STUDIO DI FUNZIONE
Segue un possibile schema per lo studio di una funzione:
1. Studio del campo di esistenza: A tale scopo ricordiamo che si hanno i seguenti casi principali:
•Presenza di frazioni si deve porre il denominatore diverso da 0
•Presenza di radicali con indice pari, si deve porre il radicando maggiore o uguale a 0
•Presenza di logaritmi, si deve porre l’argomento maggiore di 0
•Presenza della funzione tangente, il suo argomento va posto diverso da F 0
7 0
/2 +k F 0
7 0
•Se la funzione è solo trigonometrica si limiterà lo studio all’intervallo che si ottiene
ponendo l’argomento compreso tra 0 e 2 F 0
7 0
se sono presenti le funzioni seno o coseno o
secante o cosecante e tra 0 e F 0
7 0
se sono presenti solo tangente e cotangente.
N.B. Ovviamente se sono presenti termini che determinano più condizioni di esistenza andrà
risolto il sistema delle diverse condizioni.
2. Fare un analisi preliminare della funzione verificare la presenza di simmetria rispetto all’asse Y
(se f(-x)=f(x)) o la simmetria rispetto all’origine (se f(-x)=-f(x)). Tenere presente che in
presenza di radici cubiche e di valori in modulo si dovrà valutare la derivabilità rispetto alla
continuità, per individuare eventuali punti di flesso a tangente verticale, di cuspide, angolosi.
Spesso per funzioni definite in intervalli con estremi compresi può essere utile studiare il
comportamento della derivata prima agli estremi degli intervalli di esistenza eventualmente
compresi nel C.E. ( caso tipico la presenza di radici di indice pari)
3. Studiare, se non risulta particolarmente complesso, il segno della funzione.
4. Determinare le eventuali intersezioni con gli assi ( notare che quelle con l’asse x si possono
dedurre anche dal grafico del segno se studiamo f(x) F 0
B 3
0)
5. Studiare i limiti agli estremi non compresi degli intervalli di esistenza per individuare:
•Mediante i limiti a F 0
B 1
F 0
A 5
( se rientrano nel nostro C.E.) eventuali asintoti orizzontali
•Mediante lo studio dei limiti nei punti finiti di discontinuità della funzione gli eventuali
asintoti verticali, infine determinando eventuali asintoti obliqui qualora mancano gli asintoti
orizzontali perché il limite a F 0
B 1
F 0
A 5
assume valore infinito
6. Studiare il segno della derivata prima e i punti in cui si annulla per individuare crescenza
decrescenza e conseguentemente massimi e minimi relativi.
In presenza di punti di discontinuità della derivata prima, che sono punti di continuità per la
funzione, studiare il limite della derivata prima in questi punti per in individuare:
•Punti angolosi se il limite sinistro e destro della derivata prima ha valori finiti e diversi
o se uno dei valori è finito e uno infinito
•Punti di cuspide se il limite sinistro e destro della derivata prima è infinito di segno
opposto.
•Punti di flesso a tangente verticale se il limite sinistro e destro è + F 0
A 5
o - F 0
A 5
N.B.. Per disegnare i punti angolosi può convenire disegnare mediante il valore del limite le
due tangenti nel punto. Per i punti di cuspide può essere utile valutare se la punta è verso il
basso o l’alto, tenendo conto del segno della derivata a destra e a sinistra. Per i punti di
flesso a tangente verticale può convenire valutare se sono decrescenti o crescenti
considerando il segno della derivata.
Per punti estremi del campo di esistenza compresi può convenire studiare il limite destro o
sinistro della derivata prima, per valutare con quale pendenza il ramo esce da quel punto o
giunge in quel punto.
7. Studiare il segno della derivata seconda per determinare concavità e convessità della funzione
completando così lo studio dei flessi aggiungendo quelli a tangente obliqua.
8. Nei casi in cui lo studio del segno delle derivate fosse comlesso ( esempio funzioni
trigonometriche ) è possibile utilizzare un secondo metodo per determinare massimi, minimi,
flessi detto delle derivate successive ( vedi appunti precedenti ).
9. Un caso particolare è rappresentato dalle funzioni in modulo per le quali conviene studiare le
due funzioni che si ottengono eliminando il modulo opportunamente, tenendo conto del suo
segno ( Attenzione ad eventuali simmetrie che semplificano notevolmente lo studio).
