prestiti: Un'Introduzione alla Matematica Finanziaria - Prof. Barracchini, Appunti di Matematica Finanziaria

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Universit`a degli Studi delL’Aquila

Dipartimento di Ingegneria Industriale,

dell’Informazione e di Economia

Carla Barracchini

Capitolo 5 Ammortamento di prestiti

Indice del Capitolo

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

5.1 - Piano di rimborso 5.2 - Prestito di un capitale rimborsabile a sca- denza 5.3 - Debito residuo come valore attuale delle rate ancora da pagare 5.4 - Ammortamento con rate costanti (ammortamento francese) 5.5 - Ammortamento con quote capitale costan- ti (ammortamento italiano) 5.6 - Ammortamento con interessi anticipati (ammortamento alla tedesca) 5.7 - Ammortamento con quote di accumula- zione (ammortamento americano) 5.8 - Ammortamento nel caso continuo 5.9 - Prestiti obbligazionari 5.10 - Problema dell’estinzione anticipata

Corso di Matematica Finanziaria CB

5.1 - Piano di rimborso (2/3)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

essendo C(k)^ il debito residuo al tempo k, dopo il pagamento della quota capitale Ck

[5.4] C(k)^ =

∑^ n

h = k + 1

Ch k = 0,1,...,n

e in particolare C(0)^ = C, C(n - 1)^ = Cn, C(n)^ = 0 ed inoltre

C(k)^ = C(k - 1)^ - Ck k = 1,2,...,n

Le rate complessive di ammortamento risul- tano pertanto

Rk = Ck + Ik = Ck + C(k - 1)^

( rtk - tk - 1^ - 1

)

= Ckrtk - tk - 1^ + C(k)^

( rtk - tk - 1^ - 1

)

k = 1,2,...,n

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5.1 - Piano di rimborso (3/3)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

Nel caso di scadenze periodiche immediate di tipo unitario: tk = k (k = 1,2,...,n), le formule precedenti, relative alle quote interesse e alle rate di ammortamento, si modificano nel modo

seguente:

Ik = C(k - 1)i k = 1,2,...,n

Rk = Ck + C(k - 1)i = Ckr + C(k)i k = 1,2,...,n

Nota: Nel caso di ammortamento con diffe- rimento, il procedimento precedente non cam-

bia, salvo a considerare come capitale da am- mortizzare il montante dell’ammontare origi- nario ed a modificare opportunamente le quote capitale

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5.3 - Debito residuo come valore attuale delle rate ancora da pagare (1/2)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

C(k)^ =

∑^ n

h = k + 1

Chv h - k^ +

∑^ n

w = k + 1

Cw(1 - v w - k)

∑^ n

h = k + 1

Chv h - k^ + i

∑^ n

w = k + 1

Cw aw-k|i

∑^ n

h = k + 1

Chv h - k^ + i

∑^ n

w = k + 1

Cw

∑w

h = k + 1

v h - k

∑^ n

h = k + 1

Chv h - k^ + i

∑^ n

h = k + 1

v h - k

∑n

w = h

Cw

∑^ n

h = k + 1

Chv h - k^ + i

∑^ n

h = k + 1

v h - kC(h - 1)

∑^ n

h = k + 1

( Ch + C(h - 1)i

) · v h - k

∑^ n

h = k + 1

Rhv h - k^ k = 0,1,...,n

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5.3 - Debito residuo come valore attuale delle rate ancora da pagare (2/2)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

In particolare risulta

C =

∑^ n

h = 1

Rhv h, C(n - 1)^ = Rnv, C(n)^ = 0

ed inoltre

C(k)^ = C(k - 1)^ - Ck = C(k - 1)r - C(k - 1)i - Ck

= C(k - 1)r - Rk k = 1,2,...,n

Dalla relazione

Ck = - C(k-1)i + Rk k = 1,2,...,n

segue

∆Ck = Cki + ∆Rk k = 1,2,...,n

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5.4 - Ammortamento con rate costanti (ammortamento francese) (2/5)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

• quote interesse

Ik = C(k - 1)i = C

an - k + 1|i an|i i = C

1 - v n - k + 1 an|i

[5.6] = R

( 1 - v n - k + 1

) k = 1,2,...,n

• quote capitale

Ck = Rk - Ik = R - R

( 1 - v n - k + 1

)

[5.8] = Rv n - k + 1^ = sCn|i r k - 1^ k = 1,2,...,n

infatti

∑^ n

k = 1

Ck =

C

sn|i

∑n

k = 1

r k - 1^ =

C

sn|i

sn|i = C

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5.4 - Ammortamento con rate costanti (ammortamento francese) (3/5)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

Nota: Le quote capitale dell’ammortamento francese costituiscono una progressione geo- metrica di ragione pari ad r, con primo termine

C 1 = Rv n^ = sC n|i

e ultimo termine Cn = Rv, per cui

Ck + 1 = Ckr ⇒ ∆Ck = Cki k = 1,2,...,n - 1

Nel caso di ammortamento francese fraziona- to, si ha

[5.9] C = R(m)^ a(m)n|i ⇒

R(m)^ = C a(m)n|i

= aC n|i

j(m) i =

C j(m) 1 - v n

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5.4 - Ammortamento con rate costanti (ammortamento francese) (5/5)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

Esercizio - Un prestito a 5 anni per 3000 euro, remunerato al 15 % annuo, viene ammortizzato con annualit´a costanti. Compi- lare il piano di rimborso. Dati: C = 3000 i = 0.15 n = 5

• Rate di ammortamento

R = (^) a^3000 5 |0.

• Piano di ammortamento

(0) C(0)^ = 3000 (1) I 1 = 3000 ·0.15 = 450, C 1 = 894.95 - 450 = 444.95, C(1)^ = 3000 - 444.95 = 2555. (2) I 2 = 383.26, C 2 = 511.69, C(2)^ = 2043. (3) I 3 = 306.50, C 3 = 588.45, C(3)^ = 1454. (4) I 4 = 218.24, C 4 = 676.71, C(4)^ = 778. (5) I 5 = 116.73, C 5 = 778.21, C(5)^ = 0

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5.5 - Ammortamento con quote capitale costanti (ammortamento italiano) (1/5)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

L’ammortamento italiano `e caratterizzato dalla costanza delle quote capitale

C =

∑^ n

h = 1

C* = nC* ⇒ C* =

C

n

• quote capitale

Ck = Cn k = 1,2,...,n

• debiti residui

C(k)^ = Cn (n - k) k = 0,1,...,n

• quote interesse

Ik = C(k - 1)i = Cn (n - k + 1) i k = 1,2,...,n

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5.5 - Ammortamento con quote capitale costanti (ammortamento italiano) (3/5)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

Nota: Le rate dell’ammortamento italiano co- stituiscono una progressione aritmetica di ra- gione pari a - Cn i, con primo termine

R 1 = Cn (1 + ni) = Cn + Ci

e ultimo termine Rn = Cn (1 + i)

Nel caso di ammortamento italiano frazionato,

C =

∑^ nm

h = 1

C/m = nmC/m ⇒ C*/m =

C

nm

• quote capitale

Ck/m = (^) nmC k = 1,2,...,nm

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5.5 - Ammortamento con quote capitale costanti (ammortamento italiano) (4/5)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

• debiti residui C(k/m)^ = Cn (n - mk) k = 0,1,...,nm

Nel caso di ammortamento italiano continuo, si ha

C =

∫ (^) n

0

Cdt = nC ⇒ Cdt =

C

n

dt

• quote capitale

C(t)dt = Cn dt 0 ≤ t ≤ n

• debiti residui

C(t)^ = Cn (n - t) 0 ≤ t ≤ n

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5.6 - Ammortamento con interessi anticipati (”alla tedesca”) (1/10)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

L’ammortamento ”alla tedesca” prevede che

gli interessi sul debito vengano corrisposti an-

ticipatamente. Tale procedura non `e un’alter-

nativa alle metodologie tradizionali (ammorta-

mento francese o italiano), ma una variante (di

ciascuna) di esse. In dettaglio risulta

• quote capitale (rif. [5.1])

Ck k = 1,2,...,n

• debiti residui (rif. [5.4])

C(k)^ =

∑^ n

h = k + 1

Ch k = 1,2,...,n

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5.6 - Ammortamento con interessi anticipati (”alla tedesca”) (2/10)

Cap.5 - Ammortamento di prestiti

• quote interesse, nel regime finanziario del- l’interesse composto, con i > 0

[5.2] ˆIk = Ik + 1v tk + 1 - tk

= C(k)^

( r tk + 1 - tk^ - 1

) v tk + 1 - tk

= C(k)^

( 1 - v tk + 1 - tk

) k = 0,1,...,n - 1

• rate di ammortamento

Rˆ 0 =ˆI 0 = C (1 - v t1)

R^ ˆk = Ck +ˆIk = Ck + C(k)^

( 1 - v tk + 1 - tk

)

k = 1,2,...,n

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