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1. Introduzione alla statistica
La statistica è la disciplina che studia i fenomeni collettivi mediante strumenti quantitativi. Il suo scopo principale è comprendere realtà complesse analizzando dati raccolti in modo sistematico. La statistica è indispensabile ogni volta che dobbiamo prendere decisioni in condizioni di incertezza, perché permette di trarre conclusioni ragionate a partire da osservazioni parziali o incomplete. La disciplina può essere suddivisa in tre aree principali:
- Fase di progettazione dell’indagine , che riguarda la raccolta dei dati e la scelta del metodo di rilevazione.
- Statistica descrittiva , che sintetizza e rappresenta i dati attraverso tabelle, grafici e misure numeriche.
- Statistica inferenziale , che utilizza l’informazione campionaria per trarre conclusioni sull’intera popolazione. La qualità di ogni analisi dipende fortemente da come i dati sono stati raccolti. Una cattiva rilevazione non può essere “corretta” nelle fasi successive: per questo la progettazione dell’indagine costituisce una parte fondamentale del lavoro statistico.
2. Popolazioni, campioni e caratteri statistici
La statistica si occupa di fenomeni collettivi, ossia fenomeni che richiedono l’osservazione di molte unità. Le definizioni principali sono:
- Unità statistica : l’elemento su cui si osserva il fenomeno.
- Popolazione (o collettivo) : l’insieme di tutte le unità statistiche oggetto di studio.
- Campione : sottoinsieme della popolazione selezionato per l’osservazione.
- Carattere statistico : proprietà misurata sulle unità.
- Modalità del carattere : valori assunti dal carattere.
- Parametro : valore numerico che descrive la popolazione (tipicamente ignoto).
- Statistica campionaria : valore calcolato sul campione, utilizzato come stima del parametro.
2.1 Tipi di indagine
Possono essere:
- Totale o censuaria : si osserva l’intera popolazione; è esatta ma costosa.
- Campionaria : si osserva solo una parte della popolazione; più rapida ed economica.
2.2 Classificazione dei caratteri
I caratteri possono essere:
Caratteri qualitativi
Non espressi numericamente.
- Sconnessi (nominali) : non ordinabili (es. colore occhi, genere).
- Ordinati : esiste un ordine naturale (es. livello di soddisfazione).
Caratteri quantitativi
Esprimono una quantità numerica.
- Discreti : numeri interi ottenuti da conteggi (es. numero di figli).
- Continui : valori reali ottenuti da misurazioni (es. peso, altezza). Altre classificazioni:
- Trasferibili : possono essere “spostati” tra unità (reddito).
- Non trasferibili : intrinseci all’unità (età, altezza).
- Scala a intervalli : valori con origine convenzionale (temperatura Celsius).
- Scala a rapporti : presenza di zero assoluto (altezza, reddito).
2.3 Suddivisione in classi
Utilizzata per caratteri quantitativi continui: si raggruppano i valori in intervalli, che possono essere chiusi a sinistra, a destra o a entrambi i lati.
3. Distribuzioni di frequenza
Una distribuzione di frequenza associa a ciascuna modalità un valore che rappresenta quante volte essa è stata osservata. Le frequenze possono essere:
- Assolute : numero di osservazioni in una modalità.
- Relative : frequenza assoluta divisa per il totale.
- Percentuali : frequenze relative × 100.
- Cumulate : somma progressiva delle frequenze per modalità ordinabili. La frequenza cumulata è utile per capire come si distribuiscono progressivamente le osservazioni.
4. Medie e indici di posizione
Le medie sono strumenti sintetici che permettono di rappresentare un’intera distribuzione con un singolo valore.
5.2 Coefficiente di variazione
DV/Media. Serve per confrontare variabilità tra distribuzioni con scale diverse.
5.3 Campo di variazione
Differenza tra massimo e minimo.
5.4 Interquartile range (IQR)
Differenza tra Q3 e Q1, misura robusta della variabilità.
6. Indici di forma
Analizzano l’aspetto della distribuzione.
6.1 Asimmetria
Una distribuzione è asimmetrica se non è speculare rispetto al centro. Può essere:
- Positiva (coda lunga a destra)
- Negativa (coda lunga a sinistra)
- Simmetrica (media=mediana)
6.2 Indice di Fisher
Normalizza la misura di asimmetria ed è comparabile tra distribuzioni differenti.
7. La concentrazione
Misura quanto un carattere trasferibile (ad esempio reddito) è distribuito in modo equo o diseguale fra le unità.
7.1 Retta di equidistribuzione e curva di Lorenz
La curva di Lorenz rappresenta la concentrazione: Quanto più è lontana dalla retta di equidistribuzione, tanto maggiore è la disuguaglianza.
7.2 Indice di Gini
Compreso tra:
- 0 → perfetta equidistribuzione
- 1 → massima concentrazione
8. Distribuzioni bivariate
Si studiano due caratteri osservati sulle stesse unità statistiche.
8.1 Tabelle a doppia entrata
Raccolgono frequenze congiunte tra modalità X e Y. Le frequenze marginali descrivono i caratteri singolarmente. Le frequenze condizionate descrivono una variabile alla luce di una modalità dell’altra.
8.2 Indipendenza
Due caratteri sono indipendenti se conoscere uno non migliora la conoscenza dell’altro.
8.3 Test Chi-quadro e V di Cramer
Misurano l’intensità dell’associazione.
9. Dipendenza tra caratteri qualitativi e quantitativi
Se un carattere è qualitativo e l’altro quantitativo, si studiano:
- le medie condizionate
- la variabilità entro e tra gruppi
- il rapporto di correlazione η² η² misura quanta parte della variabilità totale è spiegata dalla suddivisione in gruppi.
10. Associazione tra variabili quantitative
La relazione tra due variabili numeriche può essere studiata mediante:
10.1 Scatter plot
Visualizzazione grafica della relazione.
- certi
- impossibili
- incompatibili
- complementari
- indipendenti
12.3 Definizioni di probabilità
- Classica : casi favorevoli / casi possibili
- Frequentista : limite delle frequenze relative
- Soggettivista : grado di fiducia
- Assiomatica : definita mediante assiomi (Kolmogorov)
12.4 Probabilità condizionata
Due eventi sono indipendenti se:
13. Variabili casuali
Una variabile casuale associa un numero a ciascun esito dell’esperimento.
13.1 Variabili discrete
Assumono valori isolati (es. conteggi). Principali modelli: Bernoulliana Due esiti: successo/insuccesso. Binomiale n prove Bernoulliane indipendenti.
13.2 Variabili continue
Distribuzione normale La più importante in statistica:
- forma campanulare
- simmetrica
- media, moda e mediana coincidono
- regola empirica 68– 95 – 99.
Standardizzazione
14. Statistica campionaria e teorema del limite centrale
Le statistiche campionarie (come la media) sono variabili casuali. Il Teorema del Limite Centrale (TLC) afferma che la distribuzione delle medie campionarie tende alla normale al crescere di n.
15. Stima puntuale
Uno stimatore puntuale associa un unico valore al parametro sconosciuto. Proprietà:
- Correttezza : valore atteso uguale al parametro
- Efficienza : varianza minima
- Consistenza : converge al vero valore quando n→∞
16. Stima per intervallo
L’intervallo di confidenza indica un insieme di valori plausibili del parametro con un determinato livello di fiducia (95%, 99%). La formula generale è: Il margine dipende da:
- deviazione standard
- ampiezza campionaria
- livello di confidenza
17. Verifica delle ipotesi
Serve per decidere se accettare o rifiutare un’affermazione sul valore di un parametro.
- H0 (ipotesi nulla) : ipotesi da testare.
- H1 (ipotesi alternativa).
- Statistica test : valore calcolato dal campione.
- Regione critica : zona in cui si rifiuta H0.
