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CAPITOLO 5
Calcolo differenziale
5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale
Sia data la funzione f : X → Y , e sia x 0 ∈ X. Se la variabile indipendente x passa dal valore x 0 al valore x 0 + ∆ x , con ∆ x molto piccolo, anche la funzione f ( x ) subirà un incremento, pari a f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ), noto come incremento di f ( x ) e indicato con ∆ f ( x 0 ) : ∆ f ( x 0 ) = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ).
x (^0) x 0 + ∆x
f (x 0 )
f (x 0 + ∆x) ∆f (x 0 )
x
f (x)
∆x
Figura 5.
Rappresentazione dell’incremento ∆ x della variabile indipendente e dell’incremento ∆ f ( x 0 ) della funzione f ( x ).
In molte applicazioni economiche^1 è rilevante studiare il comportamento del rap- porto incrementale ∆ f ( x 0 ) ∆ x
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x (^1) In realtà ciò potrebbe essere affermato per qualsiasi scienza formulata in termini matematici.
quando ∆ x è molto piccolo o, in termini più precisi, il limite
lim ∆ x → 0
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
Prima di analizzare il significato (economico e geometrico) del limite di tale rap- porto è opportuna la seguente
R Definizione (Derivabilità in un punto)
Sia f : X → Y e x 0 ∈ X. Se esiste ed è finito il limite
lim ∆ x → 0
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
= f
′ ( x 0 )
si dice che la funzione f ( x ) è derivabile nel punto x 0 e il numero f ′ ( x 0 ) si dice derivata di f ( x ) nel punto x 0.
" Osservazione
Poiché ∆ x = x − x 0 si ha che x = x 0 + ∆ x e che ∆ x → 0 =⇒ x → x 0. La definizione della derivata f ′ ( x 0 ) può essere pertanto espressa tramite il limite (se esiste)
f
′ ( x 0 ) = (^) x lim→ x 0
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
5.1.1 Significato geometrico della derivata
Si ricorda che l’equazione di una retta passante per il punto ( x 0 , y 0 ) e di coefficiente angolare m è
y ( x ) = m ( x − x 0 ) + y 0.
L’equazione della retta ys secante il grafico di f ( x ) nei punti A = ( x 0 , f ( x 0 )) e B = ( x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x )) (si confronti la figura 5.2) è
ys ( x ) =
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
( x − x 0 ) + f ( x 0 ),
visto che la pendenza della retta secante è f^ ( x^0 +∆ ∆ xx )−^ f^ ( x^0 )ed essa passa per il punto ( x 0 , f ( x 0 )). Si osservi che se ∆ x → 0 il punto B tende al punto A e la retta secante ys tende a sovrapporsi alla retta tangente yt. Ne segue che il coefficiente angolare della retta secante, f^ ( x^0 +∆ ∆ xx )−^ f^ ( x^0 ), tende al coefficiente angolare mt della retta tangente:
lim ∆ x → 0
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
= mt ≡ f ′ ( x 0 ).
5.1.2 Alcuni significati economici della derivata
5.1.2.1 Grandezze marginali
Si considerino, ad esempio, una funzione costo C ( x ), una funzione ricavo R ( x ) ed una funzione di utilità U ( x ). Derivando una delle funzioni menzionate nel punto x 0 si ottiene:
C
′ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0
C ( x 0 + ∆ x ) − C ( x 0 ) ∆ x
noto come costo marginale;
R
′ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0
R ( x 0 + ∆ x ) − R ( x 0 ) ∆ x
noto come ricavo marginale;
U
′ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0
U ( x 0 + ∆ x ) − U ( x 0 ) ∆ x
nota come utilità marginale. Il costo marginale, ad esempio, esprime un’approssi- mazione dell’incremento che il costo subisce in corrispondenza ad una variazione unitaria della variabile indipendente da x 0 a x 0 + 1. Esso rappresenta un’approssi- mazione perché la derivata C ′ ( x 0 ) coincide con tale incremento solo se la funzione costo è affine. In effetti, sia C ( x ) = ax + b.
Si ha: C ( x 0 + ∆ x ) − C ( x 0 ) = a ( x 0 + ∆ x ) + b − ( ax 0 + b ) = a ∆ x
e, quindi,
C
′ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0
C ( x 0 + ∆ x ) − C ( x 0 ) ∆ x
= lim ∆ x → 0
a ∆ x ∆ x
= a ,
risultato che coincide con la variazione di costo per variazione unitaria della varia- bile indipendente:
C ( x 0 + 1) − C ( x 0 ) = a ( x 0 + 1) + b − ( ax 0 + b ) = a.
Se invece la funzione C ( x ) non è affine, come sarà chiaro in seguito, il costo mar- ginale e la variazione di costo per variazione unitaria della variabile indipendente non sono più uguali.
Un discorso analogo vale, ovviamente, anche per le altre grandezze marginali.
5.1.2.2 Elasticità puntuale
Siano date la grandezza x , di valore x 0 , e una sua funzione, f ( x ). Se la variabile x passa dal valore x 0 al valore x 0 + ∆ x si dirà che essa ha subito la variazione as- soluta ∆ x. In corrispondenza a tale variazione assoluta, la funzione f ( x ) subirà la variazione assoluta ∆ f ( x 0 ) = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ). Se la variazione che ha subito la variabile x si rapporta al suo valore iniziale x 0 , se si considera cioè la grandezza ∆ x x 0 , si parlerà di^ variazione relativ a. In maniera analoga si dirà che la variazione relativa subita dalla funzione f ( x ) è ∆ f^ f (^ ( xx 00 )). Nelle considerazioni economiche, gli incrementi relativi sono spesso più significativi di quelli assoluti in quanto
- permettono di caratterizzare l’entità dell’incremento. Si supponga, infatti, che x 0 = 100. Se l’incremento è ∆ x = 1, a ciò corrisponderà un incremento relativo pari a ∆ xx 0 = 1001 = 1%. Se, a parità di incremento, si suppone che x 0 = 1000, tale incremento contribuirà sulla variazione di valore della variabile x solo per una quantità relativa pari a 10001 = 0.1%
- la variazione relativa è un numero puro. Ciò consente di confrontare, ad esempio, la variazione percentuale dell’offerta di una data merce indipen- dentemente dalla unità monetaria utilizzata.
La discussione appena effettuata giustifica la seguente
R Definizione (Elasticità puntuale)
Sia f ( x ) derivabile in x 0 e sia x 0 6 = 0 e f ( x 0 ) 6 = 0. La grandezza
E [ f ( x 0 )] = lim ∆ x → 0
f ( x 0 +∆ x )− f ( x 0 ) f ( x 0 ) ∆ x x 0
si chiama, se esiste finito il limite a secondo membro, elasticità puntuale di f ( x ) nel punto x 0.
" Osservazione
L’elasticità puntuale rappresenta il rapporto tra la variazione relativa di f ( x ) e quel- la di x , quando la variazione assoluta di quest’ultima tende a zero.
" Osservazione
L’elasticità puntuale E [ f ( x 0 )] può essere riscritta come
E [ f ( x 0 )] =
x 0 f ( x 0 )
f
′ ( x 0 ).
R Definizione (Grandezze elastiche, inelastiche e anelastiche)
- Se risulta | E [ f ( x 0 )]| > 1 la funzione f ( x ) è detta elastica in x 0
e
lim ∆ x → 0 −
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
= ` 2
con _ 1 6 = _ 2 , il limite del rapporto incrementale non esiste. In tal caso si dice che in x 0 la funzione f ( x ) ammette un punto angoloso.
E Esempio 5.
Si consideri la funzione f ( x ) = | x |, il cui grafico è riportato in figura 5.3, e si studi la sua derivabilità nel punto x 0 = 0. Si ha:
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
|∆ x | ∆ x
Se ∆ x > 0 si ha |∆ x | = ∆ x mentre se ∆ x < 0 si ha |∆ x | = −∆ x. Si ottiene, pertanto,
lim ∆ x → 0 +
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
= lim ∆ x → 0 +
|∆ x | ∆ x
= lim ∆ x → 0 +
∆ x ∆ x
e
lim ∆ x → 0 −
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
= lim ∆ x → 0 −
|∆ x | ∆ x
= lim ∆ x → 0 −
−∆ x ∆ x
la funzione | x | ha quindi nel punto x 0 = 0 un punto angoloso.
x
f (x)
Figura 5.
Il grafico della funzione f ( x ) = | x |.
R Definizione (Punto di flesso a tangente verticale)
Se risulta
lim ∆ x → 0
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
nel punto x 0 la funzione f ( x ) non è derivabile: il punto x 0 si dice punto di flesso a tangente verticale.
E Esempio 5.
Si consideri la funzione f ( x ) = 3
p x , il cui grafico è rappresentato nella figura 5.4, e si voglia studiare la sua derivabilità nel punto x 0 = 0. Si ha:
lim ∆ x → 0
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
= lim ∆ x → 0
p (^3) ∆ x
∆ x
= lim ∆ x → 0
√ (^3) (∆ x ) 2 = +∞^ :
il punto x 0 è, pertanto, un punto di flesso a tangente verticale.
x
f (x)
Figura 5.
Il grafico della funzione f ( x ) =
p x.
R Definizione (Punto di cuspide)
Se risulta
lim ∆ x → 0 +
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
e
lim ∆ x → 0 −
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x
lim x → x 0
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
= f
′ ( x 0 )
Si ha, per x 6 = x 0 ,
f ( x ) − f ( x 0 ) =
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
( x − x 0 ).
Passando al limite per x → x 0 nella relazione precedente, si ottiene:
lim x → x 0 [ f ( x ) − f ( x 0 )] = lim x → x 0
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
( x − x 0 ) = f
′ ( x 0 ) · 0 = 0 :
ne segue quindi che
x lim→ x 0
[ f ( x ) − f ( x 0 )] = 0 =⇒ (^) x lim→ x 0
f ( x ) = f ( x 0 ),
da cui la tesi.
■
" Osservazione
Come si è visto nel teorema precedente, la derivabilità implica la continuità. L’affer- mazione inversa, continuità implica derivabilità, non è, tuttavia, vera. E’ sufficien- te, in effetti, considerare la funzione f ( x ) = | x | che è continua ma non derivabile in x 0 = 0.
" Osservazione
Visto che la derivabilità implica la continuità ma che la continuità non implica la derivabilità, ne segue che l’insieme delle funzioni derivabili è un sottoinsieme proprio dell’insieme delle funzioni continue.
Funzioni continue
Funzioni derivabili
Figura 5.
Rappresentazione di Eulero-Venn dell’insieme delle funzioni continue e di quello delle funzioni derivabili.
5.1.4 Derivabilità in un intervallo. Funzione derivata
Sia f ( x ) definita nell’intervallo ( a , b ).
R Definizione (Derivabilità in un intervallo)
Se f ( x ) risulta derivabile per ogni x 0 ∈ ( a , b ) si dirà che f ( x ) è derivabile in ( a , b ).
" Osservazione
Se la funzione f ( x ) è derivabile nell’insieme ( a , b ), per ogni x 0 ∈ ( a , b ) risulta defini- ta la derivata f
′ ( x 0 ). Ciò vuol dire che risulta definita un’applicazione da ( a , b ) a R che associa ad ogni x ∈ ( a , b ) uno ed un solo valore reale dato da f
′ ( x ). La funzione così ottenuta sarà chiamata funzione derivata prima di f ( x ) ed indicata con f
′ ( x ).
" Osservazione
La notazione f
′ ( x ) per la derivata della funzione f ( x ) è nota anche come notazione di Lagrange. Altre notazioni usate per la derivata di una funzione f ( x ) sono: D f ( x ), detta notazione di Cauchy, d fd x ( x ), detta notazione di Leibniz e f ˙ ( x ), detta notazione di Newton.
5.1.5 Derivata delle funzioni elementari
- Sia f ( x ) = k , con k ∈ R. La derivata di f ( x ) nel punto x si ottiene calcolando il limite del rapporto incrementale
lim ∆ x → 0
f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆ x
= lim ∆ x → 0
k − k ∆ x
lim ∆ x → 0
f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆ x
= lim ∆ x → 0
x + ∆ x − x ∆ x
- Sia f ( x ) = x^2. Si ha:
lim ∆ x → 0
f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆ x
= lim ∆ x → 0
( x + ∆ x )^2 − x ∆ x
= lim ∆ x → 0
x^2 + 2 x ∆ x + (∆ x )^2 − x^2 ∆ x
lim ∆ x → 0
2 x ∆ x + (∆ x )^2 ∆ x
= 2 x
- Sia f ( x ) = ax^. Si ha:
lim ∆ x → 0
f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆ x
= lim ∆ x → 0
ax +∆ x^ − ax ∆ x
= lim ∆ x → 0
ax^ ( a ∆ x^ − 1) ∆ x
ax^ lim ∆ x → 0
a ∆ x^ − 1 ∆ x
= ax^ ln a ,
- La funzione f ( x ) g ( x ) è derivabile e risulta D [ f ( x ) g ( x )] = [ D f ( x )] g ( x )+ f ( x )[ Dg ( x )]. Posto ∆ f ( x ) = f ( x +∆ x )− f ( x ) si ha f ( x +∆ x ) = f ( x )+∆ f ( x ) (e analogamente per g ( x ), g ( x + ∆ x ) = g ( x ) + ∆ g ( x )). Si ha, quindi
D [ f ( x ) g ( x )] = lim ∆ x → 0
[ f ( x + ∆ x ) g ( x + ∆ x )] − [ f ( x ) g ( x )] ∆ x
lim ∆ x → 0
[ f ( x ) + ∆ f ( x )][ g ( x ) + ∆ g ( x )] − [ f ( x ) g ( x )] ∆ x
lim ∆ x → 0
f ( x ) g ( x ) + f ( x )∆ g ( x ) + ∆ f ( x ) g ( x ) + ∆ f ( x )∆ g ( x ) − f ( x ) g ( x ) ∆ x
lim ∆ x → 0
f ( x )∆ g ( x ) + ∆ f ( x ) g ( x ) + ∆ f ( x )∆ g ( x ) ∆ x
lim ∆ x → 0
f ( x )∆ g ( x ) ∆ x
∆ f ( x ) g ( x ) ∆ x
∆ f ( x )∆ g ( x ) ∆ x
Per il primo limite nell’ultima relazione si ottiene
lim ∆ x → 0
f ( x )∆ g ( x ) ∆ x
= f ( x ) lim ∆ x → 0
∆ g ( x ) ∆ x
= f ( x ) Dg ( x ),
per il secondo si ottiene
lim ∆ x → 0
∆ f ( x ) g ( x ) ∆ x = g ( x ) lim ∆ x → 0
∆ f ( x ) ∆ x = g ( x ) D f ( x )
e per il terzo
lim ∆ x → 0
∆ f ( x )∆ g ( x ) ∆ x
= lim ∆ x → 0
∆ f ( x ) ∆ x
· lim ∆ x → 0
∆ g ( x ) = D f ( x ) · 0 = 0,
essendo lim ∆ x → 0
∆ g ( x ) = lim ∆ x → 0
[ g ( x + ∆ x ) − g ( x )] = 0
visto che g ( x ) è derivabile e, quindi, continua.
- Se f ( x ) 6 = 0, la funzione (^) f (^1 x ) è derivabile e risulta D (^) f (^1 x ) = − f^
′ (^) ( x ) [ f ( x )]^2. Infatti risulta:
D [
f ( x ) ] = lim ∆ x → 0
1 f ( x +∆ x ) −^
1 f ( x ) ∆ x
lim ∆ x → 0
f ( x )− f ( x +∆ x ) f ( x +∆ x ) f ( x ) ∆ x
= lim ∆ x → 0
f ( x ) − f ( x + ∆ x ) ∆ x f ( x + ∆ x ) f ( x )
f ( x ) lim ∆ x → 0
f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆ x f ( x + ∆ x )
f ( x )
lim ∆ x → 0
f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆ x
· lim ∆ x → 0
f ( x + ∆ x )
f ( x )
D [ f ( x )]
f ( x )
[ f ( x )]^2
D [ f ( x )]
- Se g ( x ) 6 = 0 la funzione f g^ (( xx )) è derivabile e risulta
D [
f ( x ) g ( x )
] =
f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) [ g ( x )]^2
Infatti, applicando la regola per la derivata di un prodotto di funzioni, si ha
D [
f ( x ) g ( x )
] ≡ D [ f ( x ) ·
g ( x )
] = D [ f ( x )] ·
g ( x )
g ( x )
] =
f
′ ( x ) g ( x )
′ ( x ) [ g ( x )]^2
] =
f
′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g
′ ( x ) [ g ( x )]^2
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = 2 x^ + x^3 + x
Soluzione
Si ha: D [2 x^ + x^3 + x ] = D [2 x^ ] + D [ x^3 ] + D [ x ] = = 2 x^ ln 2 + 3 x^2 + 1.
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = sin x + ln x + 3
Soluzione
Si ha: D [sin x + ln x + 3] = D [sin x ] + D [ln x ] + D [3] =
= cos x +
x
x
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = x ln x
Soluzione
Si ha: D [ x ln x ] = D [ x ] ln x + xD [ln x ] =
= ln x + x ·
x
= 1 + ln x.
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = ( x^2 + 2 x ) ex
Soluzione
Si ha: D [( x^2 + 2 x ) ex^ ] = D [( x^2 + 2 x )] ex^ + ( x^2 + 2 x ) D [ ex^ ] =
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) =
p x 1 + x Soluzione
Si ha:
D [
p x 1 + x
] =
D [
p x ](1 + x ) −
p xD [(1 + x )] (1 + x )^2
1 2 p x (1^ +^ x )^ −
p x (1 + x )^2
1 + x − 2 x 2 p x (1 + x )^2
1 − x 2
p x (1 + x )^2
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = tan x
Soluzione
Si ha:
D [tan x ] = D [ sin x cos x
] =
D [sin x ] cos x − sin xD [cos x ] cos^2 x
cos x · cos x − sin x (− sin x ) cos^2 x
cos^2 x + sin^2 x cos^2 x
cos^2 x
5.1.7 Derivate di ordine superiore al primo
Se f ( x ) è derivabile in un certo intervallo ( a , b ) risulta definita, in ( a , b ) la funzione derivata prima, f ′ ( x ). Se tale funzione è a sua volta derivabile in ( a , b ) esisterà la derivata della derivata prima, nota come derivata seconda ed indicata con il sim- bolo^2 f ′′ ( x ). Chiaramente se anche la funzione derivata seconda risulterà deriva- bile si può parlare di derivata terza , indicata con il simbolo f ′′′ ( x ). Più in generale, se la funzione f ( x ) è derivabile n volte, si potrà introdurre la nozione di derivata n − esima , indicata con il simbolo f ( n )( x ).
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata seconda di f ( x ) = e
1 x (^).
Soluzione
Si ha:
f
′ ( x ) = D [ e
(^1) x ] = e x^1 (−
x^2
e
1 x x^2
e, quindi,
f
′′ ( x ) = D [ f
′ ( x )] = D [−
e
1 x x^2
] =
(^2) Secondo la notazione di Cauchy si userebbe il simbolo D (2) (^) f ( x ), secondo quella di Leibniz il
simbolo d
(^2) f ( x ) d x^2 e, infine, secondo la notazione di Newton, il simbolo f ¨ ( x ).
e (^1) x 1 x^2 x
(^2) + e^1 x (^) 2 x
x^4
e
1 x (^) + 2 xe 1 x x^4
= e x^1^1 +^2 x x^4
R Definizione (Classe C n^ )
Sia f : X → R e si supponga che f ( x ) sia derivabile n volte per ogni x ∈ X. Se la funzione f ( n )( x ) è continua per ogni x ∈ X si dirà che la funzione f ( x ) appartiene alla classe C n^ ( X ) o che f ( x ) è di classe C n^ ( X ).
5.1.8 Teoremi sulle derivate
Per calcolare la derivata di una funzione ad una legge è rilevante il seguente
w Teorema (Derivata della funzione composta)
Ipotesi) Siano f : X → Y e g : Y → R due funzioni, con f ( x ) derivabile in x 0 ∈ X e g ( x ) derivabile in y 0 = f ( x 0 ) ∈ Y.
Tesi) La funzione composta h ( x ) = g ( f ( x )) è derivabile in x 0 ∈ X e risulta h
′ ( x 0 ) = g
′ ( f ( x 0 )) f
′ ( x 0 ).
Dimostrazione
Per studiare la derivabilità della funzione composta h = g ◦ f in x 0 ∈ X occorre studiare il limite
lim x → x 0
h ( x ) − h ( x 0 ) x − x 0
= lim x → x 0
g ( f ( x )) − g ( f ( x 0 )) x − x 0
che può essere riscritto come
lim x → x 0
g ( f ( x )) − g ( f ( x 0 )) f ( x ) − f ( x 0 )
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
Posto y = f ( x ) e y 0 = f ( x 0 ), il rapporto incrementale g^ (^ f^ f ( x ( x )))−− g f^ ((^ xf^ ( 0 x ) 0 ))può essere riscritto come g ( f ( x )) − g ( f ( x 0 )) f ( x ) − f ( x 0 )
g ( y ) − g ( y 0 ) y − y 0
Per x → x 0 si ha, essendo f ( x ) derivabile e, quindi, continua, f ( x ) → f ( x 0 ) cioè y → y 0. Pertanto la relazione (5.1) diviene:
lim x → x 0
g ( f ( x )) − g ( f ( x 0 )) f ( x ) − f ( x 0 )
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
= lim x → x 0
g ( f ( x )) − g ( f ( x 0 )) f ( x ) − f ( x 0 )
· lim x → x 0
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
y^ lim→ y 0
g ( y ) − g ( y 0 ) y − y 0 · (^) x lim→ x 0
f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = g
′ ( y 0 ) f
′ ( x 0 ),
da cui, tenendo conto che y 0 = f ( x 0 ), si ottiene la tesi.
■
La tabella seguente riassume la regola della derivata di una funzione composta nei casi incontrati più frequentemente.
x + 1 x^2
x^2 + 2 x (1 + x )^2
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = e
x 1 + x
Soluzione
Utilizzando la relazione
D [ e f^ ( x )] = e f^ ( x ) D [ f ( x )]
si ottiene:
D [ e
x 1 + x (^) ] = e x 1 + x (^) D [ x 1 + x
] = e
x 1 + x (1 + x ) − x (1 + x )^2
= e
x 1 + x
(1 + x )^2
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = e − x
Soluzione
Utilizzando la relazione
D [ e f^ ( x )] = e f^ ( x ) D [ f ( x )]
si ottiene: D [ e − x^ ] = e − x^ D [− x ] = − e − x^.
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = ln(2 x − x^2 )
Soluzione
Utilizzando la relazione
D [ln f ( x )] = f
′ ( x ) f ( x )
si ottiene:
D [ln(2 x − x^2 )] =
2 − 2 x 2 x − x^2
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = ln( x − x^2 )
Soluzione
Utilizzando la relazione
D [ln f ( x )] =
f ′ ( x ) f ( x )
si ottiene:
D [ln( x − 2 x
)] =
x − 2 x
D [
x − 2 x
] =
x x − 2
x − ( x − 2) x^2
x x − 2
x^2
x ( x − 2)
E Esempio 5.
Si calcoli la derivata della funzione f ( x ) = cos(2 x − x^2 )
Soluzione
Utilizzando la relazione
D [cos f ( x )] = − sin[ f ( x )] f
′ ( x )
si ottiene:
D [cos(2 x − x^2 )] = − sin(2 x − x^2 )(2 − 2 x ) = 2( x − 1) sin(2 x − x^2 ).
w Teorema (Derivata della funzione inversa)
Ipotesi) Sia f : X → R una funzione invertibile e derivabile ∀ x ∈ X e sia, ∀ x ∈ X , f
′ ( x ) 6 = 0.
Tesi) La funzione inversa f −^1 ( y ) è derivabile ∀ y ∈ f ( X ) e risulta
D f −^1 ( y ) =
D f ( x )
, con x = f −^1 ( y ).
Dimostrazione
Sia y = f ( x ) ⇐⇒ x = f −^1 ( y ) e y 0 = f ( x 0 ) ⇐⇒ x 0 = f −^1 ( y 0 ). Si ha:
lim y → y 0
f −^1 ( y ) − f −^1 ( y 0 ) y − y 0
= lim x → x 0
x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 )
lim x → x 0
f ( x )− f ( x 0 ) x − x 0
f ′^ ( x 0 )
, con x 0 = f −^1 ( y 0 ).
Tenendo conto che il ragionamento adottato può essere riproposto ∀ x 0 ∈ X , si ottiene la tesi.
