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Teoremi ed esercizi di Analisi 1 www.velichkov.it
Principali definizioni, formule e teoremi da sapere
Gli enunciati completi si trovano nelle dispense sul sito del corso. I risultati segnati con F sono particolarmente importanti. Questo elenco contiene soltanto i risultati principali; tutto quello che abbiamo fatto a lezione o si trova sul sito del corso fa parte del programma. Per esempio, l’elenco non include i numeri complessi, ma quasta parte del programma `e implicitamente contenuta in diversi punti qui sotto.
- Sommatorie e produttorie
F Definizioni di n! e di
n k
F Teorema (Formula di Newton). Per ogni x, y ∈ R e n ∈ N si ha
(x + y)n^ =
∑^ n
k=
n k
xkyn−k.
F Teorema. Per ogni X ∈ R, X 6 = 1, si ha ∑^ n
k=
Xk^ = X
n+1 (^) − 1 X − 1
- Teorema. Per ogni n ∈ N si ha (^) n ∑
k=
k = n(n^ + 1) 2
- Numeri reali. Definizione e propriet`a. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore
- Assiomi dei numeri reali.
- Definizioni di insieme limitato superiormente/inferiormente, definizione di maggiornate, mino- rante. Definizione di massimo e di minimo.
- Teorema: Ogni insieme limitato ammete massimo e minimo.
- Esempio di un isieme limitato superiormente che non ammette un massimo.
- Teorema (Propriet
a di Archimede). L’insieme dei numeri naturali N none limitato. - Teorema: L’insieme dei numeri razionali Q `e denso in R.
F Definizione di estremo superiore (sup) e estremo inferiore (inf). F Teorema: Ogni insieme limitato superiormente ammette un estremo superiore.
- Valore assoluto (modulo) e distanza. Definizione e propriet`a.
- Successioni
- Definizione. Successione limitata.
- Definizione. Successione limitata definitivamente.
- Teorema. Una successione
e limitata se e solo see limitata definitivamente.
F Limiti. Definizione di (^) nlim→∞ an = L (con L numero reale), (^) nlim→∞ an = +∞ e (^) nlim→∞ an = −∞.
- Teorema. Unicit`a del limite.
- Teorema. Ogni successione che ammette un limite finito `e limitata.
F Teorema. Ogni successione monotona crescente e limitata superiormente converge.
F Definizione. Successione di Cauchy.
F Teorema. Ogni successione di Cauchy converge.
- Teorema della permanenza del segno
- Operazioni con i limiti. Dimostrare le propriet`a dei limiti riportati nella tabella qui sotto.
nlim→∞ an^ nlim→∞ bn^ nlim→∞(an^ +^ bn)^ nlim→∞(anbn)^ lim n→∞
an bn nlim→∞
bn an a ∈ R b ∈ R a + b ab a b
, se b 6 = 0 b a ,^ se^ a^6 = 0 a > 0 +∞^ +∞^ +∞^0 +∞ a > 0 −∞^ −∞^ −∞^0 −∞ a < 0 +∞ +∞ −∞ 0 −∞ a < 0 −∞ −∞ +∞ 0 +∞ 0 +∞ +∞ − − − − − 0 − − − − − 0 −∞ −∞ − − − − − 0 − − − − − +∞ +∞ +∞ +∞ − − − − − − − − − − −∞ −∞ −∞ +∞ − − − − − − − − − − +∞ −∞ − − − − −− −∞ − − − − − − − − − −
- Teorema (Teorema di confronto). Se an ≤ bn per ogni n, allora (^) nlim→∞ an ≤ (^) nlim→∞ bn.
- Teorema (Teorema dei carabinieri). Se an ≤ bn ≤ cn, per ogni n, e se (^) nlim→∞ an = (^) nlim→∞ cn, allora bn converge e (^) nlim→∞ an = lim n→∞ bn = lim n→∞ cn.
F Teorema (Bolzano-Weierstrass). Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione con- vergente.
- Limiti di funzioni e funzioni continue
F Definizione di limite.
- Teorema. (^) xlim→x 0 f (x) = L ⇔ (^) nlim→∞ f (an) = L per ogni successione an che converge a x 0.
- Teorema della permanenza del segno.
- Teorema. Operazioni con i limiti.
xlim→x 0
f (x) (^) xlim→x 0
g(x) (^) xlim→x 0
(f + g) (^) xlim→x 0 f g (^) lim x→x 0
f g x^ lim→x 0
g f
a ∈ R b ∈ R a + b ab a b ,^ se^ b^6 = 0^
b a
, se a 6 = 0
a > 0 +∞^ +∞^ +∞^0 +∞ a > 0 −∞^ −∞^ −∞^0 −∞ a < 0 +∞^ +∞^ −∞^0 −∞ a < 0 −∞^ −∞^ +∞^0 +∞ 0 +∞^ +∞^ −−−−−^0 − − − − − 0 −∞^ −∞^ −−−−−^0 − − − − − +∞ +∞ +∞ +∞ − − − − − − − − − − −∞ −∞ −∞ +∞ − − − − − − − − − − +∞ −∞ − − − − −− −∞ − − − − − − − − − −
x→^ lim+∞ f^ (x)^ x→lim+∞ g(x)^ x→lim+∞(f^ +^ g)^ x→lim+∞^ f g^ lim x→+∞
f g x→^ lim+∞^ g f
a ∈ R b ∈ R a + b ab a b ,^ se^ b^6 = 0^
b a
, se a 6 = 0
a > 0 +∞^ +∞^ +∞^0 +∞ a > 0 −∞^ −∞^ −∞^0 −∞ a < 0 +∞^ +∞^ −∞^0 −∞ a < 0 −∞^ −∞^ +∞^0 +∞ 0 +∞^ +∞^ −−−−−^0 − − − − − 0 −∞^ −∞^ −−−−−^0 − − − − − +∞ +∞ +∞ +∞ − − − − − − − − − − −∞ −∞ −∞ +∞ − − − − − − − − − − +∞ −∞ − − − − −− −∞ − − − − − − − − − −
F Definizione. Funzione continue.
- Teorema. Operazioni con funzioni continue. Continuit`a di f + g, f g, f g
- Teorema. Sia n ∈ N. Allora le funzioni xn^ e x^1 /n^ sono continue.
F Teorema degli zeri e teorema del valore intermedio (per funzioni continue su un intervallo).
F Teorema di Weierstrass.
- Derivate
F Definizione. Funzione derivabile in un punto.
- Teorema. Una funzione derivabile in x 0 e anche continua in x 0.
- Teorema. Derivabilit`a di f + g, f g e f /g.
- Teorema. Sia n ∈ N. Allora le funzioni xn^ e x^1 /n^ sono derivabili.
F Teorema di Rolle
F Teorema di Lagrange
F Teorema. Se f ′^ = 0 su (a, b), allora f `e costante su (a, b).
- Teorema. f ′^ ≥ 0 su (a, b) se e solo se f `e monotona crescente su (a, b).
- Teorema. Se f ′^ > 0 su (a, b), allora f `e strettamente crescente su (a, b).
- Composizione di funzioni
- Composizione di due funzioni. Definizione.
- Teorema. Continuit`a della funzione composta.
F Teorema. Derivabilit`a della funzione composta.
- Teorema della funzione inversa
F Teorema. Teorema della funzione inversa.
- Definizione di ln, arcsin, arccos, arctan.
- Regola di de l’Hˆopital
- Teoremi di de l’Hˆopital.
- Sviluppi di Taylor
F Teorema. Formula di Taylor.
F Definizione di o(|x|n).
- Esempi. Sviluppi (in zero) di ex, sin x, cos x, (^1) −^1 x e (1 + x)α.
- Esempi. Saper trovare gli sviluppi di tan x, arcsin x, arccos x, ln(1 + x), arctan x.
- Integrazione secondo Riemann
- Definizione. Partizione di un intervallo limitato P.
- Definizione. Somme di Riemann superiore S(P) e inferiore s(P).
F Teorema. Piu finee la partizione, pi`u grande (piccola) e la somma inferiore (superiore).
F Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann.
- Esempio di una funzione che non `e integrabile secondo Riemann.
- Proposizione. Criterio di integrabilit
a. Una funzionee integrabile se per ogni ε esiste una partizione P tale che S(P) − s(P) ≤ ε.
F Teorema. Le funzioni monotone sono integrabili.
F Definizione. Uniforme continuit`a.
F Teorema. Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato `e uniformemente continua.
F Teorema. Le funzioni continue sono integrabili.
- Teorema. Se f e g sono integrabilii, allora lo sono anche f + g e Cf , dove C `e una costante.
- Teorema. Se f
e integrabile, loe anche |f |. - Teorema. Se f ≤ g, allora
∫ (^) b
a
f ≤
∫ (^) b
a
g.
F Teorema della media.
F Teorema fondamentrale del calcolo integrale.
F Definizione. Integrali impropri (convergenti e divergenti) su [a, +∞).
- Esempi. (^) x^1 p.
- Teorema. Criterio del confronto per integrali impropri.
- Teorema. Criterio del confronto asintotico.
- Teorema. Criterio di Cauchy.
- Teorema. Convergenza assoluta per integrali improrpi.
- Teorema. Integrali impropri e serie numeriche.
