B Teorema di unicità del limite
Se per x che tende a x0 la funzione f(x) ha per limite il numero reale l, allora tale limite è unico.
Dimostrazione
Supponiamo che esistono due limiti L1 e L2 con L1≠L2. Essendo diversi esistono due intorni tele che
IL1 ꓵIL2=Ø. Dalla definizione di limite si dimostra facilmente che se L€R allora: lim(x x0) f(x)=l lim f(x)-L=0
lim lfx-Ll=0
Teorema della permanenza del segno
Se il limite di una funzione per x che tende a x0 è un numero l diverso da 0, allora esiste un intorno I di x0 in cui
f(x) e l sono entrambi positivi oppure entrambi negativi.
Teorema del Confronto
Siano h(x), f(x) e g(x) tre funzioni definite nello stesso dominio D contenuto in R. Se in ogni punto diverso da x0
del dominio risulta h(x)<=f(x)<= g(x) e il limite delle due funzioni h(x) e g(x) è uno stesso numero l, allora anche
il limite di f(x) per x che tende a x0 è uguale a l.
Teorema dei carabinieri
Il teorema del confronto per i limiti, detto anche teorema dei carabinieri, è un teorema che sotto determinate
ipotesi permette di determinare il risultato di un limite finito o infinito mediante opportune minorazioni e
maggiorazioni della funzione.
Teorema di Weierstrass
Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b] allora essa assume il massimo assoluto e il
minimo assoluto.
Teorema dei valori intermedi
Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b] allora essa assume tutti i valori compresi tra
il massimo e il minimo.
Teorema di esistenza degli zeri
Se f è una funzione continua in un intervallo limitato chiuso [a;b] e negli estremi di tale intervallo assume valori
di segno opposto, allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, in cui f si annulla.
Dimostrazione
Dire che f(a)f(b)<0 è equivalente a dire che deve verificarsi una delle due seguenti condizioni
f(a)<0, f(b)>0 oppure f(a)>0, f(b)<0(1)
Ciò si può riassumere dicendo che la funzione assume due valori di segno opposto.
Osservazione 2: Affermare che c è interno all’intervallo chiuso e limitato [A,B] equivale a dire che c è distinto
sia da a, sia da b. In altri termini, deve risultare che a<c<b.
Osservazione 3: Proviamo a dimostrare ciò che abbiamo detto. Consideriamo nel piano cartesiano i punti A
e B; sappiamo che A, si trova al di sotto dell’asse delle ascisse, mentre B, si trova sopra. Poiché la
funzione f(x) è continua nell’intervallo [A,B], il suo grafico consisterà in una linea curva, da tracciarsi senza
alzare la matita dal foglio, nel quale risulterà f(c)=0.
